ZESTAW 7. Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegięcia wykresu. Asymptoty.
Zadanie 1. Znajdz
równania asymptot funkcji f gdy:
1 3x - 5 x - 2
x2 - 1
a) f(x) = c) f(x) = g) f(x) =
e) f(x) =
1 - x2 7 - 4x x2 - 4
x + 4
3x + 5 x2 + 3 x2 - 1 3x2 + 7x
b) f(x) = d) f(x) = f) f(x) = h) f(x) =
7x - 6 x - 1 x - 1 x - 3
Zadanie 2. Wyznacz przedziały monotoniczności następujących funkcji:
3x2 + 1
a) f(x) = x3 + 5x - 9 d) f(x) = 2x3 + 3x2 - 36x + 83
g) f(x) =
x2 + 2
e) f(x) = 2x3 + 5x2 - 4x - 11
b) f(x) = 2x3 - 9x2 + 12x - 17
x x2 - 4
f) f(x) = h) f(x) =
c) f(x) = -4x2 - 3x + 2
x2 + 4 x2 + 4
Zadanie 3. Wyznacz ekstrema funkcji:
x + 1
a) f(x) = x2 + 2x - 15 f) f(x) = x3 + 3x2 - 9x - 14
j) f(x) =
x2 + 4
b) f(x) = -2x2 - 10x + 28
g) f(x) = -x3 + 9x2 - 27x + 17
x2 + 4
c) f(x) = x3 + 3x + 4
k) f(x) =
h) f(x) = x4 + 4x2 - 2 x2 + 3
d) f(x) = -4x3 - 2x + 1
2x
1 1
l) f(x) =
i) f(x) = x4 - x2
e) f(x) = 2x3 - 15x2 + 36x - 14
x2 + 1
4 2
Zadanie 4. Znajdz
największe i najmniejsze wartości funkcji na wskazanych przedziałach:
x + 1
a) f(x) = 2x2 + 2x - 4, x " [0, 2]
i) f(x) = , x " [3, 5]
x - 2
b) f(x) = -3x2 + 6x + 9, x " [-4, 0]
2x + 5
j) f(x) = , x " [0, 2]
c) f(x) = x2 - 2x + 3, x " [-2, 5]
x + 1
d) f(x) = -3x2 + 6x - 1 x " [-3, 2]
3x - 1
k) f(x) = , x " [-5, -1]
2x + 3
e) f(x) = 2x3 - 3x2 - 36x - 8, x " [-3, 6]
x2 + 1
f) f(x) = -x3 - 3x2 - 9x + 21, x " [-4, 2]
l) f(x) = , x " [-1, 1]
x2 + 4
g) f(x) = -4x3 + 6x2 + 24x - 3, x " [0, 3]
2x2 - 3
m) f(x) = , x " [-1, 1]
h) f(x) = 2x3 + 21x2 + 36x - 4, x " [-2, 1]
x2 + 2
Zadanie 5. Wyznacz punkty przegięcia, przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji:
a) f(x) = x4 - 4x3 + 8x2 c) f(x) = 3x4 + 7x + 1 e) f(x) = x4 -12x3 +48x2 f(x) = x
g)
x2 + 2
x4 2x3 3x2
f) f(x) = - +
b) f(x) = 5x4 + 2x3 + x2 d) f(x) = -2x4 - 4x + 5
12 3 2
1
Zadanie 6. Zbadaj, czy wraz ze wzrostem dochodu x, rośnie również popyt y stosując:
a) dla dóbr podstawowych funkcjÄ™ Törnquista pierwszego rodzaju
2x
y = gdzie x " [0, "),
x + 1
b) dla dóbr wyższego rzÄ™du funkcjÄ™ Törnquista drugiego rodzaju
x - 5
y = gdzie x " [0, "),
x + 2
c) dla dóbr luksusowych funkcjÄ™ Törnquista trzeciego rodzaju
x
y = x gdzie x " [0, ").
x + 3
2