Poniżej postaram się przybliżyć zagadnienie liczenia impedancji zastępczej jak i graficzną metodę rozwiązywania układów elektrycznych.

Od początku.

Dany mamy schemat układu:

Policz impedancję widzianą z zacisków A, B dowolnie dobierając wartości elementów. (znaczy to mniej więcej tyle co: należy policzyć impedancje zastępczą układu, lub potocznie mówiąc należy zwinąć układ)

Trochę teorii:

Każdy układ elektryczny możemy przedstawić w postaci impedancji zastępczej będącej połączeniem szeregowo równoległym impedancji(reakcji) poszczególnych odbiorników

Do zadania:

Dla ułatwienia obliczeń przyjmę następujące wartości:

R (wszystkie)= 10 Ώ

C = 8 Ώ

L= 12 Ώ

Do liczenia impedancji- oraz innych wielkości- układów prądu przemiennego używa się rachunku liczb zespolonych. Dlaczego? Bo jest prościej. Aby policzyć układ zapisany w dziedzinie czasu (40sin(2Πf+45)+dL/dt+...) ocieramy się o rachunek różniczkowy z pochodnymi i całkami a kończymy na działaniach z zakresu funkcji trygonometrycznych. Z liczbami zespolonymi jest o tyle prościej ze większość obliczeń jest za nas w stanie wykonać kalkulator (odpowiedni). Tylko trzeba uważać.

Zapis zespolony odpowiada przy tym zapisowi w dziedzinie czasu- wiec nie ma najmniejszych problemów z przejściem z jednego w drugi lub z drugiego w pierwszy(o ile ktoś to umie zrobić).

Do rzeczy.

Na samym początku należy odpowiednio opisać elementy naszego układu liczbami zespolonymi:

Rezystor- jest takim elementem którego cala wartość oporu jest w dziedzinie rzeczywistej- oznacza to ze chcąc opisać rezystor zespoloną liczbą otrzymamy:

R= 10(część rzeczywista-czyli nasz opór) +j0(cześć urojona) = 10+j0

Cewka- element nie posiadający części rzeczywistej- a jego cześć urojona przyjmuje wartość dodatnią

XL=0(część rzeczywista)+j12(część urojona)=0+j12

Kondensator- ten element także nie posiada części rzeczywistej- natomiast jego część urojona przyjmuje wartość ujemną

XC=0(rzeczywista)-j8(część urojona)=0-j8

Trochę teorii:

Gdy dodajemy impedancje szeregowo

Z_zastepcze=Z₁ +Z₂ +....

Gdy równolegle

1/Z_zastepcze=1/Z₁ +1/Z₂ +...

Od razu widzimy ze najprościej dodaje się elementy połączone ze sobą szeregowo: czyli w naszym przypadku dla gałęzi po lewej rezystor i kondensator a dla gałęzi po prawej rezystor i cewka.

Z dwóch elementów tworzymy jeden zastępczy:

Teraz wartości liczbowe- posługując się wzorem na impedancje w połączeniach szeregowych otrzymujemy:

Z_I=10+j0(wartość R)+ 0-j8(wartość C)= 10-j8

(część rzeczywista do rzeczywistej, urojona do urojonej)

Z_II=10+j0 + 0+j12= 10+j12

Dobrze. Teraz co dalej. Rezystor w środkowej gałęzi wbrew pierwszemu wrażeniu nie jest połączony równolegle z impedancjami Z_I i Z_II. Po małym przekształceniu schematu będzie to widoczne lepiej ( i może bardziej zrozumiałe)

Tak. Zawsze możemy przekształcić schemat obwodu- o ile zachowamy kolejność i ilość połączeń elementów ze sobą.

Widzimy tu od razu że następnie należy wykonać połączenie równoległe Z_I i Z_II . Czyli:

1/Z_III= 1/Z_I + 1/Z_II=1/(10-j8) + 1/(10+j12) ....

Nooo dobrze. Czas na kalkulator- taki odpowiedni. Są pewnie kalkulatory które powyższe działanie zrobią bez żadnych przekształceń. Ja posiadam jednak taki który zrobi za mnie tylko część tego zadania.

Trochę teorii:

Każda liczba zespolona Re+ j Im ma sprzężony ze sobą wektor R(długość wektora) e(taka liczba 'e' ) ^jα(do potęgi jα)- R e^jα. Przedstawienie liczby zespolonej przy pomocy wektora nazywa się postacią wykładniczą liczby zespolonej.

Od razu widać że najłatwiej będzie wykonywać operacje dodawania i odejmowania w postaci 'normalnej' czyli polowej (Re+jIm) a mnożenie i dzielenie w postaci wykładniczej. Jak teraz dokonać przejścia z jednej postaci na drugą? Spójrzmy na kalkulator. Aby się nadawał musi mieć funkcję oznaczoną Pol(, Rec( oraz , - tak przecinek- nie ten zwykły ale taki trochę inny nad którego funkcja może kiedyś się zastanawialiście. Wracając. Aby przejść z postaci polowej na wykładniczą używamy funkcji Pol(. Zróbmy to na przykładzie przejścia impedancji Z_I.

10-j8 : na kalkulatorze Pol(10 ,(ten przecinek) -8) i wcisnąć =

ok- w zależności od sprzętu od razu (lub nie) będzie wiadomo jaki promień i jaki kąt.

Na wyświetlaczach jednolinijkowych wyświetli się wartość naszego promienia R. W tym przypadku jest to 12,80... i costam. A co z kątem? Zapisany jest pod jedną z pamięci (oznaczone są literami od A do F- i wywoływane funkcją ALPHA) u mnie jest on pod pamięcią F i wynosi -38,659... czyli

10-j8= 12,8e^-j38,66.

To samo robimy dla impedancji Z_II

10+j12=15,62e^j50.19.

Wiemy także że 1 = 1+j0 = 1e^j0.

Czyli

1/Z_III= 1e^j0/12,8e^-j38,66 + 1e^j0/ 15,62e^j50.19

Liczby dzielimy przez siebie a potęgi odejmujemy( bo tak się robi)

1/Z_III= 0,078e^j38,66 + 0,064e^-j50.19

Ok- teraz należy powrócić z postaci wykładniczej na polową aby ułatwić(umożliwić) dodanie tych dwóch wyrazów. Używamy do tego funkcji Rec( i tak:

0,078e^j38,66 Rec(0,078 ,(pamiętajcie o tym przecinku) 38,66) i przycisk =

Podobnie jak z kątem- wartość Im(imaginalis- ta z „j”) będzie pod pamięcią F- w kalkulatorach jednowierszowych.

0,078e^j38,66 = 0,061+j0,048

0,064e^-j50.19= 0,041+-j0,049

Dodajemy

1/Z_III=0,061+j0,048 + 0,041+-j0,049= 0,102-j0,001

wracamy do postaci wykładniczej – funkcją Pol(

1/Z_III=0,102e^-j0,56 i z tego Z_III= 1e^j0/0,102e^-j0,56 czyli Z_III=9,8e^-j0,56

Zostało nam jedynie połączenie szeregowe naszej impedancji ZIII oraz rezystora. Przechodzimy na postać polową – funkcja Rec(

Z_III=9,8e^-j0,56 = 9,79-j0,095

I dodajemy rezystancję 10+j0 - co daje nam wynik- Zzastepcza= 19,79-j0,095

Zadanie zrobione

Metoda graficzna

Zadanie – w miejsce zacisków A i B należy wstawić źródło napięciowe E=230V o kącie fazowym α=45°. Oblicz prąd tego źródła(czyli prąd płynący w gałęzi ze źródłem).

Dalej. Na studiach nie poznałem metody graficznej- ale muszę przyznać że jest szybsza i daje podobne efekty co metoda analityczna- której szczerze i do bólu nienawidzę.

Wykonajmy polecenie i wepnijmy źródło.

Moim zdaniem ten układ jest mało przyjazny jeżeli chodzi o jakiekolwiek obliczenia. Dlatego narysuję go inaczej- tak mogę to zrobić o ile zachowam przy tym kolejnośc połączeń.

Przy okazji zaznaczyłem kierunki rozpływu prądów w gałęziach (I1 I2 I3) oraz spadki napięć na odbiornikach (UR, UC i UL z indeksami- zawsze przeciwnie skierowane do kierunku prądu który je wymusza) Podczas oznaczania spadków napięć najlepiej zachować zależność- prąd i napięcia w tej samej gałęzi mają ten sam indeks -ułatwi to późniejsze obliczenia.

Zabieramy się za pisanie równań wynikających z praw Kirchhoffa

I- suma prądów wpływających do węzła jest równa sumie prądów z niego wypływających

czyli wg schematu oznacza to mniej więcej tyle iż:

I1=I2+I3

II- Suma spadków napięć w oczku jest równa zero

No dobrze. Trzeba teraz w każdym oczku przeprowadzić bilans napięć. Zrobię to zgodnie z kierunkiem zaznaczonym na rysunku poniżej

(najpierw wypiszę spadki napięć potem się je uporządkuje)

-U_R1+E-U_R2-U_C2=0

U_C2+U_R2-U_R3-U_L3=0

Ok. Najlepiej Przedstawić to w formie lepiej przystępnej

E=U_R1+U_R2+U_C2

U_C2+U_R2=U_R3+U_L3

Po bilansie prądów i napięć przyszedł czas wypisać zależności z prawa Ohma dla każdego odbiornika(elementu)

U=I*R(to R nie jest rezystorem tylko rezystancją-wartością liczbową opisującą opór elementu)

czyli

U_R1=I1*R

U_R2=I2*R

U_C2=I2*C

U_R3=I3*R

U_L3=I3*L

z pierwszego zadania mamy dane R=10 C=8 L=12

sumując

mamy 8 równań z 8 niewiadomymi

Napisze je jeszcze raz w punktach:

1) I1=I2+I3 - I prawo Kirchhoffa dla 1 węzła

2) E=U_R1+U_R2+U_C2 - II prawo Kirchhoffa dla 1 oczka

3) U_C2+U_R2=U_R3+U_L3 - II prawo Kirchhoffa dla 2 oczka

4) U_R1=I1*R - prawo Ohma dla rezystora w 1 gałęzi

5) U_R2=I2*R - prawo Ohma dla rezystora w 2 gałęzi

6) U_C2=I2*C - prawo Ohma dla kondensatora w 2 gałęzi

7) U_R3=I3*R - prawo Ohma dla rezystora w 3 gałęzi

8) U_L3=I3*L - prawo Ohma dla cewki w 3 gałęzi

Czas zacząć rysowanie. Tylko od czego? Popatrzmy na równania. Z II prawa Kirchhoffa dla 2 oczka (pkt 3) widzimy zależność między napięciami dwóch gałęzi- 2 i 3- sumy ich są sobie równe. Jest to dobry punkt zaczepienia. Rysujemy -najlepiej prąd- I2 o dowolnej długości- ale tak by nam się zmieścił na kartce. I teraz mając kierunek i wartość(długość) tego prądu wyrysowaną na kartce możemy określić jak będą wyglądać wektory napięć związanych z tym pradem prawem Ohma(pkt 5 i 6). Poniżej przedstawiona została zależność kierunku wektorów prądów i napięć na trzech typach odbiorników(elementów). I tak:

Wektor prądu i napięcia na REZYSTORZE (R) są ze sobą zgodne

Wektor napięcia UL na CEWCE (L) wyprzedza wektor prądu o 90°(jest skierowany o 90 w górę)

Wektor napięcia UC na KONDENSATORZE jest opóźniony względem wektora prądu o 90° (jest skierowany o 90 w dół)

Zgodnie z tymi zasadami rysujemy napięcie UR2 i UC2. Następnie znowu zakładamy wartość prądu tym razem I3 i znowu rysujemy napięcia UR3 i UL3.

Rzecz o długościach wektorów napięć.

Przyjmijmy że wektor prądu I2 ma długość 5 cm. Aby narysować napięcie na rezystorze UR2 musimy znaleźć 2 rzeczy- kierunek tego wektora oraz jego długość. Kierunek znajdujemy zgodnie z powyższymi zależnościami(na rezystorze prąd i napięcie są ze sobą zgodne) – długość wyliczamy z prawa Ohma dla tego rezystora (pkt 5). 5cm*10(wartość rezystancji) daje nam 50 cm.tu należy przyjać jakąś skalę dla napięć tak, aby nam się ten wektor zmieścił na kartce. Niech będzie to 1:10.

Po narysowaniu tych zależności należy dodać wektory napięć na jednym i na drugim rysunku. Powinniśmy otrzymać coś takiego:

Teraz- wiemy że suma wektorów U2 oraz suma wektorów U3 są sobie równe. Aby jakoś przedstawić wektory z rysunku 2 na 1 należy przenieść kąty 1 i 2 na pierwszy rysunek.

Potem- dodać wektory prądów I2 i I3- otrzymamy w ten sposób wektor prądu I1 (z zależności z pkt1) a przez to napięcie na UR1. Stąd już bliska droga do wyznaczenia naszego E- napięcia źródła.

Z pkt 2 ze suma napięć UR2, UC2 oraz UR1 daje nam E. Zsumowane UR2 i UC2 to U2.

Z zadania wiemy ze E=230V- dlatego długość wektora E to jest 230V. Na tej podstawie (i pamiętając że wektory napięć rysowane są w skali 1:10) możemy odczytać wartości prądów i napięć. Znając kąt fazowy napięcia źródła E 45° wiemy iż wektor ten znajduje się 45 stopni nad osią realis- Re. Rysujemy tę oś. Od tej osi mierzymy wszystkie kąty wektorów prądów i napięć pamiętając że kąty wektorów poniżej osi Re są ujemne.

Wyniki przedstawiamy liczbami zespolonymi w postaci wykładniczej np.

E=230e^j45 [V]

I1=11e^j46 [A]

Kompletny rysunek wyznaczonych wartości.

To wszystko. W razie pytań zostawiajcie info na skrzynce. Postaram się odpowiedzieć. Jakby ktoś zauważył błąd- niech napisze.

Pozdrawiam.

Rafał.