ELEKTRONIKA
Podstaw Elektroniki
Obliczanie liniowych obwodów rozgałęzionych
Wydział Informatyki
Politechniki Szczecińskiej
Pojęcia wstępne
W teorii obwodów elektrycznych bada się różne zjawiska powstałe w wyniku
przepływu prądu elektrycznego. W obwodach elektrycznych najczęściej
wymuszeniem (przyczyna zewnętrzna) jest napięcie z
ródłowe, a odpowiedzią prąd
lub wielkość zależna od prądu. Rozpatrywamy obwody rozgałęziony o
wymuszeniach stałych (niezależnych od czasu). W obwodach tych dane są
zazwyczaj rezystancje wszystkich gałęzi oraz wymuszenia (idealnych z
ródeł
napięcia lub prądu  rezystancja wewnętrzna obwodu jest pomijalna). Do
obliczanie obwodów rozgałęzionych stosuje się różnych metod m.in. metoda
superpozycji, metoda przekształcenia sieci ( w literaturze) oraz inny metody które
zostanÄ… omawiany m.in.:
Metoda praw Kirchhoffa
Metoda oczkowa
Metoda potÄ™cjaÅ‚Ìw wÄ™zÅ‚owych
Metoda z
rÌdÅ‚a zastÄ™pczego (Twierdzenie Nortona i Twierdzenie Thevenina)
Metoda praw
Kirchhoffa
Rozwiązywania obwodów rozgałęzionych
A
metodą praw kirchhoffa złożonych z n- gałęzi
5
I1
tworzących w- węzłów dokonujemy w
1
I4
następujący sposób:
I5
B C
1. Przejmujemy dowolnie zwroty prądów we
4
I2
2
I6
wszystkich gałęziach obwodu,
3
2. Układamy, korzystając z pierwszego prawa
6
Kirchhoffa (dla węzłów), (w  1) równań,
I3
D
3. Układamy, korzystając z drugiego prawa
Kirchhoffa (dla oczek), m = n - (w 1) równań.
Liczba gałęzi w obwodzie na rysunku jest 6 (BA, BC, BD, AD, AC, CD) a liczba węzłów
jest 4 (A, B, C, D). Układanie równań z punktu 2 (w - 1) wynika że dla ostatniego węzła
przy układanie równań dla prądów został już ułożony. Całkowita liczba równań musi
odpowiadać liczbie niewiadomych prądów gałęziowych n, Jeżeli po rozwiązywaniu
układu równań okaże się, że jeden z prądów jest ujemny, to fakt ten oznacza, że jego
zwrot założono przeciwnie do rzeczywistego zwrotu.
Z zaÅ‚ożeÅ„ podanych wynika ze mamy 3 równania wÄ™zÅ‚owych (w  1 Ô! 4 - 1 = 3) i 3
równania oczkowy (m = n  (w 1) Ô!m= 6  (4  1) =3). Patrz rózwiÄ…zanie
RozwiÄ…zywania obwodu
MetodÄ… praw Kirchhoffa
A
I1
I1 - I5 - I4 = 0
Węzeł A
oczko 1 I4
I5
I2 + I5 - I6 = 0
Węzeł C
B C
I2
I6
I3 + I6 + I4 = 0
Węzeł D
oczko 2
I3
D
E1 - R1I1 - R5I5 - R2I2 - E2 = 0
Oczko 1
E2 + R2I2 - R6I6 - R3I3 - E3 = 0
Oczko 2
R5I5 + R6I6 - R4I4 = 0
Oczko 3
Rozwiązywania obwodów rozgałęzionych metodą praw Kirchhoffa można stosować dla
dowolnych sieci. Jednak metoda ta staje się skomplikowana wraz z wzrostem liczby gałęzi
sieci. Wskutek tego w praktyce stosuje siÄ™ szereg metod Å‚atwiejszych. Kierunki spadki
napięcia na poszczególnych rezystorów musi być odwrotna do kierunku dobranego prądu.
oczko 3
Metoda oczkowa
A
Metoda oczkowa jest metodÄ… szeroko
I1
stosowanÄ… w praktyce. Metoda ta polega na
'
I4
I1
tym, że zamiast prądów gałęziowych oblicza
I5
siÄ™ tzw. prÄ…dy oczkowe zamykajÄ…ce w
BC
'
I2
I3
I6
niezależnych oczkach sieci (umyślone prądy
'
oczkowe  cykliczne). PrÄ…dy rzeczywiste
I2
stanowią wtedy sumą lub różnicy prądów
I3 D
umyślonych (prądy oczkowe).
Rozwiązywania obwodów rozgałęzionych metodą oczkową sprowadza się wtedy tylko do
rozwiązania układu złożonego z m niezależnych równań. Rozwiązania obwodu dokonujemy
w następujący sposób:
1. Przejmujemy dowolnie zwroty prądów rzeczywistych we wszystkich gałęziach obwodu,
2. Ustalamy dowolny zwroty prądów oczkowych (prądy umyślne) i oznaczamy te prądy jako
' ' '
I , I , I ,
1 2 3
3. Ustalamy prądy w gałęziach wspólnych dla każde z sąsiednich dwóch oczkach,
4. Układamy, korzystając z drugiego prawa Kirchhoffa (dla oczek), m = n - (w  1) równań.
Patrz rózwiązanie
RozwiÄ…zywania obwodu
MetodÄ… oczkowÄ…
Krok 1 - Zgodnie z punktu 3 prÄ…dy
A
gałęziowych wspólne dla dwóch sąsiednich
I1
' '
'
oczkach sÄ…:
I = - I1' + I , I = I1' - I ,
I4
I1
2 2 5 3
I5
' '
I = I + I ,
6 2 3
BC
'
I2
I3
Krok 2  wznaczanie prÄ…dy wewnÄ…trz oczka: I6
' '
I1 = I1' , I = - I , I = I
'
3 2 4 3
I2
Krok 3  wyznaczamy 3 równań dla 3 oczek.
Oczko 1 E1 - R1I1 - R5I5 - R2I2 - E2 0 I3 D
=
Oczko 2 E R2 I - R6 I6 - R3I3 - E3 0 Oczko 3 + R I - R I = 0
+ = R I
2 2 5 5 6 6 4 4
Krok 4  prądy rzeczywisty zastępujemy prądamy umyślnimi:
' ' ' ' '
Oczko 1
E - R I - R ( I - I ) - R ( - I + I ) - E = 0
1 1 1 5 1 3 2 1 2 2
' ' ' ' '
Oczko 2
I
E + R ( - I + ) - R ( I - I ) - R ( - I ) - E = 0
2 2 1 2 6 2 3 3 2 3
' ' ' ' '
Oczko 3
R ( I - I ) R ( I - I ) - R I = 0
+
5 1 3 6 2 3 4 3
Krok 5  po przekształceniu równań otrzymujemy 3 równania z trzema niewiadomymi:
' ' '
Oczko 1
( R + R + R ) I - R I - R I = E - E
1 2 5 1 2 2 5 3 1 2
' ' '
Oczko 2
- R I + ( R + R + R ) I - R I = E - E
2 1 2 3 5 2 6 3 2 3
' ' '
Oczko 3
- R I - R I + ( R + R + R ) I = 0
5 1 6 2 4 5 6 3
'
Krok 6  wyznaczamy prądy 2 ' 3' a następnie wystawiamy do wzorów na prądy
I , I , I ,
1
rzeczywisty (krok 1 i krok 2).
Metoda potęcjałów
Węzłowych
Metoda potęcjałów węzłowych jest metodą
VA
mało stosowaną w praktyce. Metoda ta polega
5
I1
na tym, że jeden z węzłów w danym obwodzie
1
I4
można równać go do zera (oziębienia układu).
I5
VC
Rozwiązywania obwodów rozgałęzionych
VB
4
I2
2
I6
metodą potęcjałów węzłowych sprowadza się
3
wtedy tylko do rozwiązania układu złożonego z
6
m niezależnych równań wzgłędem liczbie
potencjałów węzłówych - jeden. Rozwiązania
I3
VD
obwodu dokonujemy w następujący sposób:
1. Przejmujemy dowolnie zwroty prądów rzeczywistych we wszystkich gałęziach obwodu (kolor
niebieski),
2. Ustalamy dowolny kierunek dla każdej z gałędzi (1,2,3,4,5,6  kolor zielony), w celu
obliczanie równanie (różnicy potęcjałów),
3. Piszemy zgodnie z prawem Kirchhoffa (pierwsze prawo) bilans prądów w węz
le A, B, C,
4. Wyznaczamy z równań punktu drugiego prądy i wstawiamy je do równań punku trzeciego),
5. Wznaczamy tyle równań względem potęcjałów ile ich jest minus jeden i obliczamy ich
wartości (zalecane zamiana rezystancji na kondukcjancji Gn = 1/Rn),
6. Wstawiamy wartości potęcjałów z punktu 5 do równań punktu 2 i obliczamy prądy. Patrz
rozwiÄ…zanie
RozwiÄ…zywania obwodu
Metodą potencjałów
węzłowym
Krok 1 - wyznaczamy 6 równań dla 6 różnic
VA
potencjałów( VB =0).
I1
E1 - R1I1 - VA = 0 Ô! E1 - R1I1 = VA
I4
I5
E2 - R2I2 - VC = 0 Ô! E2 - R2I2 = VC VB
VC
I2
E3 - R3I3 - VD = 0 Ô! E3 - R3I3 = VD I6
(VA -VC ) - R5I5 = 0 Ô! VA -VC = R5I5
(VC -VD ) - R6I6 = 0 Ô! VC -VD = R6I6
I3 VD
(VA -VD ) - R4I4 = 0 Ô! VA -VD = R4I4
Krok 2 - wyznaczamy prądy węzłowy w punkcie VA, VC, VD zgodnie z 1 prawa Kirchhoffa
I - I - I = 0 , I + I - I = 0 , I + I + I = 0
1 5 4 2 5 6 3 6 4
Krok 3  z pierwszego kroku wyznaczamy równań prądów węzłowych i wystawi
amy do równań kroku 2.
E1 -VA VA -VC VA -VD E2 -VC VA -VC VC -VD E3 -VD VC -VD VA -VD
- - =0, + - = 0, + + = 0
R1 R5 R4 R2 R5 R6 R3 R6 R4
Krok 4  wstawiając za 1/R1 =G1, itd. do 1/R6 =G6 otrzymujemy 3 równania względem VA, VC,VD:
+ (G1 + G5 + G )V - G5VC - G VD = E1,
4 A 4
Krok 5  wyznaczamy potencjały VA, VC,VD
a następnie wystawiamy do wzorów (krok 1)
- G V + (G + G + G )VC - G V = E ,
5 A 2 5 6 6 D 2
i wyznaczamy prÄ…dy.
- G V - G VC + (G + G + G )V = E ,
4 A 6 3 4 6 D 3
Metoda z
rÌdÅ‚a zastÄ™pczego
Twierdzenie
Thevenina i Nortona
Twierdzenie Thevenina. Prąd w dowolnej gałęzi AB, dołączonej do aktywnej
sieci elektrycznej nie ulegnie zmianie, jeżeli sieć tę zastąpi się równoważnym
z
ródłem napięcia, którego wartość jest równa napięciu na zaciskach otwartej gałęzi
AB. Rezystancja wewnętrzna Rw tego z
ródła jest równa rezystancji sieci pasywnej
widzianej od strony zacisków otwartej gałęzi AB.Patrz przykład
Obwód
aktywny
Obwód
aktywny
Twierdzenie Nortona. Prąd w dowolnej gałęzi AB, dołączonej do aktywnej sieci elektrycznej
nie ulegnie zmianie, jeżeli sieć tę zastąpi się równoważnym z
ródłem prądu, którego wydajność
jest równa prądowi, jaki popłynąłby między zaciskami AB przy ich zwarciu. Rezystancja
wewnętrzna Rw tego z
ródła jest równa rezystancji sieci pasywnej widzianej od strony zacisków
otwartej gałęzi AB.Patrz przykład
RozwiÄ…zywania obwodu
MetodÄ… Thevenina
I Io
Zastosowanie tej metodzie umożliwia wyznaczenie wartości prądu płynącego w
danej gałęzi, bez konieczności ułożenia i rozwiązania określonego układu równań.
Krok 1  Przy odłączonym R, w obwodzie płynie prąd. Napięcie Uo, występujące między
zaciskami AB, jest równe spadkowi napięcia na rezystancji R3:
E
E
U0 = R3I = R3 ,
I = ,
R1 + R2 + R3
R + R + R
1 2 3
Krok 2  obliczamy rezystancja wewnętrzna obwodu mierzona miedzy zaciskami AB.
(R1 + R2 )R3 Ostatecznie prąd Io płynące
U
0
Rw = R4 + ,
I =
0
R1 + R2 + R3 przez R jest równe R + R
w
RozwiÄ…zywania obwodu
MetodÄ… Nortona
C
Krok 1  Przy odłączonym R, w celu określenia prądu Io przepływającego przez konduktancję
G należy obliczyć najpierw rezystancję obwodu przy zwarciu zacisków wyjściowych AB.
R R
3 4
R = R + R + ,
z 1 2
R + R
3 4
Krok 2  obliczamy rezystancja między punktami AC, prąd płynący ze z
ródła napięcia i napięcie między
punktami AC.
R R E
3 4
U = RAC I
R = , I = ,
AC
AC
R + R R
3 4 z
Krok 3  między zwartymi zaciskami AB płynie prąd o wartości równej prądowi z
ródłowemu idealnego z
ródła
U 1 1
prÄ…du.
AC
I = , G = , G =
z w
R R R
4 3
Krok 4  zgodnie z zasadÄ… dzielnika prÄ…du, prÄ…d rozdziela siÄ™
między gałęzi wprost proporcjonalnie do Gw i G.
G
I = I
0 z
Krok 5. Ostatecznie prąd Io płynące przez konduktancję G jest równe:
G + G
w