WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW II

Stepnowska Małgorzata
MiBM 
semestr I, stopień II

TEORIA NA EGZAMIN

1

SPIS TREŚCI

1.

Naprężenia kontaktowe

2.

Zmienna niezależna i zależna – podaj 
przykład

3.

Zasada Bettiego

Literatura

2

NAPRĘŻENIA KONTAKTOWE

3

Naprężeniami stykowymi lub kontaktowymi nazywamy 
naprężenia występujące w miejscu styku dwóch dociskanych do 
siebie ciał. Siła skupiona P przenoszona jest z jednego ciała na 
drugie na bardzo małej powierzchni, jaka tworzy się w wyniku 
miejscowych odkształceń wywołanych naciskami.

NAPRĘŻENIA KONTAKTOWE

4

Zagadnienie rozkładu naprężeń w miejscach styku 
dociskanych ciał opiera się na założeniach (zagadnienie 
Hertza):

 a) materiał stykających się ciał jest izotropowy i spełnia prawo 
Hooke'a 

 b) przy dociskaniu ciał występują tylko naprężenia normalne,

 c) powierzchnia styku jest ciągła oraz mała w stosunku do 
wymiarów ciał stykających się 

NAPRĘŻENIA KONTAKTOWE

5

Wzory Hertza dla jednego z najprostszych (i najczęstszych ) 
przypadków, ściskania wzajemnego dwóch kul, określają promień r 
powierzchni zetknięcia się kul oraz największe naprężenie 
ściskające  występujące na tej powierzchni w środkowym punkcie H 
styku.

ZMIENNA NIEZALEŻNA I ZALEŻNA

6

Rozpatrzmy poniższe zadanie:

Żadnej z reakcji nie uznajemy 
jako statycznie wyznaczalnej. 

ZMIENNA NIEZALEŻNA I ZALEŻNA

7

Rozpatrzmy poniższe zadanie:

• Mamy 3 niewiadome i tylko 2 

równania równowagi. 

• Układ jest jednokrotnie 

statycznie niewyznaczalny. 
Ponieważ żadnej z reakcji nie 
da się tutaj wyznaczyć z 
równań równowagi, to każdą z 
nich można uznać jako 
statycznie niewyznaczalną.

• Jeżeli jako statycznie 

niewyznaczalną wybierzemy 
R

B

, to pozostałe R

A

 i R

C

 są 

statycznie wyznaczalne.

ZMIENNA NIEZALEŻNA I ZALEŻNA

8

Rozpatrzmy poniższe zadanie:

Równanie Menabre’a:

symetria (!) – kształtu i obciążenia

Z symetrii 

 

ZMIENNA NIEZALEŻNA I ZALEŻNA

9

Rozpatrzmy poniższe zadanie:

Ponieważ reakcja  (środkowa) 
jest statycznie niewyznaczalna, 
to  i  są statycznie wyznaczalne i 
należy je wyrazić jako zmienne 
zależne z równań równowagi 
przez  i podstawić do funkcji 
momentu gnącego. Dopiero 
teraz można liczyć pochodną.

 

ZMIENNA NIEZALEŻNA I ZALEŻNA

10

Rozpatrzmy poniższe zadanie:

Równanie Menabre’a

ZASADA BETTIEGO

11

Rozważamy dowolny układ sprężysty, na który działa układ sił P

1

 i P

2

. 

Obciążenie zewnętrzne dzielimy na dwie grupy:
 - I grupa: P

1

 - II grupa: P

2

ZASADA BETTIEGO

12

Pod wpływem obciążeń wszystkie punkty układu doznają przemieszczenia. 
Pod wpływem działania I grupy przemieszczenia δ

1

 i δ

2

, pod wpływem 

działania grupy II przemieszczenia δ’

1

 i δ’

2

.

 
Obciążamy układ tylko I grupą obciążeń. Praca I układu wyniesie  .
Następnie przykładamy obciążenie z II grupy, siła  P

2

 wykonuje pracę , siła 

P

1

 wykonuje dodatkową pracę .

 

ZASADA BETTIEGO

13

Całkowita energia układu można zapisać w postaci:

Zmieniając kolejność przykładania obciążenia w ten sposób, że najpierw 
przykładamy II grupę sił a następnie I grupę sił.
Całkowita energia układu w tym wypadku wyniesie:

Ponieważ wartość energii sprężystej nie zależy od kolejności przykładania 
obciążeń, czyli  dlatego: 

 

ZASADA BETTIEGO

14

Praca sił układu I wykonana na przemieszczeniach wywołanych 
siłami układu II jest równa pracy sił układu II na przemieszczeniach 
spowodowanych układem I.

LITERATURA

15

1) ,,Wytrzymałość materiałów” J. Zielnica, wyd. 

Politechnika Poznańska, 2001

DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ

16