RACHUNEK

WSPÓŁRZĘDNYCH

SPIS TREŚCI

Azymut.

Azymut y i czwartaki w
poszczególnych ćwiartkach układu
współrzędnych.

Określenie azymutu za pomocą
znaków przyrostów.

Kontrola obliczeń azymutu A

Przykład obliczenia azymutu.

Obliczanie długości odcinka ze
współrzędnych.

Przykład obliczenia długości
odcinka ze współrzędnych.

Obliczanie współrzędnych punktów
na prostej.

Przykład obliczenia współrzędnych
punktu na prostej.

10.

Obliczanie współrzędnych punktów
metodą biegunową.

11.

Przykład obliczenia współrzędnych
punktu metodą biegunową.

12.

Obliczanie współrzędnych punktu
za pomocą wcięcia kątowego
wprzód.

13.

Obliczenie współrzędnych punktu
a pomocą wcięcia liniowego.

14.

Obliczenie współrzędnych
punktów metodą biegunową.

15.

Metoda analityczna obliczenia
pola powierzchni ze
współrzędnych wzorami Gaussa.

16.

Kalkulator geodezyjny.

17.

Bibliografia.

AZYMUT

Azymut jest to kąt mierzony od kierunku północy (osi X) zgodnie z ruchem

wskazówek zegara do kierunku linii. Zawsze ma dodatni znak oraz przyjmuje
wartości z przedziału 0

– 400

Do obliczenia azymutu posługujemy się kierunkowym kątem pomocniczym

zwanym czwartakiem, który może być zarówno dodatni, jak i ujemny (od
-100

do 100

). Mierzymy go na prawo lub lewo od osi X, w zależności od

ćwiartki układu współrzędnych. Na podstawie znaków przyrostów

Δx = X

– X

, Δy = Y

–

AZYMUTY I CZWARTAKI W

POSZCZEGÓLNYCH

ĆWIARTKACH UKŁADU

WSPÓŁRZĘDNYCH

Między dwoma danymi punktami A i B o znanych

współrzędnych określamy ćwiartkę układu współrzędnych
geodezyjnych, w jakiej znajduje się czwartak.

Na podstawie ćwiartki, gdzie znajduje się bok, dla którego obliczamy

azymut, wybieramy odpowiedni wzór (indeks przy φ oznacza numer
ćwiartki układu, w której znajduje się kąt):

= φ

+ 200

,0000

= φ

III

+ 200

,0000

= φ

+ 400

,0000

Następnie wyliczamy wartość czwartaka ze wzoru:

φ = arctg Δy Δx

i wstawiamy do jednego z podanych powyżej wzorów na azymut w

danej ćwiartce układu.

OKREŚLENIE AZYMUTU ZA

POMOCĄ ZNAKÓW

PRZYROSTÓW

Azymut kierunku odwrotnego określamy na podstawie wzoru:

= A

± 200

,0000

Znak „+” stosujemy, gdy 0

≤ A

< 200

, a „–”, gdy 200

≤

< 400

, ponieważ, jak już wcześniej się dowiedzieliśmy,

azymut przyjmuje wartości tylko z przedziału 0

– 400

KONTROLA OBLICZEŃ

AZYMUTU A

Kontrolę obliczenia azymutu A

wykonujemy poprzez

wyznaczenie pseudo-czwartaka ψ oraz pseudo-azymutu A

’

stosując wzory:

ψ = φ + 50

,0000

tgψ = Δx + Δy Δx - Δy

' = A

+ 50

,0000

PRZYKŁAD

OBLICZENIA

AZYMUTU

Oblicz azymut boku AB

oraz na jego podstawie
oblicz azymut boku BA.

Dane:

A ( 902,58m;
479,65m)
B (537,78m; 23,53m

)

ROZWIĄZANIE

Δx = X

– X

= –364,80m

Δy = Y

– Y

= –456,12m

φ = arctg Δy Δx

φ = arctg -456,12 -364,80

φ = 57

,05283

Δx = –364,80m <0
Δy = –456,12m <0
Zatem czwartak leży w III ćwiartce,
więc
A

=200

,0000 + φ

=257

,0528

= A

- 200

,0000 = 57

,0528

Kontrola:

ψ = φ + 50

,0000 = 307

,05283

tgψ = Δx + Δy Δx - Δy ⇒ ψ =
arctg Δx + Δy Δx - Δy

ψ = arctg- 364,80 - 456,12 -
364,80 + 456,12

ψ = –92

,94717

Δx + Δy <0
Δx - Δy >0
Czwartak leży w IV ćwiartce

' = 400

,0000 + ψ = 307

,0528

' = A

+ 50

,0000 =

307

,0528

OBLICZANIE DŁUGOŚCI

ODCINKA ZE WSPÓŁRZĘDNYCH

Długość boku AB w
układzie
współrzędnych XY

Długość odcinka między punktami A i B w łatwy sposób możemy
obliczyć znając współrzędne dwóch punktów. W pierwszej kolejności
wyznaczamy przyrosty:

Δx = X

– X

, Δy = Y

– Y

Następnie korzystając ze wzoru:

= √Δx

+ Δy

I w ten sposób uzyskujemy odległość między punktami AB

Kontrolę obliczenia długości można wykonać z jednego ze
wzorów:

= ΙΔxΙ cosφ

= ΙΔyΙ sinφ

gdzie φ = arctg : Δy Δx (kąt między bokiem AB a kierunkiem
północy).

PRZYKŁAD OBLICZENIA DŁUGOŚCI

ODCINKA ZE WSPÓŁRZĘDNYCH

Oblicz odległość między punktami A i B
mając dane ich współrzędne.

Dane:
A ( 137,63m; 367,78m)
B ( 189,60m; 942,58m)

ROZWIĄZANIE

Δx = XB – XA = 51,97m
Δy = YB – YA = 574,80m

DAB = √ Δx2 + Δy2

DAB = √51,972 + 574,802

DAB = 577,14m

Kontrola

φ = arctg Δy : Δx

φ = arctg 574,80 : 51,97

φ = 94g,25967

DAB = ΙΔxΙ : cosφ

DAB = Ι51,97Ι : cos(94g,25967)

DAB = 577,14m

OBLICZANIE

WSPÓŁRZĘDNYCH PUNKTÓW

NA PROSTEJ

Punkty na prostej są
to punkty osnowy
pomiarowej,
wytyczone na prostej
między punktami A i
B o znanych
współrzędnych.

Punkt posiłkowy n na prostej AB

Szukane:
n (X

, Y

)

Dane:
A (X

, Y

)

B (X

, Y

)

Pomierzone
:
d

Zadanie obliczenia współrzędnych
punktów posiłkowych na prostej
należy zacząć od wyznaczenia
odległości ze współrzędnych między
punktami A i B, ze wzoru: D

√ Δx

+ Δy

, gdzie Δx = X

– X

, Δy =

– Y

. Następnie pomiędzy długością

pomierzoną d

, a wyliczoną ze

współrzędnych D

obliczamy

odchyłkę f, która musi spełniać
kryterium podane w Instrukcji G-4
takie, że f ≤ f

, przy czym f = Ιd

–

Ι. Jeżeli nasza odchyłka mieści się

w granicach dopuszczalnej, możemy
przystąpić do dalszych rachunków.

Obliczamy przyrosty:

Δx

= d

Δx : d

Δy

= d

Δy : Dab

Współrzędne punktu posiłkowego leżącego na prostej wynoszą
zatem:

= X

+ Δx

= Y

+ Δy

Kontrola obliczeń:
1) ponowne obliczenie współrzędnych punktu n na prostej,
wykorzystując tym razem dane współrzędne punktu B;
2) sprawdzenie, czy suma różnic odciętych Δd jest równa
długości pomierzonej d

∑Δd

= d

gdzie Δd

= d

– d

i-1

PRZYKŁAD OBLICZENIA

WSPÓŁRZĘDNYCH PUNKTU NA PROSTEJ

Oblicz współrzędne punktu
posiłkowego n znajdującego
się na prostej AB.

Dane:
A ( 623,33m; 740,87m)
B ( 729,65m; 973,56m)

Pomierzone:
dAn = 83,89m
dAB = 255,85m

•

ROZWIĄZANIE

•

Δx

= X

– X

= 106,32m

Δy

= Y

– Y

= 232,69m

= √ Δx

AB2

+ Δy

AB2

= √106,32

+ 232,69

= 255,83m

f = Ιd

– D

Ι = Ι255,85 – 255,83Ι = 0,02m

= 0,09m

Warunek f ≤ f

jest spełniony.

Δx

= d

Δx

: d

Δx

= 34,86m

Δy

= d

Δy

: d

Δy

= 76,30m

= X

+ Δx

= 623,33 + 34,86 = 658,19m

= Y

+ Δy

= 740,87 + 76,20 = 817,17m

Kontrola
1) Δx

= X

– X

= –106,32m

Δy

= Y

– Y

= –232,69m

= √ Δx

BA2

+ Δy

BA2

= √ (–106,32)

+ (–232,69)

= 255,83m

f = Ιd

– D

Ι = Ι255,85 – 255,83Ι = 0,02m

= 0,09m

Warunek f ≤ f

jest spełniony.

– d

= 171,96m

Δx

= d

Δx

AB :

Δx

= – 71,96m

Δy

= d

Δy

AB :

Δy

= – 156,41m

= X

+ Δx

= 729,65 – 71,96 = 658,19m

= Y

+ Δy

= 973,56 – 156,41 = 817,17m

2) Δd

= 83,89m

Δd

= 171,96m

∑Δd

= 83,89 + 171,96 = 255,85

Zatem: ∑Δd

= d

OBLICZANIE

WSPÓŁRZĘDNYCH PUNKTÓW

METODĄ BIEGUNOWĄ

Metoda biegunowa stanowi jedną z
podstawowych i powszechnie stosowanych
metod pomiaru szczegółów sytuacyjnych. W
nawiązaniu do dwóch punktów osnowy A i B oraz
pomierzonych kierunków do tych punktów i do
punktu P możemy wyznaczać współrzędne
punktu P.

Rozmieszczenie punktów w układzie współrzędnych

Szukane:
P (X

, Y

)

Dane:
A (X

, Y

)

B (X

, Y

)

S (X

, Y

)

Pomierzone:
kierunki: k

, k

długości: d

Chcąc nawiązać się do dwóch punktów osnowy A i B należy obliczyć kąt orientacji kreski
0˚ podziału limbusa w następujący sposób:

γ' = A

− k

γ" = A

− k

gdzie A

, A

- azymuty* boków SA i SB.

Sprawdzamy, czy odchyłka między kątami γ' i γ" mieści w granicy odchyłki dopuszczalnej
f

= 2m

√2 : Ιγ' – γ"Ι ≤ f

Jeżeli powyższy warunek jest spełniony, wówczas:
γ = (γ' + γ’’) : 2

Obliczamy azymut boku SP ze wzoru:
A

= k

+ γ

oraz przyrosty na podstawie długości pomierzonej oraz azymutu boku SP:
Δx

= d

cosA

Δy

= d

sinA

Ostateczne współrzędne szukanego punktu P:
X

= X

+ Δx

= Y

+ Δy

Kontrola obliczeń:
Porównanie długości pomierzonej d

z wyliczoną

= √ (X

− X

)

+ (Y

− Y

)

PRZYKŁAD OBLICZENIA WSPÓŁRZĘDNYCH

PUNKTU METODĄ BIEGUNOWĄ

Oblicz współrzędne punku P
metodą biegunową.

Dane:
A (1400,34m; 1398,22m)
B (534,15m; 1729,04m)
S (535,40m; 681,72m)

Pomierzone
kierunki:
kA = 23g,2719 ± 2cc
kB = 79g,3064 ± 2cc
kP = 64g,7378 ± 2cc

długości:
dSP = 341,43m

ROZWIĄZANIE
Δx

= X

– X

= 864,94m

Δy

= Y

– Y

= 716,50m

= √____________ Δx

SA2

+ Δy

SA2

= √________________ 864,94

+ 716,50

= 1123,16m

= arctg Δy

Δx

= arctg 716,50 864,94

= 44

,04190

Δx

= 864,94m >0

Δy

= 716,50m >0

Zatem czwartak leży w I ćwiartce, więc A

= φ

= 44

,04190

Δx

= X

– X

= -1,25m

Δy

= Y

– Y

= 1047,32m

= √ Δx

SB2

+ Δy

SB2

= √ (-1,25)

+ 1047,32

= 1047,32m

= arctg Δy

Δx

= arctg 1047,32 -1,25

= -99

,92402

Δx

= -1,25m <0

Δy

= 1047,32m >0

Zatem czwartak leży w II ćwiartce, więc
A

=200

,0000 + φ

= 200

,0000 + (-99

,92402) =

100

,07598

γ' = A

− k

= 44

,04190 – 23

,2719 =

,77000

γ" = A

− k

= 100

,07598 – 79

,3064

= 20

,76958

= 2m

√_ 2= 5

Ι 20

,77000 – 20

,76958Ι = 4

,2 ≤ f

Powyższy warunek jest spełniony,
zatem:
γ = γ' + γ" 2
γ = 20

,77000 + 20

,76958 2

γ = 20

,76979

= k

+ γ = 64

,7378 + 20

,76979 =

,50759

Δx

= d

cosA

= 341,43•

cos(85

,50759) = 77,056m

Δy

= d

sinA

= 341,43•

sin(85

,50759) = 332,621m

Ostateczne współrzędne szukanego
punktu P:
X

= X

+ Δx

= 535,40 + 77,056 =

612,456m = 612,46
Y

= Y

+ Δy

= 681,72 + 332,621 =

1014,341m = 1014,34
Kontrola
D

= √(X

− X

)

+ (Y

− Y

)

= 341,43m = d

OBLICZANIE WSPÓŁRZĘDNYCH

PUNKTU ZA POMOCĄ WCIĘCIA

KĄTOWEGO WPRZÓD

Obliczenie współrzędnych punktu metodą wcięcia
kątowego w przód polega na utworzeniu konstrukcji
trójkąta o dwóch znanych punktach A, B i punkcie
wyznaczanym P oraz pomierzonych kątach α i β.
W pierwszej kolejności na podstawie szkicu
pomiarowego wykonujemy szkic umieszczając punkty
w układzie współrzędnych.
Obliczamy przyrosty Δx

= X

– X

, Δy

= Y

– Y

które są niezbędne do wyznaczenia azymutu* A

oraz

długości* boku AB:
D

= √Δx

AB2

+ Δy

AB2

Wcięcie kątowe w przód w układzie współrzędnych.

Szukane:
P (X

, Y

)

Dane:
A (X

, Y

)

B (X

, Y

)

Pomierzone:
α, β

Korzystając z twierdzenia sinusów obliczamy długość d

= D

•sinβ : sin(α + β)

Wyliczamy azymut boku AP :

= A

+ α

oraz przyrosty na podstawie długości oraz azymutu boku AP:

Δx

= d

cosA

Δy

= d

sinA

Ostateczne współrzędne szukanego punktu P:

= X

+ Δx

= Y

+ Δy

Kontrolą obliczeń jest ponowne wyliczenie współrzędnych punktu P na podstawie
punktu B i porównanie ich ze współrzędnymi punktu P obliczonymi na podstawie
punktu A.

Korzystając z twierdzenia sinusów obliczamy długość d

: sinα = D

: sin(α + β)⇒ d

= D

•sinα sin(α + β)

Wyliczamy azymut boku BP:
A

= A

− β

oraz przyrosty na podstawie długości oraz azymutu boku BP:
Δx

= d

cosA

Δy

= d

sinA

Ostateczne współrzędne szukanego punktu P:
X

= X

+ Δx

= Y

+ Δy

Dodatkową kontrolą jest wyznaczenie ze współrzędnych kąta* γ znajdującego się
między punktami APB i porównanie go z wartością obliczoną ze wzoru: γ =
200

,0000 − (α + β).

OBLICZENIE WSPÓŁRZĘDNYCH PUNKTU

ZA POMOCĄ WCIĘCIA LINIOWEGO

Chcąc obliczyć współrzędne punktu P na podstawie
współrzędnych dwóch punktów A i B oraz
pomierzonych długości boków AP oraz BP
wykorzystujemy metodę wcięcia liniowego. W
pierwszej kolejności wykonujemy szkic umieszczając
punktu w układzie współrzędnych (Rys.1.).

Obliczamy przyrosty Δx

= X

– X

, Δy

= Y

– Y

które są niezbędne do wyznaczenia azymutu* A

oraz

długości* boku AB:
D

= √Δx

AB2

+ Δy

AB2

Szukane:
P (X

, Y

)

Dane:
A (X

, Y

)

B (X

, Y

)

Pomierzone:
d

, d

Wcięcie liniowe w układzie
współrzędnych

Do obliczenia kątów α, β i γ w trójkącie ABP korzystamy z
twierdzenia cosinusów:

= d

+ d

–2d

cosγ ⇒ γ = arctg D

–(d

) : –2d

= D

+ d

–2D

cosβ ⇒ β = arctg d

– (D

) : –2D

= d

+ D

– 2d

cosα ⇒ α = arctg d

– (d

) : –2d

Sprawdzamy, czy suma wyliczonych kątów jest równa
200g,0000.

W dalszej części obliczeń postępujemy tak, jak przy wcięciu
kątowym w przód.

Wyliczamy azymut boku AP:

= A

–α

oraz przyrosty na podstawie długości oraz azymutu boku AP:

Δx

= d

cosA

Δy

= d

sinA

Ostateczne współrzędne szukanego punktu P:

= X

+ Δx

= Y

+ Δy

Kontrolą obliczeń jest ponowne wyliczenie współrzędnych punktu P na podstawie
punktu B i porównanie ich ze współrzędnymi punktu P obliczonymi na podstawie punktu
A.

Wyliczamy azymut boku BP:
ABP = AAB + β
oraz przyrosty na podstawie długości oraz azymutu boku BP:
ΔxBP = dBPcosABP
ΔyBP = dBPsinABP

Ostateczne współrzędne szukanego punktu P:

XP = XB + ΔxAB
YP = YB + ΔyAB

OBLICZENIE WSPÓŁRZĘDNYCH

PUNKTÓ METODĄ BIEGUNOWĄ

Metoda domiarów prostokątnych (rzędnych i odciętych)
służy przede wszystkim do obliczana współrzędnych
punktów z pomiarów sytuacyjnych.

Zadanie obliczenia współrzędnych punktów na domiarach
prostokątnych należy zacząć od wyznaczenia odległości
ze współrzędnych między znanymi punktami A i B, ze
wzoru: L

= √Δx

+ Δy

, gdzie Δx = X

– X

, Δy = Y

– Y

Następnie pomiędzy długością pomierzoną l

, a

wyliczoną ze współrzędnych L

obliczamy odchyłkę f,

która musi spełniać kryterium podane w Instrukcji G-4
takie, że f ≤ f

, przy czym f = Ιl

– L

Ι. Jeżeli nasza

odchyłka mieści się w granicach dopuszczalnej, możemy
przystąpić do dalszych rachunków.

Szkic z pomiaru punktów metodą
rzędnych i odciętych w lokalnym
układzie współrzędnych (oś +l
pokrywa się prostą AB, a oś +h jest
do niej prostopadła i skierowana na
prawo).

Szukane:
i (X

, Y

)

n (X

, Y

)

Dane:
A (X

, Y

)

B (X

, Y

)

Pomierzone:
d

ii'

nn'

Ai'

An'

Obliczając współrzędne punktu i, który znajduje się po prawej
stronie, korzystamy ze wzorów:

= X

+ Δx

Ai'

– Δx

ii'

= Y

+ Δy

Ai'

+ Δy

ii',

gdzie:

Δx

Ai'

= l

Ai'

Δx : l

Δy

Ai'

= l

Ai'

Δy : l

Δx

ii'

= d

ii'

Δy : l

Δy

ii'

= d

ii'

Δx : l

Obliczając współrzędne punktu n znajdującego się po lewej
stronie, korzystamy ze wzorów:

= X

+ Δx

An'

+ Δx

nn'

= Y

+ Δy

An'

– Δy

nn',

gdzie:

Δx

An'

= l

An'

Δx : l

Δy

An'

= l

An'

Δy : l

Δx

nn'

= d

nn'

Δy : l

Δy

nn'

= d

nn'

Δx : l

Kontrola obliczeń:
1) sprawdzenie, czy suma różnic odciętych
Δl jest równa długości pomierzonej l

∑Δl = l

2) sprawdzenie, czy suma różnic rzędnych
Δd jest równa 0:
∑Δd = 0

3) obliczenie współrzędnych punku B z
obliczonych współrzędnych punktów na
domiarach prostokątnych:

= X

+ Δx

Bi'

+ Δx

ii'

= Y

+ Δy

Bi'

– Δy

ii',

gdzie:

Δx

Bi'

= (l

– l

Ai'

)Δx : l

Δy

Bi'

= (l

– l

Ai'

) Δy : l

Δx

ii'

= d

ii'

Δy : l

Δy

ii'

= d

ii'

Δx : l

= X

+ Δx

Bn'

– Δx

nn'

= Y

+ Δy

Bn'

+ Δy

nn',

gdzie:

Δx

Bn'

= (l

– l

An'

)Δx : l

Δy

Bn'

= (l

– l

An'

) Δy : l

Δx

nn'

= d

nn'

Δy : l

Δy

nn'

= d

nn'

Δx : l

METODA ANALITYCZNA OBLICZENIA POLA

POWIERZCHNI ZE WSPÓŁRZĘDNYCH

WZORAMI GAUSSA

Metoda
analityczna bazuje
na punktach o
znanych
współrzędnych lub
miarach kątowych
i liniowych
pomierzonych
bezpośrednio w
terenie. Do
wyznaczenia pola
powierzchni
wzorami Gaussa
musimy znać
współrzędne
punktów
załamania konturu.

Rozmieszczenie punktów 1-2-3-4-5
załamania konturu w układzie
współrzędnych

Szukane:
P
Dane:
1 (X

, Y

)

2 (X

, Y

)

3 (X

, Y

)

4 (X

, Y