1. Zapisz równanie na naprężenia normalne w przekroju obciążonym siłą mimośrodową.

Skąd bierze się takie równie?

Równanie to bierze się z zasady superpozycji. Zginanie w płaszczyznach XZ i XY oraz osiowe rozciąganie.

Takie równanie bierze się stąd iż siła działająca na mimośrodzie jest zależna od punktu przyłożenia w głównych osiach centralnych danego przekroju. Wywołuje ona naprężenia ściskające i rozciągające odpowiednich włókien.

2. Wykaż, że obciążenie przekroju siłą mimośrodową jest równoważne zginaniu ukośnemu i obciążeniu siłą podłużną.

Wypadkowa N normalna do przekroju, zaczepiona jest w punkcie o współrzędnych yn oraz Zn.

Zgodnie z zasadą de Saint-Venanta statycznie równoważne obciążenia wywołują jednakowe stany naprężenia i odkształcenia a to pozwala zastąpić wypadkową N zaczepioną w punkcie (yn;zn.) równoważnym układem złożonym z siły podłużnej N, zaczepionej w środku ciężkości pręta i dwoma momentami My i Mz których wektory są równoległe do odpowiednich osi układu odniesienia. W ten sposób otrzymamy osiowe rozciąganie i dwa proste zginania względem osi Y i Z które są równoważne zginaniu ukośnemu.

3. Wyprowadź równanie odcinkowe osi obojętnej dla mimośrodowego rozciągania.

1.

2.

3

4.

Równanie osi obojętnej :

5.

4. Czy położenie osi obojętnej dla przekroju obciążonego siłą mimośrodową zależy od punktu przyłożenia siły, jej wartości i zwrotu? Odpowiedz uzasadnij.

Położenie osi obojętnej dla przekroju obciążonego siłą mimośrodową zależy od punktu przyłożenia siły, która znajduje się zawsze po przeciwnej stronie środka ciężkości przekroju poprzecznego od punktu przyłożenia.

Im dalej od środka ciężkości przekroju przyłożona jest siła tym oś obojętna przybliża się do środka ciężkości i odwrotnie.

Położenie osi obojętnej nie zależy natomiast od wartości przyłożonej siły (wpływa ona natomiast na wielkość naprężenia) i zwrotu (decyduje on o tym które włókna będą rozciągane a które ściskane względem osi obojętnej)

5. Naszkicuj rozkład naprężenia normalnego przekroju mimośrodowo rozciąganego, jeżeli znane jest położenie osi obojętnej i wskaż punkty maksymalnych bezwzględnych wartości naprężeń normalnych.

6. Co to jest rdzeń przekroju? Wymień podstawowe właściwości rdzenia przekroju.

Miejsce geometryczne punktów przekroju poprzecznego pręta, w których przyłożona siła, równoległa do jego osi wywołuje naprężenia normalne jednego znaku w całym przekroju.

Właściwości rdzenia:

• Rdzeń jest figurą wypukłą

• Posiada tyle boków, ile boków ma najmniejszy wielobok opisany na przekroju

• Jest figurą symetryczną do symetrycznego przekroju

• Nie może wychodzić poza obrys przekroju, ale może wychodzić poza sam przekrój

7. W jaki sposób jest tworzony rdzeń przekroju? Uzasadnij metodę konstrukcji.

Wyznaczamy główne centralne osie bezwładności (Y.Z) i wartości ich promieni bezwładności iy, iz.

Rysujemy styczną przekroju uważając ją za os obojętną, współrzędne punktu przyłożenia będą leżały po przeciwnej stronie środka masy od danej osi obojętnej, a jeśli oś obojętna jest prostopadła do osi głównej centralnej to w dodatku punkt będzie na tej centralnej głównej.

yn= -iz²/ay zn= -iy²/az

8. Siła mimośrodowa przyłożona jest w przekroju na jednej z jego osi głównych centralnych poza rdzeniem. Opisz położenie osi obojętnej.

Oś obojętna przechodzi przez przekrój i jest prostopadła do osi głównej centralnej na której jest przyłożona siła. Oś obojętna znajduje się poza rdzeniem.

9. Siła mimośrodowa przyłożona jest w narożu krzywej rdzeniowej. Czy oś obojętna ma jeden punkt styczności z konturem czy też więcej? Odpowiedź uzasadnij.

Oś obojętna posiada wtedy więcej niż jeden punkt styczności, ponieważ punkt w narożu krzywej rdzeniowej odpowiada stycznej do boku najmniejszego możliwego wieloboku opisanego na przekroju.

11. Naszkicuj kształt rdzenia dla półkola.

Na obwiedni półkola występuje nieskończenie wiele prostych stycznych dlatego wybieramy tylko te prostopadłe do głównych osi centralnych.

13. O czym mówi hipoteza płaskich przekrojów (Bernoulliego)?

Przekrój poprzeczny płaski i prostopadły do osi pręta przed odkształceniem, pozostaje w wyniku deformacji nadal płaski i prostopadły do ugiętej osi pręta. W przypadku czystego zginania hipoteza staje się twierdz., którego dowód przeprowadza się w oparciu o analizę deformacji pręta.

W wartościach naprężeń normalnych będzie błąd rzędu h/l dlatego te hipotezę stosujemy w przypadku zginania poprzecznego prętów długich bo błąd będzie pomijalnie mały.

To, że przekrój po odkształceniu pozostaje płaski oznacza liniowy rozkład odkształceń normalnych po wysokości przekroju.

Dwa parametry występujące we wzorze powyżej mają prostą interpretacje fizyczną.

- jest to odkształcenie liniowe (wydłużenie lub skrócenie) włókien dla z = 0,

K - oznacza krzywiznę tych włókien.

14. Zapisz wzór na naprężenia normalne w przekroju zginanym poprzecznie. Gdzie osiągną one największe bezwzględne wartości?

σx=My/Iy*z gdy Mz=0, N=0

M – moment zginający,

Iy – m bezw przekr wzgl osi głównej centralnej y,

z – współrzędna warstwy dla której wyznaczane jest naprężenie,

Największe wartości naprężenia występują w warstwach belki dla których współrzędna z osiąga wartości ekstremalne, czyli na górnej i dolnej krawędzi przekroju.

15. Zapisz wzór na uśrednione naprężenia styczne przekroju zginanego poprzecznie. Opisz wielkości występujące we wzorze.

txz=(Qz*Sy)/(Iy*bz)

txz- – średnie naprężenia styczne we włóknach z = const w przekroju pręta o współrzędnej x,

Sy - moment styczny względem osi zginania części przekroju ponad włóknami w których wyznaczamy naprężenia,

bz - szerokość przekroju na wysokości z,

Qz - siła pop w przekr, w którym wyznacz nap

Iy - m bezwł przekr poprze względem osi zgin

16. Jak określić znak naprężenia stycznego w przekroju zginanym poprzecznie?

Zwrot tych naprężeń jest taki jak zwrot siły poprzecznej i nie zależy od przyjętego układu odniesienia. Przypisanie odpowiedniego znaku po ustalonym już zwrocie naprężenia stycznego związane jest z przyjętym układem odniesienia i reguluje to umowa znakowania naprężeń stycznych – reguła podwójnej zgodności (zwrotów osi układów współrzędnych i zwrot normalnej zewnętrznej do płaszczyzny przekroju)

18. Przedstaw zależność krzywizny osi pręta od momentu zginającego. Jak nazywa się współczynnik proporcjonalności?

|w''(x)|=|My(x)|/(E*Iy)

Ze wzrostem momentu zginającego M wzrastają naprężenia w przekroju poprzecznym zginanej próbki co powoduje wzrost krzywizny.
Współczynnik proporcjonalności E – moduł Younga dla materiału danej belki
Iy – moment bezwładności względem głównej centralnej osi bezwładności

19. Jakie punkty wyznaczają przedziały charakterystyczne metody Clebscha obliczania ugięć belki.

• warunki podparcia belki ( początek i koniec belki oraz podpory – więzy)

• sposób obciążenia (punkty początku i końca obciążenia ciągłego, oraz punkty przyłożenia obciążenia skupionego)

• skokowa zmiana sztywności na zginanie

• przeguby wewnętrzne

20. Pomiędzy jakimi równaniami zachodzi analogia wykorzystywana w metodzie momentów wtórnych Mohra

Metoda ta jest oparta na formalnej analogii między równaniem różniczkowym momentu zginającego M(x) i równania różniczkowego ugiętej osi belki

w(x)=Mf(x)

w'(x)=Qf(x)

– obciążenie fikcyjne

Należy pamiętać że podczas przekształcania „belki rzeczywistej” na „belkę fikcyjną” należy odpowiednio dobrać statyczne warunki brzegowe B.F. (dotyczące Q^f i M^f) tak aby odpowiadały kinematycznym warunkom brzegowym B.RZ.

Ugięcie osi belki: Mfk=wk

Kąt obrotu osi belki: Qfk=φk

21. Co to jest wytężenie? Dlaczego pojęcie to jest tak istotne? Jaki jest zasadniczy cel stosowania hipotez wytężeniowych?

Wytężenie jest to zbliżenie się materiału do granicy niebezpiecznej Rk, przy przekroczeniu której będa nieodwracalne odkształcenia lub zniszczenia.
Miarą wytężenia jest wielkość fizyczna przyjęta jako miernik wytężenia.
Pojęcie to jest istotne gdyż dzięki niemu możemy określić niebezpieczeństwo przejścia w stan plastyczny – przekroczenie granicy sprężystości, jeśli materiał taką posiada, lub utratę spójności(pęknięcie przełom de kohezja).
Zasadniczym celem stosowania hipotez wytężeniowych jest odniesienie przestrzennego stanu naprężenia do stanu jednoosiowego, w którym miara wytężenia jak i jej wartość w stanie niebezpiecznym jest zdefiniowana i łatwa do doświadczalnego wyznaczenia.

22. Co jest miarą wytężenia w hipotezie HMH a co w CTG?
Hipoteza HMH (Hubera-Misesa-Hencky’ego) – o wytężeniu materiału w danym punkcie ciała decyduje gęstość energii odkształcenia postaciowego, niezależnie od rodzaju stanu naprężenia

Hipoteza CTG (Coulomba-Tresci-Guesta) – o wytężeniu materiału w danym punkcie ciała decyduje maksymalna bezwzględna wartość ekstremalnych naprężeń stycznych, niezależnie od rodzaju stanu naprężenia.

23. Na czym zasadza się hipoteza Mohra dla materiałów kruchych?

Hipoteza Mohra dla materiałów kruchych mówi, że zniszczenie poślizgowe jak i rozdzielcze występuje na pewnych powierzchniach (tarcie). Uzasadnione jest założenie, że o zniszczeniu decyduje wektor naprężenia na tych powierzchniach (naprężenie normalne i styczne)

24. Co to jest naprężenie zredukowane? Podaj wzory dla hipotezy HMH i CTG w przypadku jednego naprężenia normalnego i stycznego.
Naprężenie zredukowane jest to naprężenie w jednoosiowym stanie naprężenia, odpowiadające złożonemu stanowi naprężenia; wartość uzyskiwana z porównania miar obu przypadków
hipotezy HMH hipotezy CTG
σ=√(σx²+3txz²) ≤ Rn=Ro σo=√(σx²+4txz²) ≤ Ro

25. Podaj powody dla których utrata stateczności konstrukcji jest tak groźna?
Konstrukcja nie może utracić swej stateczności ponieważ byłaby nietrwała czy chwiejna,z reguły oznacza to jeśli nie katastrofę to awarię konstrukcji. Jest jedną z przyczyn wystąpienia granicznego stanu nośności czyli wyczerpania możliwości pracy przez osiągnięcie granicznego poziomu naprężeń ( mówimy o nośności granicznej punktu, przekroju albo konstrukcji)

26. Co to jest siła krytyczna? Jak ma się ona do obciążenia dopuszczalnego?
Siła krytyczna to siła przy której osiowo ściskany pręt prosty znajduje się w stanie równowagi obojętnej (traci stateczność) czyli może przyjąć inną (od prostoliniowej) krzywoliniową postać równowagi. Siła krytyczna jest to siła przy której materiał traci właściwości sprężyste i staje się plastyczny.

Pkr= (pi²*E*Imin.)/lw² Obc dop ≤ Pkr

lw – długość wyboczeniowa

α - współczynnik długości wyboczeniowej zależy od warunków podparcia

l – długość pręta

I min- minimalny moment bezwładności

E – stała materiałowa – moduł sprężystości (moduł Younga)

27. Podaj długość wyboczeniową dla podanego schematu statycznego pręta.

1. = l

2. = 2l

3. = 0,7l

4. = 0,5l

5. = l

6. = 2l

l – długość wyboczeniowa

α - współczynnik długości wyboczeniowej zależy od warunków podparcia

l – długość pręta

28. Co to jest smukłość i jaki ma wymiar?

Smukłość jest to stosunek długości wyboczeniowej do minimalnego promienia bezwładności przekroju poprzecznego, zależy więc zarówno od geometrii przekroju jak i od schematu statycznego czyli rodzaju więzów.

Jest bezwymiarowa w granicach 10 - pręt krępy 300 - pręt smukły
λ= lw/i min.

lw = długość wyboczeniowa,

i min. = – minimalny promień bezwładności przekroju poprzecznego,

29. Co to jest smukłość graniczna i skąd taka nazwa?
Smukłość graniczna jest to stała materiałowa, bezwymiarowa, określająca granicę między liniowo sprężystym i sprężysto-plastycznym zakresem pracy pręta ściskanego; wartość dla stali około 110.

λgr= pi*√(E/Rw)

30. Podaj wzór na siłę Eulerowską i wg Tetmajera – Jasinskiego.

Wzór według Eulera:

Pkr= (pi²*E*Imin.)/lw²

E – stała materiałowa – moduł sprężystości (moduł Younga),
I min. – minimalny moment bezwładności,

lw = długość wyboczeniowa,

Wzór według Tetmajera – Jasińskiego:

Pkr=A*σkr σkr =Re-(Re-Rh)/pi * √(Rh/E)*λ

Re - wyraźna granica plastyczności,

Rh - granica stosowalności prawa Hooke’a (granica proporcjonalności),

λ - smukłość pręta,