Zestaw 6.
Struktury algebraiczne (cz. II)
Zadanie 1. Sprawdzić, czy struktura algebraiczna (X, +, F, " )1 jest przestrzenia wek-
torowa, jeżeli:
n
a) X = F oraz
+ : X X ((x1, . . . , xn) , (y1, . . . , yn)) (x1 + y1, . . . , xn + yn) " X
" : F X (Ä…, x1, . . . , xn) (Ä…x1, . . . , Ä…xn) " X;
n
b) X = F oraz
+ : X X ((x1, . . . , xn) , (y1, . . . , yn)) (x1 + y1, . . . , xn + yn) " X
" : F X (Ä…, x1, . . . , xn) (Ä…x1, 0, . . . , 0) " X;
df
›
c) X = F = {f : A F } oraz
+ : X X (·, Õ) · + Õ " X
" : F X (Ä…, Õ) Ä…Õ " X;
df
d) F = , X = n = {x a0 + a1x + . . . + anxn : ai " , i = 0, . . . , n}
z naturalnymi dzialaniami dodawania wielomian w i mnożenia wielomianu
przez liczbe;
e) F = , X = oraz
+ : X X (x, y) x + y " X
" : F X (Ä…, x) Ä…x " F ;
f) F = , X = {f : : f(-x) = f (x)} z naturalnymi dzialaniami dodawa-
nia funkcji i mnożenia funkcji przez liczbe;
g) F = , X = {f : : f(-1) = f (1) = 0} z naturalnymi dzialaniami
dodawania funkcji i mnożenia funkcji przez liczbe.
Zadanie 2. Sprawdzić czy:
n
n
a) Y = {(x1, . . . , xn) " : xi = a}, dla pewnego a " , jest podprzes-
i=1
n
trzenia wektorowa przestrzeni ( , +, , " );
b) Y = {f : : f(-x) = -f (x)} jest podprzestrzenia wektorowa przes-
trzeni funkcji prowadzacych z w z naturalnymi dzialaniami + i " .
Zadanie 3. Sprawdzić, czy:
n
a) Jeżeli Y1, . . . , Yn sa podprzestrzeniami wektorowymi przestrzeni X , to Yk
k=1
jest podprzestrzenia wektorowa przestrzeni X .
n
b) Jeżeli Y1, . . . , Yn sa podprzestrzeniami wektorowymi przestrzeni X , to Yk
k=1
jest podprzestrzenia wektorowa przestrzeni X .
1
X  zbi r niepusty, F  cialo, +  dzialanie wewnetrzne, "  dzialanie zewnetrzne.
1
Zadanie 4. W oparciu o poprzednie zadanie uzasadnić, że
3
Y = (x, y, z) " : x + 2y - z = 0, x = 2z
3
jest podprzestrzenia wektorowa przestrzeni , +, , · .
Zadanie 5.* Niech U i V beda podprzestrzeniami wektorowymi przestrzeni X .
Uzasadnić, że
U *" V  podprzestrzeÅ„ wektorowa X Ô! U ‚" V lub V ‚" U.
Zadanie 6. Sprawdzić liniowa zależność wektor w w podanych przestrzeniach wek-
torowych (z naturalnymi dzialaniami + i " ):
2
a) (1, 0), (1, 1), (0, 1) w , +, , " ;
"
b) 2 i 2 w ( , +, , " );
"
c) 2 i 2 w ( , +, , " );
d) 1, x, x2, . . . , xn w ( n, +, , " )2;
"
e) 1, x, x + 2, x2, . . . , xn w ( n, +, , " );
df
f) 1, sin x, cos x w (C ( ) , +, , " ), gdzie C ( ) = {f : : f  ciagla};
g) 1, sin x, cos x, sin2 x, cos2 x w (C ( ) , +, , " ).
Zadanie 7. Wyznaczyć bazy podanych przestrzeni wektorowych (z naturalnymi
dzialaniami + i " ):
a) ( n, +, , " );
df
b) (P2n, +, , " ), gdzie P2n = {w " 2n : w(x) = w(-x)};
c) ( , +, , " );
df
d) ( n (a) , +, , " ), gdzie n (a) = {w " n : w(a) = 0}.
Zadanie 8.* Wyznaczyć wymiar przestrzeni wektorowej ( , +, , " ). Dzialania +
oraz " to naturalne dzialania dodawania i mnożenia liczb.
Zadanie 9. Pokazać, że "x0, . . . , xn " : xi = xj (dla i = j) wielomiany Õ0, . . . , Õn

określone jako
x
df - xj
Õi (x) = , dla i = 0, . . . , n
xi - xj
j=i

stanowia baze przestrzeni wielomian w n.
Zadanie 10. Niech (X, +, , " ) bedzie przestrzenia wektorowa. Uzasadnić, że wek-
tory v1, . . . , vn " X sa liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy wektory
v1, v1 + v2, . . . , v1 + · · · + vn sa liniowo niezależne.
Zadanie 11. Zal żmy, że v1, . . . , vn sa liniowo niezależnymi, natomiast y, v1, . . . , vn sa
liniowo zależnymi wektorami przestrzeni wektorowej V . Udowodnić, że wektor y
można przedstawić jednoznacznie jako kombinacje liniowa wektor w v1, . . . , vn.
df
2
n = {x a0 + a1x + . . . + anxn : ai " , i = 0, . . . , n}
2
Odpowiedzi
Zadanie 1: a) jest; b) nie jest; c) jest; d) jest; e) nie jest; f) jest; g) jest;
Zadanie 2: a) jest dla a = 0; b) jest;
Zadanie 3: a) tak; b) wskaz wka: Zadanie 5;
Zadanie 4: Wskaz wka: uzasadnić, że
3 3
Y1 = (x, y, z) " : x + 2y - z = 0 oraz Y2 = (x, y, z) " : x = 2z
3
to podprzestrzenie wektorowe przestrzeni , +, , · , a nastepnie zastosować
zadanie 3a);
Zadanie 5*: Uzasadnienie:
Ð! twierdzenie oczywiste;
Ò! Hp.: U ‚" V i V ‚" U. W wczas: " u, v : u " U\V i v " V \U. Pokażemy
teraz, że u + v " U *" V , mimo że u, v " U *" V . Warunek u + v " U *" V
/
oznaczalby, że u + v " U lub u + v " V . Ponieważ
-u"U
gdyby u + v " U =Ò! v = -u + (u + v) " U  sprzeczność
-v"V
gdyby u + v " V =Ò! u = -v + (u + v) " V  sprzeczność.
Zadanie 6: Liniowo zależne sa wektory z przyklad w: a), b), g);
Zadanie 7: Przykladowe bazy: a) 1, x, x2, . . . , xn; b) 1, x2, x4, . . . , x2n; c) 1 + i, 1 - i;
d) x - a, (x - a)2 , . . . , (x - a)n;
Zadanie 8*: dim ( , +, , " ) = # = . Wskaz wka: uzasadnić, że każda przestrzeń
liniowa o przeliczalnej bazie rozważana nad przeliczalnym cialem jest przestrzenia
zawierajaca przeliczalna ilość element w.
1, i = k
Zadanie 9: Wskaz wka: pokazać, że Õi (xk) = .
0, i = k

3