Metoda graficzna wyznaczania współczynników prostej.

Z powyższą metodą można się spotkać między innymi na zajęciach u niejakiego Andrzeja T.

Zaczynamy od naniesienia punktów wraz ze słupkami błędów na wykres. Oczywiście „nasza przygoda z geometrią” rozgrywa się na kartce papieru, więc nie próbuj od razu otwierać arkusza kalkulacyjnego.

Teraz pozostaje nam nakreślić prostą metodą graficzną, zwaną inaczej regresją „na oko”, czy też optymalnym dopasowaniem punktów do prostej. Jest to jednak nic innego, jak regresja liniowa metodą najmniejszych kwadratów, z tą różnicą, że jest wykonywana „manualnie” na kartce, przez co jest mniej dokładna.

Przejdźmy do rzeczy. Rysujemy dwie proste zgodnie z założeniami metody najmniejszych kwadratów, przy czym są to proste niewspółliniowe i (zgodnie z intuicją) tworzące między sobą największy kąt.

Następnie rysujemy sieczną kąta ostrego między tymi prostymi, otrzymując w ten sposób naszą prostą.

Wyznaczenie współczynników polega na wykorzystaniu informacji z algebry liniowej. Korzystamy zatem ze wzoru:

Wybieramy na wykresie dwa punkty oraz

należące do prostej, określając ich współrzędne „na oko”, otrzymując mniejszą dokładność. Następnie korzystamy ze wzorów:

Odejmując stronami oba równania dostajemy:

i w konsekwencji:

Współczynnik b wyznaczamy z pierwszego równania otrzymując:

Wstawiając za a wartość otrzymaną wcześniej dostajemy:

.

Podsumowując nasza prosta ma postać:

Po pogrupowaniu wyrazów podobnych otrzymujemy wzór:

.

Przykład:

Oto wykres otrzymany przy pomocy regresji liniowej, oferowanej przez program calc z pakietu OpenOffice:

Przykład tego samego wykresu otrzymanego opisaną wyżej metodą został zamieszczony w pliku „to takie proste.bmp”.

Otrzymane wyniki były liczone dość dokładnie, co nie jest obowiązkiem w tej metodzie.

Na przykład licząc dla punktów oraz otrzymaliśmy wyniki z wykresu.

Natomiast dla wartości przybliżonych tych punktów, tzn oraz wartości te wyniosły:

Jak widać można w prosty sposób sprawdzić, czy nasz arkusz kalkulacyjny nie oszukuje nas obliczając współczynnik nachylenia prostej oraz punkt przecięcia z osią OY. A najlepiej, gdy go nie posiadamy, ponieważ wtedy możemy czerpać prawdziwą przyjemność z tych wszystkich rachunków, nie stresując się rozbieżnościami wyników.

Pozdrawiam i życzę przyjęcia sprawozdania

Pamiętajcie, aby poprawiając wykres trzy razy pomyśleć, a dopiero potem poprawiać!