Wprowadzenie do 

inwestycji

Inwestycja

Inwestycja – zaangażowanie określonej 

kwoty  kapitału  na  pewien  okres 
czasu 

w 

celu 

osiągnięcia 

w 

przyszłości  przychodu  w  wysokości, 
która zrekompensuje inwestorowi:

• czas zamrożenia kapitału,
• oczekiwaną stopę inflacji,
• niepewność wielkości przyszłego 

strumienia przychodu.

Dochód w okresie inwestycji 

(Holding Period Return - HPR)

HPR  -  efektywny  łączny  dochód  na 

koniec  okresu  inwestycji,  obliczony 
przy 

założeniu, 

że 

strumienie 

pieniężne  otrzymywane  w  trakcie 
okresu  są  reinwestowane  po  stopie 
procentowej wolnej od ryzyka.

inwestycji

wartosc

Poczatkowa

inwestycji

wartosc

Koncowa

HPR

n

HPR

HPR

Annual

1



Stopa dochodu w okresie inwestycji 

(Holding Period Yield – HPY)

HPY (Holding Period Yield) = HPR – 1

Zadanie 1

Wartość początkowa inwestycji wynosi 

250 USD, a wartość końcowa 
inwestycji 350 USD. Czas trwania 
inwestycji wynosi 2 lata. Oblicz HPR 
oraz HPR i HPY w skali rocznej.

Zadanie 2

Wartość  początkowa  inwestycji  wynosi 

1000  USD,  a  wartość  końcowa 
inwestycji  750  USD.  Czas  trwania 
inwestycji  wynosi  2  lata.  Oblicz  HPR 
oraz HPR i HPY w skali rocznej.

Zadanie 3 

Wartość  początkowa  inwestycji  wynosi 

100  USD,  a  wartość  końcowa 
inwestycji  112  USD.  Czas  trwania 
inwestycji  wynosi  6  miesięcy.  Oblicz 
HPR oraz HPR i HPY w skali rocznej.

Stopa zwrotu z inwestycji w 

instrument finansowy

(

)

1

,

1

1

1

j

j

j

J

t t

t

t

t

t t

j

t

t

P P

D

R

R

P

-

*

-

=

-

-

+

� +

=

�

gdzie:

R

t 

– HPR

P

t

 – cena instrumentu w chwili t

t

j 

– data płatności strumienia pieniężnego

D

tj 

– wartość strumienia pieniężnego płatnego w t

j 

R

*

 tj

,t 

– stopa wolna od ryzyka dla okresu od t

j

 do t

J – liczba płatności w okresie trwania inwestycji

Geometryczna średnia stopa zwrotu

(

) (

)

(

)

1

2

1

1

... 1

1

t

A

t

t

tJ

R

R

R

R

=

+

� +

� � +

-





1

1





n

HPR

GM



Geometryczna średnia stopa zwrotu (geomethric average return, time-

weighted return)

 – stopa zwrotu z inwestycji, przy założeniu że strumienie pieniężne są 

reinwestowane w to samo aktywo.

lub inaczej:

Arytmetyczna średnia stopa 

zwrotu

Arytmetyczna średnia stopa zwrotu (arithmetic average return)

 – stopa zwrotu z inwestycji przy założeniu, że w momencie otrzymania strumienia 

pieniężnego  następuje  taka  weryfikacja  wielkości  inwestycji  (sprzedaż  lub 

dokupienie  aktywów)  aby  wartość  inwestycji  pozostała  na  poziomie  inwestycji 

początkowej.

1

2

...

t

t

tJ

A

R

R

R

r

t

+

+ +

=

lub inaczej

:

n

HPY

AM

/





Zadanie 4

Oblicz  arytmetyczną  i  geometryczną 

stopę  zwrotu  dla  inwestycji  opisanej 
w poniższej tabeli

Rok

Wartość 

początkowa

Wartość 

końcowa

HPR

HPY

1

100,0

115,0

1,15

0,15

2

115,0

138,0

1,20

0,20

3

138,0

110,4

0,8

-0,20

Zadanie 5

Arytmetyczna  średnia  stopa  zwrotu 

często 

przeszacowuje 

efekty 

inwestycji,  w  skrajnych  przypadkach 
generując wyniki całkowicie mylące

Rok

Wartość 

początkow

a

Wartość 

końcowa

HPR

HPY

1

50

100

2,00

1,00

2

100

50

0,50

-0,50

Stopa dochodu z portfela

HPY  portfela  równa  się  średniej  ważonej  HPY 

składowych  portfela,  gdzie  wagami  są  udziały 

wartości  poszczególnych  aktywów  w  początkowej 

wartości portfela.

Zadanie 6

Oblicz 

HPR 

i 

HPY 

portfela 

inwestycyjnego  opisanego  w  tabeli 
poniżej

Inwesty
cja

Liczba 
akcji

Cena 
początk
owa 
(USD)

Wartość 
początk
owa 
(USD)

Cena 
końcow
a (USD)

Wartość 
końcow
a

HPR

HPY

Waga

HPY 
ważone

1

100.000

10

1.000.00

0

12

1.200.00

0

1,20

20%

0,05

0,01

2

200.000

20

4.000.00

0

21

4.200.00

0

1,05

5%

0,20

0,01

3

500.000

30

15.000.0

00

33

16.500.0

00

1,10

10%

0,75

0,075

Razem

20.000.0

00

21.900.0

00

0,095

Oczekiwana stopa zwrotu

Oczekiwana  stopa  zwrotu,  która  w  tym  przypadku  pełni  rolę  średniej 

ważonej  możliwych  do  osiągnięcia  stóp  zwrotu  (wagami  są 

prawdopodobieństwa  zrealizowania  tych  stóp),  może  być  liczona  jako 

syntetyczna  miara  dochodu  wyznaczona  na  podstawie  rozkładu  stopy 

zwrotu:









m

i

i

i

r

p

R

E

1

)

(

gdzie:

r – oczekiwana stopa zwrotu,
p

i

 – prawdopodobieństwo uzyskania i-tej możliwej wartości stopy 

zwrotu,

r

i

 – i-ta prawdopodobna do uzyskania wartość stopy zwrotu,

m – ilość możliwych do uzyskania wartości stopy zwrotu.

Zadanie 7

Oblicz  oczekiwaną  stopę  zwrotu  z  inwestycji  jeśli 

rozkład  prawdopodobieństwa  kształtowania  się 
stopy zwrotu jest opisany jak w tabeli poniżej:

Scenariusz 

makroekonomiczn

y

Prawdopodobieńst

wo

Stopa zwrotu

Ożywienie 

gospodarcze, brak 

inflacji

0,15

0,20

Recesja, wysoka 

inflacja

0,15

-0,20

Stabilne warunki 

makroekonomiczne

0,70

0,10

Oczekiwana stopa zwrotu z 

próby

W  sytuacji  gdy  niemożliwe  jest  uzyskanie  informacji  o  rozkładzie 

stopy  zwrotu  w  celu  jej  oszacowania,  można  posłużyć  się  danymi 

historycznymi  (stopami  zwrotu,  które  zostały  zrealizowane  w 

przeszłości).  W  ten  sposób  dokonuje  się  pomiaru  oczekiwanej 

stopy zwrotu będącej średnią arytmetyczną stóp zwrotu:









n

t

t

r

n

r

E

1

1

)

(

gdzie:

r

t

 – stopa zwrotu instrumentu finansowego (aktywu) 

zrealizowanego w okresie t,

n – liczba okresów z których pochodzą dane.

Ryzyko

Ryzyko  to  w  procesie  inwestycyjnym  zagrożenie 

dla osiągnięcia przez inwestora oczekiwanej stopy 

zwrotu.

Precyzyjniej 

ryzyko 

to 

mierzalne 

prawdopodobieństwo  wystąpienia  zdarzenia  o 

cechach  innych  niż  zdarzenie  oczekiwane  i 

wpływającego  w  sposób  bezpośredni  lub  pośredni 

na  odchylenie  wartości  docelowej  od  poziomu 

zakładanego.

Miary ryzyka 

inwestycyjnego

Najpowszechniej 

stosowane 

miary 

ryzyka  to  miary  opierające  się  na 
koncepcji  ryzyka,  mówiącej,  że  wraz 
ze  wzrostem  zmian  stóp  bądź  cen 
dochodu  instrumentów  finansowych 
rośnie  ryzyko  inwestycyjne  związane 
z tym instrumentem. 

Miary  zmienności  są  rozumiane  jako 

zmienność rozkładu stopy zwrotu.

Wariancja stopy zwrotu

Wariancja  –  definiuje  rozproszenie  wokół  średniej. 

Jest  to  średnia  ważona  kwadratów  odchyleń 

pojedynczych  wartości  stóp  zwrotu  od  poziomu 

oczekiwanej  stopy  zwrotu,  gdzie  wagami  są 

prawdopodobieństwa  wystąpienia  danej  stopy 

zwrotu.  Jednostka  miary  wariancji  jest  kwadratem 

jednostki miary badanej cechy np. %.

Wariancja

 





2

1

var









n

i

i

i

R

E

r

p

gdz

ie:

i

r

 

– wartość zmiennej o i-tym wariancie badanej cechy,

E(R)– oczekiwana stopa zwrotu,

p

i

  –  prawdopodobieństwo  uzyskania  i-tej  możliwej  wartości  stopy 

zwrotu.

Wariancja z próby









2

1

1

2

1

var

















n

i

i

n

i

i

r

r

n

n

r

r

i

r

r

gdz

ie:

 

– wartość zmiennej o i-tym wariancie badanej 

cechy,

– średnia arytmetyczna,

n – ilość (liczba) badanych 

jednostek.

Odchylenie standardowe stopy 

zwrotu

Odchylenie  standardowe  stopy  zwrotu  –  podobnie  jak 

wariancja 

określa 

stopień 

dyspersji 

(rozproszenia) 

poszczególnych  wartości  badanej  cechy  od  jej  średniej 

arytmetycznej.  Jeżeli  wartość  odchylenia  standardowego 

zmniejsza  się  to  odpowiednio  maleje  także  dyspersja 

badanej  cechy  i  maleje  ryzyko  związane  z  danym 

instrumentem.  Odchylenie  standardowe  jest  obliczane  jako 

pierwiastek kwadratowy z wariancji i podawane jest w takich 

samych  jednostkach  jak  badana  cecha.  Przyjmuje  wartości 

dodatnie (nieujemne).

Odchylenie standardowe

 















n

t

t

i

st

R

E

r

p

1

2

var



Odchylenie standardowe z 

próby

(

)

2

1

1

n

st

t

t

r r

n

s

=

=

-

�

Zadanie 8

Oblicz 

odchylenie 

standardowe 

i 

wariancję stopy zwrotu dla inwestycji 
opisanej w Zadaniu 7

Odchylenie przeciętne

Odchylenie  przeciętne  –  jest  definiowane  jako  średnia 

arytmetyczna  bezwzględnych  odchyleń  wartości  stopy  zwrotu 

od średniej arytmetycznej stopy zwrotu. Odchylenie przeciętne 

przedstawia o ile od średniej arytmetycznej różnią się jednostki 

danej  zbiorowości.  Między  odchyleniem  przeciętnym  a 

standardowym  dotyczących  tego  samego  szeregu  istnieje 

zależność: 

st

s





.

 

Odchylenie przeciętne

( )

1

n

i

i

i

s

p r E r

=

=

� -

�

Odchylenie przeciętne z 

próby

















n

i

i

n

i

i

r

r

n

n

r

r

s

1

1

1

Zadanie 9

Oblicz  odchylenie  przeciętne  stopy 

zwrotu  dla  inwestycji  opisanej  w 
Zadaniu 7.

Względne miary ryzyka 

Względne  miary  ryzyka  –  należy  stosować  gdy  miary  bezwzględne 

mogą dawać mylące wyniki – na przykład gdy warunki inwestycyjne 

są  zasadniczo  odmienne  czyli  oczekiwane  stopy  zwrotu  z 

porównywanych inwestycji różnią się znacząco.

Standardowy współczynnik 

zmienności

Standardowy  współczynnik  zmienności  przedstawia  stosunek 

odchylenia  standardowego  do  oczekiwanej  stopy  zwrotu 

pomnożony przez 100%.

( )

100%

st

CV

E R

s

=

�

Przeciętny współczynnik zmienności

Przeciętny 

współczynnik 

zmienności 

określa 

stosunek 

odchylenia  przeciętnego  do  oczekiwanej  stopy  zwrotu 

pomnożony przez 100%.

( )

100%

s

CV

E R

=

�

Zadanie 10

Oceń 

ryzyko 

inwestycji 

A 

i 

B 

przedstawionych  poniżej  wykorzystując 
standardowy współczynnik zmienności.

Inwestycja A

Inwestycja B

Oczekiwana stopa 

zwrotu

0,07

0,12

Odchylenie 

standardowe

0,05

0,07

Zysk względny

Współczynnik  zmienności  zawodzi  w  przypadku 

inwestycji  o  ujemnych  stopach  zwrotu.  Wówczas 
można  posłużyć  się  jego  odwrotnością  określaną 
jako współczynnik zysku  względnego.

( )

100%

st

E R

W

s

=

�

Zadanie 11

Oceń 

ryzyko 

inwestycji 

A 

i 

B 

przedstawionych  poniżej  wykorzystując 
standardowy współczynnik zmienności.

Inwestycja A

Inwestycja B

Oczekiwana stopa 

zwrotu

0,07

-0,05

Odchylenie 

standardowe

0,05

0,07