---

Overview

Macierze
M_ćwicz
ZmienneLosDyskretne
ZmienneLosCiagle
Hipotezy1
Hipotezy2

---

Sheet 1: Macierze

Zadanie 1
Wykonaj transpozycję macierzy wykorzystując funkcję TRANSPONUJ
	2	23	11
A=	3	5	5			2	3	4	6			Funkcje tablicowe Excela należy zakończyć naciśnięciem klawiszy CTRL+SHIFT+ENTER						zapisujemy dane wiersze macierzy A jako kolumny macierzy B
	4	4	8		AT=	23	5	4	9
	6	9	4			11	5	8	4
Zadanie 2
Dodaj do siebie dwie macierze
	2	23	11			3	77	12
A=	3	5	5		B=	6	5	8
	4	4	8			7	9	7
	6	9	4			8	23	3
	5	100	23
A+B=	9	10	13				dodajemy odpowiednie komórki
	11	13	15
	14	32	7
Zadanie 3
Oblicz iloczyn macierzy A i B wykorzystując funkcję MACIERZ.ILOCZYN
	2	4	3							38	59			ilość kolumn macierzy 1 musi byś równa ilości wierszy macierzy 2
A=	3	6	6			3	4		AB=	63	102
	5	8	2		B=	5	6			63	86
	1	2	3			4	9			25	43
Zadanie 4
Oblicz wyznacznik macierzy A wykorzystując funkcję WYZNACZNIK.MACIERZY
	2	23	11						wyznacznik istnieje tylko dla macierzy kwadratowej
A=	4	4	8		det(A)=	756
	6	9	4
Zadanie 5
Oblicz macierz odwrotną do macierzy A wykorzystując funkcję MACIERZ.ODW
	0	23	11			-0,06	0,01	0,16		macierz jest odwracalna wtedy i tylko wtedy gdy jej wyznacznik jest różny od 0
A=	4	4	8		A-1=	0,04	-0,08	0,05
	6	9	4			0,01	0,16	-0,11		macierz odwrotna jest to macierz podniesiona do potęgi -1
						1	0	0
					AA-1=	1,38777878078145E-17	1	0		pomnozenie danej macierzy przez jej odwrotność powinno dać macierz jednostkową
						2,08166817117217E-17	0	1
					tytaj nie ma zera tylko takie coś ponieważ w macierzy są przyjęte zaokrąglenia ale i tak liczba która tu występuje jest bardzo mała

---

Sheet 2: M_ćwicz

Zadanie 1
Dana jest macierz prostokątna A, oblicz (ATA) i (ATA)-1
A=	10	1	2	3
	2	5	12	1
						(ATA)=	104	20
	10	2					20	26
AT=	1	5
	2	12				(ATA)-1=	0,01	-0,01
	3	1					-0,01	0,05
Zadanie 2
Oblicz Ax
	10	1	2	3			1			16
A=	1	3	2	9		x=	-3		Ax=	-5
	2	5	12	1			6			58
							-1
Zadanie 3
Oblicz xTAx dla macierzy symetrycznej A i dowolnego wektora x jak poniżej.
										xT	*	Ax		xTAx =
	10	1	2			-9						-71
A=	1	3	5		x=	5		-9	5	7		41	=	1481
	2	5	12			7						91
Zadanie 4
Oblicz iloczyn macierzy A i B
	3	5	2							44	18
A=	1	-4	2			2	-3			-14	-21
	-5	1	4		B=	6	5		AB=	12	24
	3	2	-7			4	1			-10	-6
	-2	2	4							24	20
Zadanie 5
Sprawdź, czy można odwrócić macierz A i B. Jeśli tak oblicz macierze odwrotne względem A i B.
	0	4	2	5						2,22222222222222	0,222222222222222	-3,22222222222223	0,555555555555556
A=	4	3	4	-2		det(A)=	18		A-1=	-5,55555555555556	-0,555555555555556	7,55555555555556	-0,888888888888889
	1	4	2	4						3,55555555555556	0,555555555555556	-4,55555555555556	0,388888888888889
	6	6	2	4						3,22222222222223	0,222222222222223	-4,22222222222223	0,555555555555556
	2	3	1
B=	4	5	-1		det(B)=	0		macierz B jest nieodwracalna ponieważ jej wyznacznik jest równy 0
	4	6	2
Zadanie 6
Oblicz (Ax)TB .
				3x3
	3	5	4			23
A=	2	4	3		Ax=	16
	4	1	5			35
	4
x=	-1	3x1			(Ax)T=	23	16	35
	4
	8	7
B=	5	3			(Ax)TB=	299	244
	1	1
Zadanie 7
Oblicz (AB)-1C+D .
	1	2	5			17	11
A=	5	4	2		AB=	32	15
B=	2	3
	5	-1			(AB)-1=	-0,154639175257732	0,11340206185567			(AB)-1C+D=		1,03092783505155	4,49484536082474	5,98969072164948
	1	2				0,329896907216495	-0,175257731958763					4,1340206185567	3,14432989690722	2,28865979381443
	2	4	3
C=	3	1	4
					(AB)-1C=	0,030927835051546	-0,505154639175258	-0,010309278350516
	1	5	6			0,134020618556701	1,14432989690722	0,288659793814433
D=	4	2	2

---

Sheet 3: ZmienneLosDyskretne

Przykład 1
Rozkład zmiennej losowej przedstawiono w tabeli. Wyznacz dystrybuantę oraz znajdź prawdopodobieństwo, że zmienna przyjmie wartości z przedziału <1,7>.
Wartości zmiennej		0	1	5	7	9
P(X=xi)		0,02	0,42	0,34	0,14	0,08
x	F(x)
....,0)	0		P(1<=X<=7)		0,9
<0,1)	0,02
<1,5)	0,44
<5,7)	0,78
<7,9)	0,92
<9,...	1
Zadanie 1
Zakładając, że liczba wizyt domowych lekarza rodzinnego w ciągu doby ma rozkład:
Liczba wezwań X=xi		0	1	2	3	4	5	6		x	…,0)	<0;1)	<1;2)	<2;3)	<3;4)	<4;5)	<5;6)	<6;…
P(X=xi)		0,02	0,12	0,3	0,1	0,18	0,14	0,14		F(x)	0	0,02	0,14	0,44	0,54	0,72	0,86	1
		0	0,12	0,6	0,3	0,72	0,7	0,84
a) Sporządzić wykresy rozkładu prawdopodobieństwa i dystrybuanty;
b) Obliczyć prawdopodobieństwo, że w ciągu dnia liczba wezwań będzie wynosić od 2 do 4;
c) Obliczyć oczekiwaną liczbę wezwań w ciągu doby.
Liczba wezwań X=xi		0	1	2	3	4	5	6
P(X=xi)		0,02	0,12	0,3	0,1	0,18	0,14	0,14
F(X)		0,02	0,14	0,44	0,54	0,72	0,86	1
P(2<=X<=4)		0,58
					wartość oczekiwana		3,28
Zadanie 2						suma xi*pi
Dystrybuanta zmiennej losowej skokowej X ma postać:
x	(- , -3)	<-3,-2)	<-2,-1)	<-1,0)	<0, 1 )	<1, )
F(X=x)	0,00	0,20	0,50	0,75	0,9	1,00
a) Zapisać rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X i sporządzić wykres tej funkcji.
b) Obliczyć P(-3£X£0) i P(X³-2)
x	(- , -3)	<-3,-2)	<-2,-1)	<-1,0)	<0, 1 )	<1, )		xi	-3	-2	-1	0	1
F(X=x)	0,00	0,20	0,50	0,75	0,9	1,00		P(X=xi)	0,2	0,3	0,25	0,15	0,1
								P(-3<=X<=0)		0,9
								P(X>=-2)		0,8
Zadanie 3
Rozkład skokowej zmiennej losowej X określony jest dystrybuantą:
x	F(x)		xi	pi
....,1)	0		1	0,15
<1,3)	0,15		3	0,1
<3,5)	0,25		5	0,25
<5,7)	0,5		7	0,3
<7,9)	0,8		9	0,2
<9,...	1

---

Sheet 4: ZmienneLosCiagle

Sporządzić wykres dystrybuanty i funkcji gęstości rozkładu normalnego.

ZADANIA:

1. Wyznacz funkcję gestości oraz dystrybuantę zmiennej losowej

o rozkładzie normalnym, o średniej 2 i odchyleniu standardowym 2,3

w punkcie 2,1

f(x)

0,173289298455239

F(x)

0,517339853275389

2. Wyznacz prawdopodobieństwo, że zmienna losowa

o rozkładzie t dla 25 stopni swobody jest wieksza od 1.

P

0,163445956345921

3. Wyznacz prawdopodobieństwo, że bezwzględna wartość zmiennej losowej

o rozkładzie t dla 25 stopni swobody jest wieksza od 1.

P

0,326891912691842

4. Wyznacz prawdopodobieństwo, że zmienna losowa

o rozkładzie F dla 25 stopni swobody licznika i 11 mianownika jest większa 1.

P

0,526665746549102

ZADANIA:

1. Wyznacz wartość x zmiennej losowej X

o rozkładzie normalnym, ze średnią 2 i odchyleniu standardowym 2,3

dla której P(N£x)=0,3

x

0,793878820771507

2. Wyznacz wartość x zmiennej losowej X

o rozkładzie t dla 25 stopni swobody, dla której P(|T|³x)=0,3

x

1,05838439261091

3. Wyznacz wartość x zmiennej losowej X

o rozkładzie t dla 25 stopni swobody, dla której P(T³x)=0,3

x

0,531153789581929

Uwaga: P(|T|³x)=2×P(T³x)

4. Wyznacz wartość x zmiennej losowej X

o rozkładzie F dla 25 stopni swobody licznika i 11 mianownika

dla której P(F³x)=0,3

x

1,36863623315344

---

Sheet 5: Hipotezy1

Hipoteza o wartości średniej populacji, dla której jest znana wariancja
Badamy cechę X o rozkładzie N(m,s), gdzie s jest znane. Pobieramy próbę losową (x1, x2, …, xn).
Chcemy stwierdzić, czy średnia dla populacji m=m.
Średnią z próby oznaczamy jako
Hipoteza zerowa: H0: =m
Statystyka testu:			o rozkładzie				n - liczność próby			alfa - poziom istotności
Obszar krytyczny:		P(RÌQ)=a
									Obszar krytyczny
									a=P(RÌQ)=P(R£-rkÈR£-rk)=
									=P(R£-rk)+P(R£-rk)=2P(R£-rk)=
									Jeżeli rempÎQ hipotezę zerową należy odrzucić
Przykład 1
Zmierzono średnicę 100 piłek produkowanych w zakładzie A i uzyskano wartość średnią tej średnicy równą 132 cm.
Odchylenie standardowe wynosi 8.
Czy można przyjąć na poziomie istotności 0,05, że średnica piłki produkowanej w tym zakładzie wynosi 130 cm?
Obliczamy remp=		2
Obliczamy -rk=		-1,56797118763204
Wniosek: Hipotezę zerową należy odrzucić
Przykład 2
Przeciętna długość produkowanego elementu powinna być równa wynosi 5 m, przy odchyleniu standardowym równym 0,1
Sprawdzić, czy na poziomie istotności 0,05 średnia długość elementu odpowiada wymaganej.
Zmierzono 12 elementów, otrzymane wyniki podane są w tabeli.
i	xi
1	5,02		x	4,95166666666667
2	4,88		m	5		r emp	-0,048333333333333
3	4,91		sigma (odchylenie standardowe)	0,01
4	4,89		alfa (poziom istotności)	0,5		`-rk	-0,056579286703809
5	4,87
6	5,01
7	5,09				hipoteze możemy przyjąć ponieważ r emp mieści się w obsarze przyjęcia hipotezy (-0,0568;0,05658)
8	5,06
9	4,95
10	4,93
11	4,96
12	4,85

---

Sheet 6: Hipotezy2

Hipoteza o wartości średniej populacji, dla której wariancja nie jest znana
Badamy cechę X o rozkładzie N(m,s), gdzie s nie jest znane. Pobieramy próbę losową (x1, x2, …, xn).
Chcemy stwierdzić, czy średnia dla populacji m=m.
Średnią z próby oznaczamy jako					Odchylenie standardowe z próby oznaczamy jako
Hipoteza zerowa: H0: =m
Statystyka testu:			o rozkładzie t-Studenta o n-1 stopniach swobody
Obszar krytyczny:		P(RÌQ)=a
									Obszar krytyczny
									a=P(RÌQ)=P(|R|³rk)
									Jeżeli rempÎQ hipotezę zerową należy odrzucić
Przykład 1
Zważono 50 opakowań soli i uzyskano średnią =0,46 kg. i odchylenie standardowe s=0,1.
Czy można przyjąć na poziomie istotności 0,01, że średnia waga opakowania wynosi 0,5 kg?
Obliczamy remp=		-2,82842712474619		x	0,46		n	50
				m	0,5		s	0,1
Obliczamy rk=		2,67995197363155					alfa	0,5
Wniosek: Hipotezę zerową należy odrzucić
Przykład 2
Czas świecenia żarówki jest zmienną losową o rozkładzie N(μ,s)
Należy przetestować hipotezę H0: μ=m=900 godz na poziomie istotności 0,01
Zbadano 10 żarówek, których czas świecenia podano w tabeli.
													(xi-x)2
i	xi												806,559999999999
1	1017		alfa	0,01		remp	0,713918362258279						985,959999999999
2	1020		x	988,6		rkrytyczne	3,24983554159213						3180,96
3	1045		m	900									4816,36
4	1058		n	10									25090,56
5	1147		s (odchylenie standardowe)	392,450755580309									1489,96
6	950					można przyjąć hipotezę ponieważ remp mieści się w r krytycznym							93880,96
7	1295												4277,16
8	1054												35569,96
9	800												238729,96
10	500												977329,96