ALGEBRA I - LISTA 6
1.12.2011
ZAD.1 Niech x, y, z " G. Udowodnij, że
" [x, y]-1 = [y, x] ([x, y] = x-1y-1xy jest komutatorem elementów x i y)
" [x, yz] = [x, z][x, y]z (xz = z-1xz jest sprzeżeniem x przez z)
" [xy, z] = [x, z]y[y, z]
" [x, y]z = [xz, yz]
ZAD.2 Wykaż, że [S3, S3] = A3
ZAD.3 Udowodnij, że jeÅ›li H < G i [G, G] ‚" H, to H G.
ZAD.4 Niech A, B < G. Definiujemy wzajemny komutant podgrup A i B jako [A, B] =<
{[a, b] : a " A, b " B} >. Udowodnij, że H G wtedy i tylko wtedy, gdy [G, H] < H.
ZAD.5 Wyznacz [G, G] i [[G, G], [G, G]] dla G = Isom(S1) (grupa izometrii okregu)
ZAD.6 Wyznacz [SL(2, Z3), SL(2, Z3)].
ZAD.7 Niech A bedzie normalna, abelowa podgrupa grupy G. Udowodnij, że dla każdego
g " G odwzorowanie łg : A A określone wzorem łg(x) = [g, x] jest homomorfizmem grupy
A w siebie.
ZAD.8 Udowodnij, że jeÅ›li H1, H2 G, to [H1, H2] ‚" H1 )" H2 i [H1, H2] G.
ZAD.9 Niech ą " Aut(G). Wykaż, że ą([G, G]) = [G, G] i ą(Z(G)) = Z(G)
1