Materiały do wykładów z logiki

dla studentów I roku teologii na Wydziale Teologii UAM

(do użytku wewnętrznego)

przygotował mgr Przemysław Strzyżyński

Spis Treści

bibliografia 71

Określenie czym jest logika

Nazwa logika pochodzi od greckiego słowa logos, które znaczy m.in. myślenie, rozumowanie, język. Nie od samego początku nazwą tą określano treści identyczne ze współczesnym rozumieniem logiki. Nawet sam Arystoteles, twórca pierwszego systemu logicznego, używał nazwy `logiczny' na określenie tego, kto „dobrze mówi na podstawie zapasów ogólnikowej wiedzy, tego, kto potrafi dać sobie radę w przemawianiu”. Treściom logiki współczesnej odpowiadało u Arystotelesa określenie analityka. W ciągu wieków zmieniała się nie tylko nazwa ale również rozumienie istoty logiki. W tej kwestii u zarania logiki formalnej, przełom XIX i XX w., pojawił się spór o naturę przedmiotu logiki. Tak na przykład Władysław Kozłowski w wydanej w 1891 r. książeczce pt. Logika elementarna pisze: „Logika jest nauką o czynnościach umysłowych, za pomocą których dochodzimy prawdy i jej dowodzimy”. W określeniu tym wyraźnie ujawnia się tzw. psychologizm w spojrzeniu na logikę. Kierunek ten traktował logikę jako naukę o poprawnym myśleniu, rozumianym jako jedno ze zjawisk psychicznych. Współcześnie porzucono ów pogląd, a logikę określa się m.in. jako analizę języka i czynności badawczych (rozumowanie, definiowanie, klasyfikowanie etc.) w celu podania takich reguł posługiwania się językiem i wykonywania owych czynności, które uczyniłoby tę działalność możliwie jak najbardziej skuteczną.

I. Działy logiki: logika formalna, semiotyka, metodologia nauk

1. Logika formalna - jest to podstawowy dział logiki, zajmujący się schematami rozumowań niezawodnych, tj. takich, które od prawdziwych przesłanek przechodzą do prawdziwych wniosków oraz mających najwyższy stopień ogólności (w tym sensie, że znajdują zastosowanie we wszelkich naukach i w języku codziennym).

2. Semiotyka (semiotyka logiczna, logiczna teoria języka) - opisuje język z punktu widzenia konstrukcji systemów formalnych, a także skuteczności posługiwania się językiem do innych celów (budowa teorii naukowych, porozumiewanie się w mowie potocznej).

3. Metodologia nauk - zajmuje się sprawdzaniem czynności badawczych i ich wytworów (twierdzeń, teorii, problemów, definicji) pod kontem ich sprawności i poprawności.

Powyższy podział nie jest wyczerpującą i rozłączną klasyfikacją, gdyż nie ujęto w nim wszystkich tworzących się ciągle dziedzin logiki, a także ze względu na proces wzajemnego przenikanie się owych dziedzin. Niemniej dla celów orientacyjnych i dydaktycznych jest to podział przydatny. Jest on z resztą powszechnie stosowany w polskiej literaturze przedmiotu.

II. Logika formalna (nazywana również logiką symboliczną)

Pod względem chronologicznym, ale nie tylko, dzieli się logikę formalną na logikę tradycyjną i współczesną.

1. współczesna logika formalna zawiera m.in.: klasyczny rachunek logiczny i nieklasyczny rachunek logiczny.

Klasyczny rachunek logiczny: rachunek zdań (klasyczny rachunek zdań), rachunek kwantyfikatorów (r. predykatów, r. funkcyjny).

Nieklasyczny rachunek logiczny: logika modalna - bada pojęcia konieczności i możliwości; logika wielowartościowa - operuje większą ilością wartości niż klasyczna logika dwuwartościowa (prawda i fałsz), np. system Leśniewskiego; logika deontyczna - bada relacje między zdaniami zawierającymi wyrażenia: „jest obowiązkowe”, „jest dozwolone”, „jest zakazane”; logika uogólniona ( m.in. rachunek kwantyfikatorów wyższego rzędu); logika epistemiczna - bada pojęcia odnoszące się do aktów i stanów poznawczych: wiedzieć, wierzyć, uznawać, przypuszczać, rozumieć.

2. Logika tradycyjna

Wyróżnia się w niej: wnioskowanie bezpośrednie, wnioskowanie pośrednie. Niektórzy dodają też logikę stoików (teorię sylogizmu hipotetycznego). Logika tradycyjna da się interpretować jako pewien fragment logiki współczesnej. Zazwyczaj zalicza się ją do rachunku predykatów.

Klasyczny rachunek zdań

I. Wprowadzenie

Z pojęciem formy rozumowania związane jest w pewien sposób pojęcie formy (inaczej: schematu, struktury) zdania. Logikę buduje się bądź jako system form rozumowania opisywanych przy pomocy reguł (zob. np. Borkowski, Słupecki), bądź jako system pewnych form zdaniowych. W drugim przypadku, formy zdaniowe znajdują zastosowanie także jako charakterystyka poprawnych rozumowań, ponieważ zawsze możliwe jest przejście od formy zdaniowej do formy rozumowania.

Pojęcie formy zdaniowej trudno jest określić w sposób ogólny. Łatwiej jest to wyjaśnić, biorąc pod uwagę jakiś język z określoną listą symboli stałych i zmiennych. Przykładem będzie tutaj język rachunku zdań, do którego należą m. in. symbole odpowiadające słówkom "lub" i "nie" (inaczej: nieprawda, że). Wybór tych wyrażeń pozwoli zobaczyć zależność prawdziwości zdań złożonych od prawdziwości zdań składowych. Porównajmy wyrażenie [1] "B. Russell jest logikiem lub nieprawda, że B. Russell jest logikiem" z wyrażeniem [2] " B. Russell jest logikiem. ". To drugie jest prawdziwe, ale przejdzie w fałsz, gdy np. imię własne „B. Russell" zastąpi się imieniem "Charlie Chaplin" albo słowo "logik" słowem generał". Żadne jednak tego rodzaju zabiegi nie zdołają przekształcić w fałsz [l], ponieważ dla jego prawdziwości obojętna jest treść wyrażeń składowych, z wyjątkiem treści słówek "lub" i "nie"; dopiero gdyby te słowa opuścić lub zamienić na inne, możliwe byłoby przekształcenie [1] w fałsz. One więc stanowią elementy istotne dla prawdziwości [1], podczas gdy reszta wyrażeń może być dowolnie wymieniana bez wpływu na prawdziwość całego zdania. Można to wyrazić pisząc [1] w ten sposób, że elementy wymienialne (nieistotne dla prawdziwości) zastąpimy kreskami. Powstanie w ten sposób schemat, czyli forma, dająca się wypełnić rozmaitą treścią, czyli materią: - lub nieprawda, że - .

Dogodniej jest zamiast kresek używać liter- p,q,r,s. Reprezentują one zdania i dlatego noszą miano zmiennych zdaniowych. Wszystkie pozostałe symbole rozważanego języka zwą się stałymi logicznymi. Pisząc zmienne zamiast kresek, otrzymuje się formułę (z łac. formula - foremka) „p lub nie p”. Inny przykład: „Jeśli (jest tak, że) jeśli grzmi, to błyska, to: jeśli nie błyska, to nie grzmi”. Zastąpmy słowo „jeśli” literą C, słowo „nie” literą N, a resztę zmiennymi nazwowymi. Powstaje formuła (zwana prawem transpozycji): CCpqCNqNp;

w innej notacji: (p Ⴎ q) Ⴎ (ၾ q Ⴎ ၾ p) - tej właśnie notacji używać będziemy w dalszym ciągu wykładu.

Nie każde jednak rodzaj zdań może być reprezentowany przez zmienne zdaniowe. W rachunku zdań zajmować się będziemy tylko i wyłącznie zdaniami w sensie logicznym.

Przez zdanie w sensie logicznym rozumie się zdanie, o którym można powiedzieć, że jest fałszywe lub prawdziwe. Za pojedynczą zmienną podstawiać będziemy zatem zdanie w sensie logicznym ale w dodatku będące zdaniem prostym w sensie gramatycznym.

Poszczególne zmienne zdaniowe łączone być mogą przy pomocy spójników języka rachunku zdań.

Dla oddzielenia pewnych fragmentów danego wyrażenia języka rachunku zdań stosuje się znaki techniczne, czyli nawiasy zwykłe, kwadratowe i klamry.

W poniższej tabeli przedstawiono poszczególne spójniki logiczne wraz z przypisanymi im wartościami logicznymi prawda/fałsz - 0 oznacza fałsz, a 1 oznacza prawdę.

p	q	p/q Dpq	p კ q p · q Kpq	p v q p⊥q	p ლ q p + q Apq	p Ⴎ q p ⊃ q Cpq	p მ q p ≡ q Epq	p	ၾ p p' Np
1	1	0	1	0	1	1	1	1	0
1	0	1	0	1	1	0	0	0	1
0	1	1	0	1	1	1	0
0	0	1	0	0	0	1	1

Metoda zero-jedynkowa i matrycowa - zostały odkryte przez Ernsta Schrödera w 1891 i Charlesa Peirce'a w 1885.

Zastosowanie zero-jedynkowej. Przykłady z implikacjami:

(pႮq) Ⴎ (qႮp)

Wydaje się, że tak wyrażona zależność jest logiczna i pewna. Przykład: Jeśli ja złamałem nogę to na zdjęciu rentgenowskim mojej nogi widać złamanie, to jeśli na zdjęciu rentgenowskim mojej nogi widać złamanie to ja złamałem nogę. Wydaje się, że formuła powyższa przedstawia logicznie poprawny sposób wnioskowania. Ale jeśli weźmiemy inny przykład to natrafimy na pewną trudność. Otóż Jeśli pada deszcz to ulice są mokre, to jeśli ulice są mokre to pada deszcz. W tym wypadku, opartym na tej samej formule co poprzedni, widać, że druga, końcowa implikacja nie musi być prawdziwa. Może się bowiem zdarzyć, że po owej ulicy przeszła powódź, albo ktoś uszkodził hydrant. I tak jak pierwszy człon jest pewny (przy takim podstawieniu) tak drugi już zawodzi.

Spróbujmy jednak znaleźć jakąś formułę wyrażającą poprawnie, związek między poprzednikiem a następnikiem implikacji.

Może coś takiego:

(pႮq) Ⴎ (ၾpႮၾq)

Podstawmy powyższe zdania z deszczem i mokrą ulicą: Jeśli pada deszcz to ulice są mokre, to jeśli nie pada deszcz to nie prawda, że ulice są mokre. Niestety ponownie pojawia się możliwość powodzi czy też podlewania ogródka zbyt silnym strumieniem wody i nasza końcowa implikacja zawodzi. Ulice mogą bowiem być mokre mimo, że nie pada deszcz.

Spróbujmy z trzecią możliwością.

(pႮq) Ⴎ (ၾqႮၾp)

Podstawmy zdania: Jeśli pada deszcz to ulice są mokre, to jeśli nie prawda, że ulice są mokre to nie prawda, że pada deszcz. Inny przykład: Jeśli ja złamałem nogę to na zdjęciu rentgenowskim mojej nogi widać złamanie, to jeśli nie prawda, że na zdjęciu rentgenowskim mojej nogi widać złamanie to nie prawda, że ja złamałem nogę.

Czy zawsze, kiedy poszukujemy schematu poprawnego wnioskowania, musimy podstawiać w wymyślonej formule jakieś zdania i sprawdzać, czy to się zgadza z faktami? Nie. Możemy posłużyć się metodą zero-jedynkową opartą na przedstawionych już matrycach. Przebadajmy pierwsze wyrażenie - (pႮq) Ⴎ (qႮp)

p	q	p→q	q→p	(p→q) → (q→p)
1	1	1	1	1
1	0	0	1	1
0	1	1	0	0
0	0	1	1	1

Wyrażenie powyższe jest raz fałszywe. A ponieważ jest wyrażeniem zbudowanym w oparciu o implikacje, to znaczy, że możliwa jest sytuacja, że to, co przed strzałką implikacji będzie prawdziwe a to, co po strzałce fałszywe. W wypadku wnioskowania oznacza to, że konstrukcja schematu pozwala na zaistnienie układu prawdziwa przesłanka - fałszywy wniosek. Co z punktu widzenia niezawodności wnioskowania jest niedopuszczalne.

Poniżej omówiona została cecha spójników języka rachunku zdań, dzięki której w ogóle możliwe jest budowanie matryc i badanie metodą zero-jedynkową. Co więcej, cecha ta umożliwia zaistnienie czegoś tak stałego, jak niezawodny schemat wnioskowania w rachunku zdań.

II. Ekstensjonalność spójników logicznych

Porównajmy spójniki, a dokładniej spójnik i wyrażenie w funkcji spójnika.

Wisła płynie przez Warszawę i Wisła płynie przez Kraków.

Kościuszko został ciężko ranny pod Maciejowicami i bitwa pod Maciejowicami została przegrana przez Polaków. - w tych przykładach o prawdziwości zdania złożonego decyduje prawdziwość zdań prostych. Ilekroć oba proste są prawdziwe, tylekroć złożone również jest prawdziwe.

Janek, który ma trzy lata wie, że piesek robi „hau, hau”.

Janek, który ma trzy lata wie, że kwas dezoksyrybonukleinowy występuje w jądrach komórek. - tutaj, o prawdziwości zdania złożonego nie decyduje wartość logiczna zdań składowych. W pierwszym zdaniu oba zdania proste są prawdziwe i zdanie złożone jest prawdziwe. W drugim przykładzie oba zdania proste są prawdziwe, a zdanie złożone jest fałszywe (trudno przypuścić jego prawdziwość).

Cecha, która odpowiada za ową różnicę nazywa się ekstensjonalnością. Posiada ją w powyższych przykładach spójnik koniunkcji. Spójnik „wie, że” jej nie posiada.

Cecha ekstensjonalności spójników wyraża się tym, że zastąpienie w zdaniu Z, które zawiera wyłącznie takie spójniki, pewnego zdania innym dowolnym zdaniem o tej samej wartości logicznej (prawda lub fałsz), nie zmienia wartości logicznej zdania Z.

Spójniki nie posiadające owej cechy nazywamy intesjonalnymi. Podobnie zdania zbudowane przy użyciu tylko i wyłącznie spójników ekstensjonalnych nazywamy zdaniami ekstensjonalnymi. Język zbudowany tylko i wyłącznie z takich zdań językiem ekstensjonlanym. Do języków ekstensjonalnych należy m. in. język rachunku zdań i język rachunku kwantyfikatorów w klasycznej logice formalnej.

Dzięki tej cesze możemy podać matryce prawdziwościowe spójników logicznych używanych w rachunku zdań. Mamy tutaj do czynienia ze stałością, dzięki której możemy zbudować logikę formalną jako zespół praw, czyli stałych prawidłowości. Możemy również podać następujący ciąg definicji, który oprócz tego, że dookreśla pojęcia już przez nas używane, to jeszcze pokazuje zastosowanie rachunku zdań i metod zero-jedynkowych.

III. Tautologia, prawda logiczna, wnioskowanie dedukcyjne

Tautologią języka rachunku zdań nazywamy każde i tylko takie wyrażenie języka tego rachunku, które jest schematem wyłącznie prawdziwych zdań.

Zdanie reprezentowane przez tautologiczny schemat zdaniowy nazywamy prawdą logiczną.

Jeżeli zdanie postaci Z₁ → Z₂ jest prawdą logiczną, to mówimy, że Z₂ wynika logicznie z Z₁.

Jeżeli ze zdania Z₁ logicznie wynika zdanie Z₂, to prawdziwość zdania Z₁jest gwarancją prawdziwości zdania Z₂; Wnioskowanie, w którym wniosek wynika logicznie z przesłanki nazywamy wnioskowaniem dedukcyjnym.

Kontrtautologia

Zdanie, którego negacja jest prawdą logiczną, nazywamy fałszem logicznym lub zdaniem wewnętrznie sprzecznym. Zdania takie reprezentowane są przez kontratautologie. (St., s. 40)

IV. tautologie języka rachunku zdań

prawo tożsamości - wersja implikacyjna

p Ⴎ p (czytamy: „jeśli p, to p” lub „jeżeli p, to p”)

prawo tożsamości - wersja równoważnościowa

p მ p (czytamy: „p wtedy i tylko wtedy, gdy p”)

prawo wyłączonego środka

p ლ ၾp (czytamy: „p lub nieprawda, że p” lub „p lub nie p”)

prawo sprzeczności

ၾ (p კ ၾp) (czytamy: „nieprawda, że p i nie p”)

prawo podwójnej negacji

ၾ ၾ p Ⴎ p (czytamy: „jeśli nieprawda, że nie p, to p”)

pierwsze prawo redukcji do absurdu

(p Ⴎ ၾp) Ⴎ ၾp (czytamy: „jeśli, jeżeli p, to jeśli nie p, to nie p”)

drugie prawo redukcji do absurdu

(p Ⴎ q) კ (p Ⴎ ၾq) Ⴎ ၾp (czytamy: „jeśli, jeżeli p, to q, i jeśli p to nieprawda, że q, to nieprawda, że p”)

prawo przemienności koniunkcji

(p კ q) მ (q კ p)

prawo przemienności alternatywy

(p ლ q) მ (q ლ p)

prawo Dunsa Szkota

(p კ ၾp) Ⴎ q

prawo transpozycji prostej

(p Ⴎ q) მ (ၾq Ⴎ ၾp)

I prawo De Morgana (dla alternatywy)

ၾ (p ლ q) მ (ၾp კ ၾq)

II prawo De Morgana (dla koniunkcji)

ၾ(p კ q) მ (ၾp ლ ၾq)

modus ponendo ponens

[(p Ⴎ q) კ p] Ⴎ q

modus tollendo tolens

[(p Ⴎ q) კ ၾ q] Ⴎ ၾ p

modus ponendo tollens

[(p/q) კ p] Ⴎ ၾ q

[(p/q) კ q] Ⴎ ၾ p

modus tollendo ponens

[(p ლ q) კ ၾ q] Ⴎ p

[(p ლ q) კ ၾ p] Ⴎ q

prawo sylogizmu hipotetycznego - wersja koniunkcyjna

[(p Ⴎ q) კ (q Ⴎ r)] Ⴎ (p Ⴎ r)

prawo dylematu konstrukcyjnego

[(p Ⴎ r) კ (q Ⴎ r) კ (p ლ q)] Ⴎ r

prawa symplifikacji

(p კ q) Ⴎ p

(p კ q) Ⴎ q

V. Wprowadzenie do pojęcia systemu aksjomatycznego

1. Określenie podstawiania

Każdy schemat, który można otrzymać z danej tautologii przez podstawienie za jedną lub więcej spośród występujących w niej zmiennych: p, q, r ... - dowolnych wyrażeń rachunku zdań, jest również tautologią; podstawienie musi być konsekwentne, tj. miejsce równokształtnych zmiennych muszą zająć równokształtne wyrażenia (lub zmienne), a za zmienne różnokształtne wolno podstawić wyrażenia o tym samym kształcie.

2. Określenie odrywania

Następnik każdej tautologii, której poprzednik stanowi tautologia, jest również tautologią; zatem, można go odeń oderwać.

3. Określenie reguł zastępowania

Jeżeli dla jakiegoś wyrażenia A rachunku zdań znajdę wyrażenie B będące jego równoważnikiem definicyjnym to wyrażenie A mogę zastąpić wyrażeniem B.

Przykłady równoważników definicyjnych:

(W₁ ლ W₂) = ( ၾW₁ႮW₂)

(W₁კW₂) = ၾ(W₁ႮၾW₂)

(W₁მW₂) = ၾ[(W₁ႮW₂)Ⴎၾ(W₂ႮW₁)]

Na podstawie powyższych określeń będziemy mogli

zrozumieć, jak powstają tzw. systemy aksjomatyczne

rachunku zdań.

4. Aksjomat - twierdzenie pierwotne systemu dedukcyjnego, tj. twierdzenie, które zostało przyjęte bez dowodu.

5. Określenie Systemu Aksjomatycznego

Jeśli na podstawie aksjomatów, stosując reguły podstawiania, odrywania i zastępowania, udowodnimy (czyli wywiedziemy z aksjomatów) jakieś inne twierdzenia to otrzymujemy nowe twierdzenia, nazywane twierdzeniami pochodnymi. W ten sposób buduje się systemy

6. Prezentacja stosowania reguł podstawiania, odrywania i zastępowania

Na podstawie aksjomatów (A1)-(A3) udowadniam prawo tożsamości w wersji implikacyjnej.

(A1) (pႮq) Ⴎ [(qႮr) Ⴎ (pႮr)]

(A2) (ၾpႮp) Ⴎ p

(A3) p Ⴎ (ၾpႮq)

1. (pႮq) Ⴎ [(qႮr) Ⴎ (pႮr)] (A1)

2. [pႮ (ၾpႮq)] Ⴎ {[(ၾpႮq) Ⴎr] Ⴎ (pႮr)} (RP: 1, q/(ၾpႮq)

3. p Ⴎ (ၾpႮq) (A3)

4. [(ၾpႮq) Ⴎ r] Ⴎ (pႮr) (RO: 2, 3)

5. [(ၾpႮp) Ⴎp] Ⴎ (pႮp) (RP: 4, q/p, r/p)

6. (ၾpႮp) Ⴎ p (A2)

7. pႮp (RO: 5, 6)

Objaśnienia:

RP - reguła podstawiania

np. RP: 1, q/p - w wyrażeniu 1 za q podstawiam p

RO - reguła odrywania

np. RO: 2, 3 - odrywam 3 od 2

(A2) - wprowadzam aksjomat A2

JĘZYK RACHUNKU kwantyfikatorów

I. Cel skonstruowania (funkcja)

Język rachunku kwantyfikatorów pozwala uzupełnić formalnologiczny opis języka o te własności, które uwarunkowane są wewnętrzną strukturą zdań prostych i znaczeniem występujących w tych zdaniach stałych logicznych, tj. wyrażeń kwantyfikujących.

Język rachunek zdań dotyczył relacji między zdaniami prostymi, które wchodziły w skład zdań złożonych. Rachunek kwantyfikatorów dotyczy raczej relacji między nazwami w danym zdaniu lub zdaniach. Stąd zresztą, język rachunku zdań zawiera pojęcie zmiennej zdaniowej a język rachunku kwantyfikatorów zmiennej nazwowej.

II. Symbole Języka Rachunku Kwantyfikatorów

x, y, z ... - zmienne indywiduowe - reprezentują dowolne przedmioty (indywidua) danego rodzaju

P, Q, R... - zmienne predykatowe - reprezentują nazwy własności, czynności lub stosunków, które orzekamy o indywiduach danego rodzaju

Λ - kwantyfikator generalny, ogólny - czytany: dla każdego ..., dla dowolnego ...

V - kwantyfikator szczegółowy, egzystencjalny - czytany: dla niektórych ..., istnieje taki ..., że...

Wprawki w czytaniu prostych formuł:

P(x) - czytamy: P od x - reprezentuje wyrażenia o budowie: x jest P.

R(x,y) - czytamy: R od x, y - reprezentuje wyrażenia o budowie: x jest w relacji R do y.

Przykłady schematów funkcji zdaniowych:

(ၾP(x) კ R (x,y) )Ⴎ ၾP(y)

przykład funkcji zdaniowej: Jeżeli, x nie jest Polakiem i x jest ojcem y, to y nie jest Polakiem ( dla P - jest Polakiem i R - jest ojcem)

Wprowadzenie kwantyfikatorów:

schemat zdaniowy: Λx P(x) - czytany: dla każdego x P od x; reprezentuje wyrażenia typu: każdy przedmiot (danego rodzaju) posiada taką a taką własność; np.: wszystkie przedmioty materialne są rozciągłe

schemat zdaniowy: Vx P(x) - czytany: istnieje taki (dla pewnego) x, że P od x; reprezentuje wyrażenia typu: istnieje taki przedmiot (danego rodzaju), który posiada taką a taką własność; np.: pewne przedmioty materialne są cięższe od wody

Inne zapisy kwantyfikatorów: Π, (x) - ogólny; Σ, (Ex) - szczegółowy

WYRAŻENIA z R(X,Y)

Λx Λy R(x,y) - czytamy: dla każdego x, dla każdego y, R od x, y; np.: Wszystko ze wszystkim jest powiązane.

Vx VyR(x,y) - czytamy: dla pewnego x istnieje takie y, że R od x,y; np.: Istnieje coś, co ma jakąś przyczynę.

Λx Vy R(x,y) - czytamy: dla każdego x istnieje takie y, że R od x, y; np.: Wszystko ma jakąś przyczynę.

Vx Λy R(x,y) - czytamy: istnieje takie x, że dla każdego y, R od x, y; np.: Istnieje coś, co jest przyczyną wszystko.

III. Prawa Rachunku Kwantyfikatorów

prawo subalternacji

Λx P(x) Ⴎ Vx P(x)

prawo zastępowania kwant. ogólnego kwant. szczegółowym

Λx P(x) მ ၾVx ၾP(x)

prawo zastępowania kwant. szczegółowego kwant. ogólnym

Vx P(x) მ ၾΛx ၾP(x)

I prawo de Morgana dla kwantyfikatorów, inaczej prawo negowania kwantyfikatora ogólnego

ၾΛx P(x) მ V x ၾP(x)

II prawo de Morgana dla kwantyfikatorów, inaczej prawo negowania kwantyfikatora egzystencjalnego

ၾVx P(x)მ Λx ၾP(x)

odpowiednik modus ponendo ponens dla kwantyfikatorów

[Λx (P(x) Ⴎ Q(x) ) კ P(x)] Ⴎ Q(x)

prawo rozkładania dużego kwantyfikatora

Λx [(P(x) Ⴎ Q(x)] Ⴎ [Λx P(x) Ⴎ Λx Q(x)]

prawo rozkładania małego kwantyfikatora

Λx [(P(x) Ⴎ Q(x)] Ⴎ [Vx P(x) Ⴎ Vx Q(x)]

IV. Pojęcie zmiennej związanej i zmiennej wolnej

Każda zmienna stojąca w zasięgu danego kwantyfikatora jest zmienną związaną przez ten kwantyfikator. Zasięgiem kwantyfikatora nazywamy wyrażenie zawarte w nawiasie, otwartym bezpośrednio po zmiennej objętej tym kwantyfikatorem.

WNIOSKOWANIE BEZPOŚREDNIE

I. Wiadomości wstępne.

Wnioskowanie bezpośrednie, w pewnym uproszczeniu, dotyczy tzw. zdań kategorycznych (ogólnych i szczegółowych), to jest zdań prostych o budowie podmiotowo-orzecznikowej stwierdzających, że coś jest czymś, lub nieco inaczej, że pewna klasa zawiera się lub się nie zawiera w jakieś innej klasie, w całości lub w części.

To drugie określenie sugeruje, że w interesujących nas tutaj zdaniach kategorycznych występuje określenie ilościowe (tzw. kwantyfikacja), wyrażane słowami: „każdy”, „żaden”, „niektóre, pewne”. Owa kwantyfikacja zdania, określana bywa inaczej ilością zdania.

Można zatem powiedzieć, że pod względem ilości zdania te dzielą się na ogólne (każdy, żaden) i szczegółowe (pewien, niektóry). Natomiast biorąc pod uwagę możliwość twierdzenia i przeczenia, zdania te dzielą się na przeczące i twierdzące, to jest. tzw. jakość zdania.

Mogą zatem występować cztery rodzaje powyższych zdań:

1. zdanie ogólno-twierdzące, np. Każdy ślimak jest zwierzęciem

2. zdanie ogólno-przeczące, np. Żaden ślimak nie jest muflonem

3. zdanie szczegółowo-twierdzące, np. Pewne ślimaki są zaopatrzone w skorupki

4. zdanie szczegółowo-przeczące, np. Pewne ślimaki nie są zaopatrzone w skorupki

Wnioskowanie bezpośrednie to wnioskowanie na podstawie jednego zdania.

II. Konwersja - (łac. conversio = odwrócenie)

1. Zasady:

1. Podmiot przesłanki staje się orzecznikiem wniosku, a orzecznik przesłanki podmiotem wniosku.

1.2 Po odwróceniu jakość zdania się nie zmienia - z wyjątkiem zdań szczegółowo-przeczących.

1.3 Zachowana zostaje wartość logiczna: jeżeli przesłanka była prawdziwa to wniosek, który powstał przez prawidłowe odwrócenie również powinien być prawdziwy.

2. Wprowadzenie skrótów:

S - od łac. subiectum - podmiot

P - od łac. praedicatum - orzecznik

a - zdanie ogólno-twierdzące, np. Każdy ślimak jest zwierzęciem - SaP

e - zdanie ogólno-przeczące, np. Żaden ślimak nie jest muflonem - SeP

i - zdanie szczegółowo-twierdzące, np. Pewne ślimaki są zaopatrzone w skorupki - SiP

o - zdanie szczegółowo-przeczące, np. Pewne ślimaki nie są zaopatrzone w skorupki - SoP

3. Konwersja prosta - (łac. conversio simplex)

Zachowana zostaje ilość zdania, tzn. szczegółowe i ogólne po odwróceniu pozostają bez zmian.

Odwracają się tak SeP i SiP

SeP→PeS

Jeżeli żaden świstak nie jest ptakiem, to żaden ptak nie jest świstakiem.

SiP→PiS

Jeżeli pewne świstaki potrafią świstać, to pewne potrafiące świstać są świstakami.

4. Konwersja przez zmianę ilości - (łac. conversio per accidens)

Zachodzi zmiana ilości, tzn. zdanie ogólne przechodzi w szczegółowe

Odwracają się tak zdania typu SaP.

SaP→PiS

Jeżeli każda katechetka jest osobą znającą dekalog, to pewna osoba znająca dekalog jest katechetką.

5. Konwersja przez kontrapozycję - (łac. conversio per contrapositionem)

Do podmiotu i orzecznika zdania odwróconego dodajemy partykułę `nie'

Odwracają się tak zdania typu SoP.

SoP→P'iS

Jeżeli pewien kwiat nie jest czerwony, to pewien nie-czerwony jest kwiatem.

Dokładnie wygląda to tak:

SoP→P'oS'→P'iS

Jeżeli pewien kwiat nie jest czerwony, to pewien nie-czerwony nie jest nie-kwiatem. Drugie zdanie można zastąpić zdaniem: Pewne nie-czerwone jest kwiatem. Jest to możliwe dzięki temu, że podkreślone powyżej przeczenia (nie) skracają się.

Można zapytać, dlaczego skróciły się akurat te dwie partykuły „nie”, a pozostało „nie” przy słowie „czerwone”. Otóż „nie” postawione przed nazwą własną lub orzecznikiem, a symbolizowane przez apostrof (`) np.: S', P' nazywa się negacją przynazwową i nie podlega ona skracaniu ze zwykłą negacją. Dlatego, że należy do innej kategorii wyrażeń, ze względu na inną funkcję jaką spełnia. Negacja ta określa zbiór desygnatów, o którym mowa w zdaniu, przez zanegowanie zbioru innych desygnatów, np.: „nie-czerwony” - to nazwa, której desygnatami są wszystkie elementy nie będące czymś czerwonym.

Uwaga! Niektórzy logicy przyjmują tylko trzy pierwsze sposoby konwersji, wykluczając z tego grona konwersję przez kontrapozycję. Zaliczają ją wówczas do innego rodzaju wnioskowania bezpośredniego, mianowicie do konwersji.

II. OBWERSJA (ekwipolencja) - łac. obversio = obrócenie; aequipollentia = równoważność, zachodzi między zdaniami mającymi to samo znaczenie.

1. Zasady

1. Przekształcamy na zdania równoważne.

1.2 Zdania równoważne różnią się jakością.

1.3 Orzecznik otrzymuje we wniosku partykułę `nie' (negacja przynazwowa).

2. Ogólnotwierdzące

SaP=SeP'

Każdy ambasador jest przedstawicielem swojego państwa = gdy żaden ambasador nie jest nie-przedstawicielem swojego państwa.

3. Ogónoprzeczące

SeP=SaP'

Żaden Eskimos nie jest filozofem = Każdy Eskimos jest nie-filozofem.

4. Szczegółowotwierdzące

SiP=SoP'

Niektórzy milionerzy są skąpcami = Niektórzy milionerzy nie są nie-skąpcami.

5. Szczegółowoprzeczące

SoP=SiP'

Niektóre grzyby nie są roślinami jadalnymi = Niektóre grzyby są roślinami nie-jadalnymi.

III. OPOZYCJA ZDAŃ

Przez opozycję zdań, rozumie się relację między prawdziwością i fałszywością zdań kategorycznych o tym samym podmiocie i orzeczniku. Jest to inna forma wnioskowania bezpośredniego. Tym razem jednak nie wyciągamy nowego zdania ale wnioskujemy o fałszywości lub prawdziwości pewnego zdania, na podstawie fałszywość lub prawdziwości innego. Relacje te mają charakter stały i zazwyczaj przedstawia się je przy pomocy tzw. kwadratu logicznego.

KWADRAT LOGICZNY

1. Założenia przy budowie kwadratu logicznego

1. Chodzi zawsze o zdania o tym samym podmiocie i orzeczniku.

2. Badanie relacji zdań w opozycji

2.1 Zdania sprzeczne (propositiones contradictoriae) - są w stosunku sprzeczności (oppositio contradictionis)

SaP - SoP Każdy pingwin jest ptakiem - Pewien pingwin nie jest ptakiem

1 - prawda 0 - fałsz

Każdy krokodyl jest ptakiem - Pewien krokodyl nie jest ptakiem

• 1

SeP - SiP Żaden krokodyl nie jest ptakiem - Pewien krokodyl jest ptakiem

• 0

Żaden krokodyl nie jest gadem - Pewien krokodyl jest gadem

• 1

2.2 Zdania przeciwne (propositiones contrariae) - są w stosunku przeciwieństwa (oppositio contraria)

SaP - SeP Każdy pingwin jest ptakiem - Żaden pingwin nie jest ptakiem

• 0

Każdy pingwin jest ssakiem - Żaden pingwin nie jest ssakiem

• 1

Każdy mężczyzna jest dyrygentem - Żaden mężczyzna nie jest dyrygentem

• 0

2.3 Zdania podprzeciwne (propositiones subcontrariae) - stosunek podprzeciwieństwa (oppositio subcontraria)

SiP - SoP Pewne kobiety są sportowcami - Pewne kobiety nie są sportowcami

• 
  1

Niektórzy ludzie są śmiertelni - Niektórzy ludzie nie są śmiertelni

1 0

Niektórzy ludzie są nieśmiertelni - Niektórzy ludzie nie są nieśmiertelni

• 1

2.4 Zdania podporządkowane (propositiones subalternae) - są w relacjach podporządkowania (oppositio subalterna)

Na podporządkowanie składają się dwie relacje: nadrzędności i podrzędności.

Stosunek nadrzędności

SaP - SiP Każdy pingwin jest ptakiem - Pewien pingwin jest ptakiem

1 1

Każdy mężczyzna jest dyrygentem - Pewni mężczyźni są dyrygentami

• 1

Każdy pingwin jest ssakiem - Pewne pingwiny są ssakami

• 0

SeP - SoP Żaden pingwin nie jest ssakiem - Pewne pingwiny nie są ssakami

• 1

Żaden mężczyzna nie jest dyrygentem - Pewni mężczyźni nie są dyrygentami.

• 1

Żaden pingwin nie jest ptakiem - Pewne pingwiny nie są ptakami

• 0

z prawdziwości nadrzędnego prawdziwość podrzędnego, ale z fałszu prawdziwość lub fałsz

Stosunek podrzędności

Wnioskowanie pośrednie. Sylogizmy

I. Wprowadzenie do zagadnienia sylogizmów

Wnioskowanie sylogistyczne, jakie tutaj zostanie przedstawione należy do tzw. wnioskowania pośredniego. W przeciwieństwie bowiem do wnioskowania bezpośredniego wniosek nie wynika tutaj z jednej przesłanki, ale z dwóch. Za twórcę prezentowanego tutaj wnioskowania sylogistycznego uważa się Arystotelesa (384-322 p.n.e.).

1. Sylogizm

df. sylogizmu wg Arystotelesa: Sylogizm jest to wypowiedź, w której przy założeniu tego i owego coś innego od nich z konieczności wynika dzięki nim. (Analityki Pierwsze, I, 1.)

df. sylogizmu asertorycznego - wnioskowanie o dwu przesłankach, w których zarówno przesłanki, jak i wniosek są klasycznymi zdaniami kategorycznymi, przy czym przesłanki mają jeden i tylko jeden termin wspólny (tzw. termin średni), każdy zaś termin wniosku występuje w jednej i tylko w jednej przesłance.

Przykład sylogizmu asertorycznego

M P

Każde zwierzę posiada zmysły

S M

Każdy pies jest zwierzęciem

S P

Każdy pies posiada zmysły.

2. Tryby i figury sylogizmu Asertorycznego

2.1 Pojęcie terminu

Termin to nazwa techniczna oznaczająca nazwy i zmienne (S,P,M) w przesłankach i wniosku. Nazwa ta pochodzi od gr. horos (kres, granica) przełożonego na łac. terminus.

W powyższym przykładzie sylogizmu pojawiają się następujące terminy (zaznaczone kursywą), które określa się odpowiednio: termin większy (terminus maior)= orzecznik wniosku (P), termin mniejszy (terminus minor)= podmiot wniosku (S), termin średni = występujący w obu przesłankach, ale nie we wniosku (M). Nazewnictwo to pochodzi stąd, że w trybie Barbara S ma mniejszy zakres niż P, a tryb ten, zdaniem Arystotelesa, jest najbardziej oczywisty. Nazwa termin średni (terminus medius) stąd pochodzi, że termin ten spaja obie przesłanki tak, że możliwe jest wyciągnięcie wniosku. Należy również zauważyć, że od nazw terminów pochodzą nazwy przesłanek. Przesłanka, w której znajduje się orzecznik wniosku to przesłanka większa, ta zaś, w której znajduje się podmiot wniosku to przesłanka mniejsza.

2.2 Figury

Dla tak określonych terminów, przy założeniu, że konstruujemy sylogizmy składające się z dwóch przesłanek i wniosku, istnieją cztery możliwe układy owych terminów. Są to tzw. figury sylogizmu. Prezentują je poniższe schematy.

figura I figura II figura III figura IV

Dla ułatwienia zapamiętania układu terminów średnich w poszczególnych figurach, przyjmując, że we wniosku jest zawsze układ S-P (podmiot-orzecznik), i że w pierwszej przesłance występuje zawsze P (orzecznik wniosku), a w drugiej S (podmiot wniosku) średniowieczni logicy używali poniższego mnemotechnicznego „wierszyka”. Tym samym „wierszyk” ten ułatwia zapamiętanie cech dystynktywnych (odróżniających) figur i ich kolejność. Sylaba sub - oznacza podmiot, prae - orzecznik. Pierwsze dwie sylaby dotyczą figury pierwszej, następne dwie - drugiej, itd.

sub prae, prae prae, sub sub, prae sub

2.3 Tryby

Ponieważ sylogizmy klasyczne buduje się ze zdań kategorycznych, a tych są cztery rodzaje, to jeśli spróbujemy podstawić owe zdania w miejsca przesłanek i wniosku w każdej z figur, to otrzymamy 256 możliwych kombinacji, zwanych trybami. Niestety z tak pokaźnej liczby tylko 24 tryby są poprawne. Przykładem trybu niepoprawnego dla fig. I niech będzie układ, w którym wystąpią po kolei dwa zdania ogólno-przeczące i zdanie ogólno-twierdzące.

Żaden delfin nie jest psem.

Żaden krokodyl nie jest delfinem.

Każdy krokodyl jest psem.

Jak widać nie potrzeba wielkiej znajomości logiki żeby dojść do wniosku, że jest to całkiem karkołomne wnioskowanie. Poniżej podano zasady budowy sylogizmów poprawnych. W efekcie ich zastosowania otrzymujemy 24 poprawne sylogizmy. Poprawność rozumie się tutaj tak, że wniosek wynika z przesłanek w sposób konieczny, a jeśli przesłanki będą prawdziwe to otrzymamy również wniosek prawdziwy. Wspomniane 24 tryby rozkładają się po sześć dla każdej figury. Zapamiętanie trybów ułatwiają poniższe wyrażenia. Każde z nich zawiera trzy samogłoski, które zgodnie z kolejnością czytania oznaczają I przesłankę, II przesłankę i wniosek. Użyte tutaj samogłoski a, e, i, o - symbolizują odpowiednio zdania ogólno-twierdzące, ogólno-przeczące, szczegółowo-twierdzące i szczegółowo-przeczące.

Tryby:

I fig. : Barbara, Celarent, Darii, Ferio, Barbari, Celaront

II fig. : Cesare, Camestres, Festino, Baroco, Cesaro, Camestros

III fig.: Darapti, Felapton, Disamis, Datisi, Bocardo, Ferison

IV fig.: Bramantip, Camenes, Dimaris, Fesapo, Fresison, Camenos

2.4 Przykłady sylogizmów figur I-IV

I fig. Barbara Każde zwierzę posiada zmysły Każdy pies jest zwierzęciem Każdy pies posiada zmysły.	III fig. Darapti Każdy niedźwiedź jest ssakiem Każdy niedźwiedź ma ostre pazury Pewne mające ostre pazury są ssakami
II fig. Cesare Żaden mężczyzna nie jest kobietą Każda żona jest kobietą Żadna żona nie jest mężczyzną	IV fig. Bramantip Każdy delfin jest ssakiem Każdy ssak ssie mleko Pewne ssące mleko są delfinami

2.5 Zasady budowy sylogizmów poprawnych

Aby zrozumieć zasady budowy sylogizmów poprawnych zapoznamy się najpierw z paroma określeniami.

Przez desygnat nazwy rozumieć będziemy to indywiduum, które dana nazwa oznacza, czy też inaczej przedmiot przez tą nazwę oznaczany. Na przykład nazwa pies oznacza to konkretne indywiduum, czy też te konkretne indywidua, wyglądające i zachowujące się tak, a nie inaczej. Przez zakres nazwy rozumieć będziemy zbiór indywiduów (przedmiotów) oznaczanych przez daną nazwę. Na przykład zakresem nazwy pies są wszystkie psy, bo o każdym z nich można orzec tę właśnie nazwę.

Nazwy występujące w zdaniach kategorycznych mogą występować w całym lub nie całym swoim zakresie. Przykładem niech będą dwa zdania z tą samą nazwą: pies.

W zdaniu „Każdy pies potrafi szczekać” pies występuje w całym swoim zakresie dlatego, że poprzedza go określenie ilościowe „Każdy” - mowa zatem o wszystkich psach.

Natomiast w zdaniu: „Pewien pies ma szorstką sierść” nazwa pies nie występuje w całym zakresie lecz w częściowym dlatego, że poprzedza ją określenie ilościowe „pewien” - mowa zatem przynajmniej o jednym psie.

Termin rozłożony to termin występujący w zdaniu w całym swoim zakresie. Terminami rozłożonymi są orzeczniki zdań przeczących i podmioty zdań ogólnych.

Zasady budowy sylogizmów poprawnych

1. Termin średni musi być przynajmniej w jednej przesłance terminem rozłożonym.

2. Przynajmniej jedna z przesłanek musi być zdaniem twierdzącym. (inaczej - Z dwóch zdań przeczących nie wynika żaden wniosek)

3. Jeśli jedna z przesłanek jest zdaniem przeczącym, to i wniosek musi być zdaniem przeczącym.

4. Jeśli obie przesłanki są zdaniami twierdzącymi, to i wniosek musi być twierdzący.

5. Jeżeli jakiś termin ma być terminem rozłożonym we wniosku, to musi on być terminem rozłożonym również w przesłance.

6. Z dwóch zdań szczegółowych nie wynika żaden wniosek.

7. Jeżeli jedna z przesłanek jest zdaniem szczegółowym, to także wniosek musi być szczegółowy.

Teoria Relacji

I. Określenie relacji. Wiadomości wstępne

Przez relację (stosunek) rozumie się wszelki związek, zależność zachodzącą między indywiduami danego (dowolnego) rodzaju, np. równość między liczbami, wyższość między ludźmi, starszeństwo między ludźmi, itp.

Indywidua, między którymi zachodzi dana relacja nazywa się jej członami. Ze względu na ilość członów wyróżnia się relacje dwu-, trój- itd. członowe. Przykładem relacji dwuczłonowej jest relacja bycia wyższym. Np. zdanie „Jan jest wyższy od Piotra” wyraża relację wyższości, w jakiej Jan pozostaje do Piotra. „Jan” jest tutaj poprzednikiem relacji, a „Piotr” następnikiem relacji. Przykładem relacji trójczłonowej jest relacja oddzielania. Zachodzi ona na przykład między jednym pokojem, drugim pokojem i ścianą je oddzielającą.

Poniższe stwierdzenia dotyczyć będą relacji dwuczłonowych.

Ponieważ relacja, orzekana o jakichś indywiduach traktowana być może jako predykat, teorię relacji opisuje się przy pomocy języka rachunku predykatów. Zgodnie z tym relację oznacza się zazwyczaj zmienną predykatową R. Wówczas zapis relacji dwuczłonowej „x pozostaje w relacji R do y” wygląda tak: R(x,y) lub (xRy).

Do podstawowych pojęć owej teorii należą: dziedzina, przeciwdziedzina i pole relacji.

Przez dziedzinę relacji R rozumie się zbiór tych indywiduów, które pozostają w relacji R do innych indywiduów. Tak więc dziedziną relacji bycia większym od Piotra tworzą te wszystkie indywidua, które są od niego większe. Jeśli dziedzinę relacji oznaczymy przez D to przy użyciu języka rachunku predykatów można ową dziedzinę zdefiniować w sposób następujący:

۸x [x∈D(R)⇔۷yR(x,y)]

Przeciwdziedziną relacji R nazywamy te indywidua, do których w relacji R pozostają pewne indywidua. Przeciwdziedzinę oznaczamy symbolem

Ď(R) a definiujemy tak: ۸x [x∈Ď(R)⇔۷yR(y,x)]

Przeciwdziedzinę relacji bycia większym od Piotra, tworzy Piotr. Innym przykładem może być relacja bycia wujem. Dziedziną tej relacji będą wszystkie te osoby, które są wujami. Przeciwdziedziną natomiast są te osoby, które posiadają wuja.

Polem relacji R nazywamy sumę dziedziny i przeciwdziedziny relacji R. Zbiór ten oznacza się symbolem P(R). Pole relacji można określić w ten sposób: ۸x [x∈P(R)⇔x∈D(R)∨x∈Ď]

Polem relacji bycia wujem są wszyscy wujowie i wszyscy posiadający wuja.

2. Rodzaje relacji

Określenie rodzaju relacji, jej cech, następuje w obrębie jakiegoś zbioru indywiduów, których wzajemne relacje określamy.

2.1 Relacje zwrotne, niezwrotne i przeciwzwrotne

Relację nazywamy zwrotną w zbiorze Z gdy każde indywiduum tego zbioru pozostaje w niej do siebie samego.

relacja R jest zwrotna w Z ⇔ ۸x∈Z R(x, x)

Taką cechę posiada na przykład relacja podobieństwa w zbiorze ludzi. Dlatego, że każdy element tego zbioru (każdy człowiek) jest podobny do siebie samego.

Relacja jest niezwrotna w zbiorze Z wtedy, gdy nie jest tak, że każdy jego element pozostaje w tej relacji do siebie samego.

relacja R jest niezwrotna w Z ⇔ ~۸x∈Z R(x,x)

Przykładem może być relacja bycia zadowolonym w zbiorze ludzi dlatego, że nie jest prawdą, że każdy człowiek jest zadowolony z siebie samego. Wystarczy jeden taki człowiek a relacja ta będzie relacją niezwrotną.

Relacja jest przeciwzwrotna w zbiorze Z wtedy, gdy żaden jego element nie pozostaje w tej relacji do siebie samego.

relacja R jest przeciwzwrotna w Z ⇔ ۸x∈Z ~R(x,x)

Przykładem może być relacja bycia starszym w zbiorze ludzi. Relacja ta jest przeciwzwrotna, dlatego że żaden człowiek nie jest starszy od siebie samego.

2.2 Relacje symetryczne, niesymetryczne i przeciwsymetryczne

Relacja R jest symetryczna w zbiorze Z wtedy, gdy zachodząc między dwoma dowolnymi elementami x i y tego zbioru zachodzi również między y i x. Dla symetryczności relacji w danym zbiorze nie jest konieczne aby każdy jego element pozostawał w takiej relacji do każdego innego elementu. Wystarczy jeżeli jest symetryczna między tymi jego elementami, miedzy którymi dana relacja R zachodzi.

relacja R jest symetryczna w Z ⇔ ۸x∈Z ۸y∈Z [R(x,y)→R(y,x)]

Przykładem może być relacja równości pod względem wzrostu w zbiorze ludzi. Jeśli Jan jest równego wzrostu z Anią, to Ania jest równego wzrostu z Janem.

Relacja R jest w danym zbiorze Z niesymetryczna, jeżeli nie jest tak, że zachodząc między dowolnym x i y tego zbioru, zachodzi między y i x. Wystarczy zatem, by w danym zbiorze znalazła się jedna tylko para, dla której relacja R zachodzi między x i y, a nie zachodzi między y i x, aby relacja ta w zbiorze Z była niesymetryczna.

relacja R jest niesymetryczna w Z ⇔ ~ ۸x∈Z ۸y∈Z [R(x,y)→R(y,x)]

Przykładem może być relacja bycia życzliwym w zbiorze studentów. Zazwyczaj, jeżeli Jan jest życzliwy dla Adama, to Adam jest życzliwy dla Jana. Ale bywa i tak, że mimo życzliwości Jana wobec Adama, Adam odpłaca nieżyczliwością.

Relacja R jest przeciwsymetryczna w Z wtedy, gdy zachodząc między elementami x i y, nie zachodzi między y i x.

relacja R jest przeciwsymetryczna w Z ⇔ ۸x∈Z ۸y∈Z [R(x,y)→ ~R(y,x)]

Przykładem może być relacja bycia ojcem w zbiorze ludzi. Jeżeli Jan jest ojcem Macieja, to Maciej nie jest, i nie może być, ojcem Jana.

2.3 Relacje przechodnie, nieprzechodnie i przeciwprzechodnie

Relacja R jest przechodnia w zbiorze Z wtedy, gdy jeżeli zachodzi między x i y, i zachodzi między y i z, to zachodzi miedzy x i z. Relacje te nazywa się też relacjami tranzytywnymi.

relacja R jest przechodnia w Z ⇔ ۸x∈Z ۸y∈Z ۸z∈Z [R(x,y) ∧ R(y,z) → R(x,z)]

Przykładem może być relacja bycia niższym w zbiorze ludzi. Dla dowolnych trzech ludzi (np. Kuba, Piotr, Michał), jeżeli Kuba jest niższy od Piotra, i Piotr jest niższy od Michała, to Kuba jest niższy od Michała.

Relacja R jest nieprzechodnia w Z wtedy, gdy istnieje przynajmniej jedna taka trójka elementów (x,y,z) tego zbioru, że jeżeli x pozostaje w tej relacji do y i y jest w tej relacji do z to x nie pozostaje w tej relacji do z.

relacja R jest nieprzechodnia w Z ⇔ ~۸x∈Z ۸y∈Z ۸z∈Z [R(x,y) ∧ R(y,z) → R(x,z)]

Przykładem może być relacja znania się w zbiorze ludzi. To że Krysia zna Jolę, a Jola zna Matyldę nie oznacza, że Krysia zna Matyldę. Chociaż i tak bywa, że jeżeli Krysia zna Paulinę, a Paulina zna Agnieszkę to Krysia zna Agnieszkę.

Relacja R jest w Z przeciwprzechodnia wtedy, gdy dla dowolnych elementów (x,y,z) tego zbioru, jest tak, że jeżeli zachodzi miedzy x i y, i zachodzi między y i z, to nie zachodzi miedzy x i z.

relacja R jest przeciwprzechodnia

w Z ⇔ ۸x∈Z ۸y∈Z ۸z∈Z [R(x,y) ∧ R(y,z) → ~R(x,z)]

Przykładem jest relacja bycia ojcem. Jeżeli Filip jest ojcem Klemensa, a Klemens ojcem Ewagriusza to nie jest tak, że Filip jest ojcem Ewagriusza. Jest jego dziadkiem.

2.4 Relacje jednoznaczne, relacja spójna, relacja porządkująca, relacja równościowa (równoważnościowa) i klasa abstrakcji

Relacje jednoznaczne, to takie relacje, w których każdemu elementowi dziedziny przyporządkowany jest dokładnie jeden element przeciwdziedziny. Taką relacją jest relacja podniesienia do potęgi drugiej w zbiorze liczb rzeczywistych. Każda liczba rzeczywista ma jedną liczbę będącą jej kwadratem, ale każdy kwadrat ma dwie liczby, których jest wynikiem po podniesieniu ich do drugiej potęgi.

Relacja odwrotnie jednoznaczna, to taka relacja, która każdemu elementowi przeciwdziedziny przyporządkowuje dokładnie jeden element dziedziny. Przykładem jest relacja bycia matką w zbiorze ludzi. Dziedzinę stanowią tutaj matki, a przeciwdziedzinę ich dzieci. Każdy element przeciwdziedziny ma przyporządkowany dokładnie jeden element dziedziny, natomiast o elementach dziedziny nie można tego orzec dlatego, że niektóre matki mogą mieć przyporządkowany więcej niż jeden element przeciwdziedziny (mogą mieć więcej niż jedno dziecko).

Relacja jedno-jednoznaczna (wzajemnie jednoznaczna) - to taka relacja, która każdemu elementowi swojej dziedziny przyporządkowuje dokładnie jeden element przeciwdziedziny i odwrotnie, tzn. każdemu elementowi przeciwdziedziny przyporządkowuje dokładnie jeden element dziedziny. Przykładem może być relacja podniesienia do potęgi drugiej w zbiorze liczb naturalnych. Dziedziną są tutaj liczby naturalne, a przeciwdziedziną kwadraty tych liczb. Relacja ta charakteryzuje się jedno-jednoznacznością dlatego, że każda liczba naturalna ma jeden kwadrat, a każdy z nich jest kwadratem dokładnie jednej liczby. Co więcej relacja ta charakteryzuje się również tym, że liczbą naturalnym przyporządkowany jest jeden, ale ten sam dla każdej różny kwadrat, a kwadratom przyporządkowana jest jedna, dla każdego różna, ta sama liczba, której on jest kwadratem, a nie inna.

Zazwyczaj spotyka się interpretacje, w których chodzi właśnie o ten sam element. Czyli o taką sytuację, w której jeżeli x przyporządkowany jest y, a x' przyporządkowany jest y', to y przyporządkowany jest x, a y' przyporządkowany jest x'. Relację jedno-jednoznaczną można określić też jako relację jednocześnie jednoznaczną i odwrotnie jednoznaczną.

Pojawić się mogą również dwa inne określenia relacji. Dotyczące wzajemnego przyporządkowania elementów dziedziny i przeciwdziedziny.

Wyróżnia się relacje wielo-jednoznaczne i jedno-wieloznaczne.

Relacja jedno-wieloznaczna to taka relacja, w której dla każdego y przeciwdziedziny istnieje, co najwyżej jedno x, które jest do niego w pewnej relacji, ale jedno x może być w owej relacji do wielu y.

Relacja wielo-jednoznaczna to relacja odwrotna do poprzedniej, tzn. jeśli każdemu x dziedziny przyporządkowany jest dokładnie jeden y przeciwdziedziny, ale jednocześnie y może być przyporządkowanych wiele x.

Do istotnych rodzajów relacji i pojęć wyróżnianych w teorii relacji należą również: relacja równościowa (równoważnościowa), klasa abstrakcji, relacja spójna, i relacja porządkująca.

Relacją równościową w danym zbiorze jest taka relacja, która jest w tym zbiorze jednocześnie zwrotna, symetryczna i przechodnia. Przykładem może być relacja rówieśnictwa w zbiorze ludzi.

Załóżmy, że relacja R jest równościowa w zbiorze Z, do którego należy element x. Wówczas zbiór wszystkich tych elementów zbioru Z, które pozostają w relacji R do x nazywa się klasą abstrakcji od x w zbiorze Z ze względu na relację R. Oznacza się ją [x]_{R, Z.} Przykładem może być zbiór tych osób, które pozostają w relacji rówieśnictwa do Adama. Zbiór ten będzie klasą abstrakcji od Adama w zbiorze ludzi, ze względu na relację rówieśnictwa.

Relacja jest spójna w danym zbiorze, jeżeli zachodzi między każdymi dowolnie wybranymi elementami tego zbioru. Innymi słowy, jeżeli dana relacja jest spójna w danym zbiorze to dla dowolnie wybranych dwóch elementów x i y, relacja zachodzi między x i y lub między y i x. Przykładem może być zbiór ludzi, którzy nie urodzili się tego samego dnia, w którym relacją spójną będzie relacja starszeństwa. Dlatego, że dla dowolnych x i y, prawdą jest, że x jest starszy od y lub y jest starszy od x.

Relacją porządkującą w danym zbiorze jest relacja, która jest w tym zbiorze przeciwsymetryczna, przechodnia i spójna.

Przykładem może być relacja poprzedzania alfabetycznego w tytułach książek stojących w bibliotece (przy założeniu, że każdy z tytułów występuje tylko w jednym egzemplarzu). Jeżeli książki zostały poukładane w porządku alfabetycznym, to mamy tutaj do czynienia z relacją porządkującą.

2.5 Konwers relacji i Iloczyn względny reacji

Konwersem relacji R (relacją odwrotną do R) jest relacja, która zachodzi między x i y wtedy i tylko wtedy, gdy między y i x zachodzi relacja R. Konwers relacji R oznaczamy przez symbol: Ř.

Przykładem konwersu (Ř) może być relacja bycia wnukiem, dla relacji (R) bycia dziadkiem gdyż, jeśli x jest wnukiem y, to y z konieczności musi być jego dziadkiem; konwersem relacji mniejszości jest relacja większości gdyż, jeśli coś jest od czegoś mniejsze, to relacją odwrotną jest bycie większym.

określenie symboliczne:

relacja R₁ jest konwersem relacji R₂ ⇔ ۸x۸y[R₁(x,y) ⇔ R₂(y,x)]

Iloczynem względnym (relatywnym) relacji R i S jest relacja, która zachodzi między x i y wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie z, że między x i z zachodzi relacja R, zaś między z i y zachodzi relacja S. Iloczyn względny relacji oznaczamy symbolem R; S lub R◦ S. Przykładem może być relacja bycia synową, która jest iloczynem względnym relacji bycia żoną i relacji bycia synem.

określenie symboliczne: R₁ jest iloczynem względnym relacji R₂ i R₃

⇔ ۸x۸y{R₁ (x,y) ⇔ ۷z[R₂ (x,z)∧ R₃ (z,y)]}

Teoria zbiorów

I. Określenie Zbioru. Rodzaje Zbiorów

Definicję zbioru podał twórca jednej z wersji teorii mnogości Georg Cantor (1845-1918): „Zbiorem nazywamy wielość określonych, dobrze wyróżnionych przedmiotów naszego postrzegania lub naszej myśli rozważanych jako tworzące całość (jedność)”.

W teorii zbiorów rozróżnia się pojęcie zbioru w sensie kolektywnym i w sensie dystrybutywnym.

Zbiór w sensie kolektywnym to pewna całość ustanowiona przez przedmioty będące jej częściami. Przykładem może być las, jako składający się i ukonstytuowany przez drzewa. Takie rozumienie zbioru ujawnia się w następujących wyrażeniach: całość, konglomerat, agregat, kompleks. Cechą charakterystyczną tak rozumianych zbiorów, o ile są to zbiory złożone z elementów postrzegalnych zmysłowo jest to, że są one również postrzegalne.

Zbiór w sensie dystrybutywnym to zespół wielu posiadających wspólną cechę przedmiotów połączonych w jedność. Pojęcie zbioru w sensie dystrybutywnym wyrażane jest słowami: klasa, wielość, mnogość, zbiorowość, zespół, kolekcja, gatunek, rodzaj. Warto zauważyć, że w wypadku zbiorów w sensie dystrybutywnym, mimo że elementy je tworzące mogą być obiektami postrzeganymi zmysłowo, same te zbiory są li tylko pojęciami, nie istnieją w sposób poznawalny zmysłowo. W dalszej części wykładu zajmować się będziemy zbiorami w sensie dystrybutywnym.

Do podstawowych pojęć teorii mnogości należą pojęcia: zbioru pustego, zbioru jednoelementowego, dwuelementowego, zbioru skończonego, zbioru nieskończonego, rodziny zbiorów.

Zbiorem pustym nazywamy taki zbiór, który nie posiada żadnego elementu.

Zbiorem jednoelementowym nazywamy zbiór posiadający tylko jeden element.

Zbiorem dwuelementowym nazywamy zbiór posiadający tylko dwa elementy.

Zbiorem skończonym nazywamy zbiór mający skończoną ilość elementów. Innymi słowy:

Zbiór X nazywamy skończonym, gdy istnieje liczba naturalna n taka, że zbiór X ma n elementów.

Zbiór X nazywamy nieskończonym, gdy nie istnieje taka liczba naturalna n, aby zbiór X miał n elementów.

Rodziną zbiorów jest zbiór, którego wszystkie elementy są zbiorami. Przykładem może być zbiór nacji, w którego skład wchodzą np. zbiór Anglików, Francuzów itd.. Ponieważ żaden pojedynczy człowiek nie jest nacją, ale należy do zbioru określonej nacji (lub nie), to zbiór nacji jest zbiorem zbiorów, zatem rodziną zbiorów.

Określenie mówiące, że coś jest zbiorem, a dokładnie „być zbiorem” może być rozpatrywane jako szczególny przypadek predykatu jednoargumentowego, to znaczy tworzącego zdanie z jedną nazwą. Co za tym idzie, teorię zbiorów można opisać przy pomocy znanego już nam języka rachunku predykatów.

Zbiory symbolizować będą zmienne predykatowe: X, Y, Z.

Sytuację, w której jakiś x należy do zbioru Z zapisywać będziemy: x ∈ Z - czytamy - x należy do zbioru Z. Innymi słowy wyrażamy tym stwierdzenie, że x jest elementem Z.

Jeżeli x nie jest elementem Z to posłużymy się zapisem: x ∉ Z - czytamy - x nie należy do zbioru Z.

Kiedy wyszczególniamy, że do zbioru X należą elementy: a, b, c, d; zapisujemy to w ten sposób: X={a, b, c, d}. Klamra stanowi tutaj graficzny odpowiednik zbioru.

II. Relacje między zbiorami

1. Identyczność zbiorów

Dwa zbiory są identyczne wtedy, gdy posiadają dokładnie te same elementy.

Symbolicznie wyraża się to tak: Z Y

Z=Y ≡ Λx (x∈Z≡x∈Y)

2. Zawieranie się zbiorów/Inkluzja zbiorów

Zbiór Z zawiera się w zbiorze Y wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element należący do Z należy również do Y, przy czym zbiór Y może zawierać elementy, które nie należą do zbioru Z.

Z⊂Y ≡ Λx (x∈Z → x∈Y) Z Y

lub

Zbiór Z nazywa się wówczas podzbiorem Y, a zbiór Y nadzbiorem Z. Inaczej mówiąc między zbiorem Z i zbiorem Y zachodzi relacja inkluzji.

2.1 Właściwe zawieranie się zbiorów/Inkluzja właściwa zbiorów

Zbiór Z zawiera się właściwie w zbiorze Y wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element Z jest elementem Y i istnieje taki element Y, który nie jest zbiorem Z lub jego elementem.

Z⊆Y ≡ [Λx (x∈Z → x∈Y) ∧ Vx (x∉Z ∧ x∈Y)]

Zbiór Z nazywa się wówczas podzbiorem właściwym zbioru Y, a zbiór Y nadzbiorem właściwym Z.

3. Krzyżowanie się zbiorów

Dwa zbiory Z i Y, krzyżują się wtedy, gdy istnieje przynajmniej jeden element zbioru Z, który jest również elementem zbioru Y, i istnieje taki element zbioru Z, który nie jest elementem zbioru Y, i istnieje taki element zbioru Y, który nie jest elementem zbioru Z.

Z Y≡ [Vx (x∈Z ∧ x∈Y) ∧ Vx (x∈Z ∧ x∉Y) ∧ Vx (x∉Z ∧ x∈Y)]

4. Wykluczanie się zbiorów

Dwa zbiory wykluczają się wtedy i tylko wtedy, gdy nie mają elementów wspólnych. Innymi słowy, owe dwa zbiory wykluczają się.

Z Y≡ ~Vx (x∈Z ∧ x∈Y)

III. Działania na zbiorach

1. Suma dwóch zbiorów

Dane indywiduum jest elementem sumy dwóch zbiorów wtedy, gdy jest elementem chociaż jednego z tych zbiorów.

Λ x (x∈Z ∪Y ≡ x∈Z ∨ x∈Y)

Z Y

2. Iloczyn dwóch zbiorów

Λ x (x∈Z∩Y ≡ x∈Z ∧ x∈Y)

Dane indywiduum jest elementem iloczynu dwóch zbiorów wtedy, gdy jest elementem każdego z tych zbiorów.

Z Y

3. Różnica dwóch zbiorów

Λ x (x∈Z-Y ≡ x∈Z ∧ x∉Y)

Dane indywiduum jest elementem różnicy między zbiorem X i Y wtedy, gdy jest elementem X a nie jest elementem Y.

Z Y

4. Dopełnienie zbioru

Dla zrozumienia czym jest dopełnienie zbioru musimy najpierw wprowadzić pojęcie zbioru pełnego (uniwersum).

Zbiorem pełnym jest zbiór złożony ze wszystkich elementów wydzielonych ze względu na jakąś cechę. Tak np. zbiorem pełnym (uniwersum) zbioru rzeczy w ogóle są wszystkie te indywidua, które możemy nazwać rzeczami.

Jeśli teraz stworzymy jakiś podzbiór tego uniwersum np. rzeczy posiadające kolor czerwony, to powiemy, że dopełnieniem tego podzbioru, w tym uniwersum, są wszystkie te indywidua, które nie są czerwone, ale są rzeczami. Dopełnienie zbioru Z symbolicznie zapisujemy: Z'. Zbiór pełny (uniwersum) oznaczamy tak: U, 1.

U Z'

Λx (x∈Z' ≡ x∈U ∧ x∉Z)

5. Podział zbioru

Podziałem zbioru nazywamy tylko taki sposób wyróżniania jego podzbiorów, który spełnia dwa warunki: warunek rozłączności i adekwatności.

Dany podział jest rozłączny wtedy, gdy wyróżnione podzbiory są wzajem rozłączne, czyli się wykluczają.

Dany podział jest adekwatny, inaczej - zupełny, gdy suma wszystkich wyróżnionych podzbiorów jest identyczna ze zbiorem, z którego wydzielono owe podzbiory.

6. Iloczyn (produkt) kartezjański zbiorów

Aby wyjaśnić, co to jest iloczyn kartezjański zbiorów wprowadzić musimy najpierw pojęcie par uporządkowanych.

Na marginesie należy dodać, że dowolny zbiór np. dwuelementowy, zapisać można przy pomocy zwykłej klamry {a,b}. Przy czym, jeżeli nie padnie zastrzeżenie, że jest to para uporządkowana, lub trójka uporządkowana, itd., to nie ma znaczenia kolejność elementów: {a,b}={b,a}.

Parę uporządkowaną dowolnych przedmiotów a, b oznaczamy symbolicznie: <a,b〉.

Uporządkowanie polega tutaj na ustaleniu pewnej kolejności wystąpienia elementów - a jest pierwsze, b jest drugie. Para uporządkowana <a,b〉 różni się nie tylko od zbioru {a,b}, który jest parą nieuporządkowaną, ale także od pary uporządkowanej <b, a〉. Od powyższego zbioru różni się kolejnością w ogóle, {a,b}={b,a}, czyli tym, że bierze się pod uwagę kolejność, a od <b,a〉 różni się taką właśnie kolejnością a nie inną - <a,b〉≠<b,a〉.

Iloczynem (produktem) kartezjańskim zbiorów Z i Y - symbolicznie (Z×Y) - nazywamy zbiór wszystkich par uporządkowanych, których pierwsze elementy należą do Z, a drugie do Y.

Na przykład:

Z={pióro, ołówek}

Y={gumka, linijka}

to Z × Y={<pióro, gumka〉, <pióro, linijka〉, <ołówek, gumka〉, <ołówek, linijka〉}

Wprowadzenie do semantyki

Poniższy wykład jest obszernym cytatem haseł znajdujących się w Małej Encyklopedii Logiki.

I.SEMANTYKA (ang. semantics, niem. Semantik).

gr. semantikos - znaczący; semasia - znaczenie; semeion - znak od sema - znak, sygnał, obraz

(1) Ogólna teoria znaków, zwana inaczej semiotyką.

(2) Jeden z działów semiotyki, opisujące stosunki między znakami a rzeczywistością, do której znaki się odnoszą, np. stosunek oznaczania, denotowania, konotowania, prawdziwości, itp.

Rozumienia (1) i (2) różnią się od znaczenia będącego w obiegu u lingwistów: semantyka rozumiana jako dział lingwistyki bada znaczenia wyrazów, zmiany tych znaczeń i przyczyny zmian. W takim sensie termin "semantyka", zanim uzyskał znaczenia (1) i (2), został użyty przez językoznawcę francuskiego M. Bréala pod koniec XIX w. Rozumienie (2) rozpowszechniło się dzięki Charlesowi Morrisowi (1901-79).

Choć sam termin "semantyka" jest stosunkowo niedawnego pochodzenia, rozważania o charakterze semantycznym mają tradycję sięgającą starożytności. Wiązały się one z filozofią, gramatyką, retoryką, logiką. Jako część logiki uprawiane były przez Arystotelesa w traktacie o zdaniach (De interpretatione) i w Analitykach wtórych, zaś w kompediach średniowiecznych jako rozdział Proprietates termino­rum. W czasach nowożytnych semantyka również była uprawiana na użytek zagadnień filozoficznych, zwłaszcza teoriopoznawczych. Przykładem - cz. III Rozważań Locke'a lub obszerne partie Logische Untersuchungen Husserla. W XX w. pojawia się kierunek zwany filozofią analityczną, koncentrujący się na problemach językowych (Analiza logiczna), m.in. na problemach semantycznych.

W pracach logików z zakresu semantyki zaznaczają się dwa kierunki: semantyka opisowa, inaczej empiryczna, koncentruje się na zastanych językach naturalnych (Mill, Moore, Filozofia Oksfordzka); semantyka teoretyczna lub czysta, bada języki sztuczne (niekiedy skonstruowane przez samego badacza dla celów analizy), stosując metody dedukcyjne (Carnap, Church, Gödel, Tarski i in.).

Carnap wyróżnia dwie metody uprawiania semantyki teoretycznej. Jedna, stosowana przez ogół logików, polega na rozpatrywaniu funkcji semantycznych wyrażeń, jako stosunków zachodzących między tymi wyrażeniami a jakimiś przedmiotami spoza języka (zgodnie z Morrisa definicją semantyki). Druga metoda, której autorem jest Carnap, polega na takim definiowaniu funkcji semantycznych wyrażeń, że pomija się odniesienie do jakichkolwiek przedmiotów pozajęzykowych.

Również pod nazwą semantyki, jako tzw. semantyka ogólna (ang. general semantics) rozwija się pewna koncepcja semantyczno-socjologiczna, której inicja­torem był w latach dwudziestych w USA A. Korzybski. Używając terminologii Morrisa, należałoby ten kierunek zaliczyć raczej do pragmatyki, zarówno z racji jego głównych problemów (ulepszanie stosunków między ludźmi przez ulepszanie języka), jak i z racji powiązań z socjologią, psychologią, psychoterapią.

II. SEMIOTYKA (ang. semiotics). Ogólna teoria znaków, ze szczególnym uwzględ­nieniem znaków tworzących język, czyli wyrażeń. Semiotyka dzieli się na trzy działy: semantykę, pragmatykę i syntaktykę. Podstawą tego podziału, pochodzącego od Morrisa, jest rodzaj stosunków, w jakich uczestniczą znaki.

1. Semantyka opisuje stosunki zachodzące między znakami, a rzeczywistością, do której znaki się odnoszą: oznaczanie, denotowanie, prawdziwość, itp.

2. Pragmatyka opisuje stosunki zachodzące między znakami, a tymi, którzy te znaki nadają lub odbierają. Należą tutaj stosunki stwierdzania, rozumienia, komunikowania i in. Pragmatyka może być uprawiana jako jedna z nauk o ludzkim zachowaniu; posiada wówczas wiele zagadnień wspólnych z innymi naukami o za­chowaniu, takimi jak psychologia, socjologia, historia kultury. Tak pojęta pragmatyka jest nauką empiryczną. Istnieją także próby budowania pragmatyki jako nauki formalnej.

3. Syntaktyka (gr. syntaksis - porządek, szyk; syntaktikos - porządkujący; syntasein - porządkować, układać) opisuje stosunki zachodzące między znakami wewnątrz języka. Przedmiotem syntaktyki są te stosunki wewnątrzjęzykowe, które mają charakter formalny, tj. takie, że aby je stwierdzić, nie trzeba znać znaczenia wyrażeń. Toteż znając reguły konstruowania wyrażeń, możemy ocenić poprawność każdego zwrotu, nawet gdy nie znamy jego znaczenia. Podobnie, stosując reguły przekształcania wyrażeń (np. podstawiania, odrywania itp.), możemy otrzymywać nowe wyrażenia z wcześniej przyjętych, nie wiążąc z nimi żadnego znaczenia.

III. Podstawowe pojęcia semiotyki

1. ZNAK (ang, sign, niem. Zeichen).

(1) x jest znakiem dla członków grupy G, gdy x jest przedmiotem spostrzegalnym zmysłowo, przy czym między członkami grupy G istnieje umowa, wyraźna lub domyślna, ustanawiająca między x i jakimś przedmiotem y stosunek szeroko pojętego oznaczania (Oznaczanie - (2)). Np. ruch milicjanta oznacza zakaz przejazdu, napis "sklep" oznacza sklep, itp. Oznaczanie jako stosunek między nazwą a jej desygnatami jest szczególnym przypadkiem tak pojętego oznaczania.

Warunek przyporządkowania x do y w drodze umowy jest warunkiem koniecznym bycia znakiem w omawianym sensie. Innego rodzaju relacje, np. stosunek przyczynowy, stosunek bycia objawem, choć podobne do relacji oznaczania w tym, że jakieś zdarzenie lub rzecz kieruje myśl ku innemu zdarzeniu lub rzeczy, nie upoważniają do nazywania jednego z członów stosunku mianem znaku; właściwym terminem może tu być "oznaka", "wskaźnik", itp. (np. gorączka jest oznaką stanu zapalnego).

Znak może być pojmowany jako pojedynczy konkretny przedmiot, zlokalizowany w czasie i przestrzeni (ang. sign-token, sign-event) lub jako klasa konkretnych znaków takich samych (w praktyce: prawie takich samych), co do kształtu (ang. sign-design). W pierwszym przypadku mówi się o znakach-egzemplarzach, w drugim o znakach-typach.

Sposób funkcjonowania znaku jest przedmiotem dwóch teorii: asocjacyjnej oraz teorii intencji znaczeniowej. Ta ostatnia, powszechnie obecnie przyjmowana, przypisuje znakom tzw. przezroczystość semantyczną, tj. własność polegającą na tym, że znak kieruje uwagę ku temu, co oznacza, nie zatrzymując uwagi na sobie.

(2) Oprócz powyższego istnieje szersze pojęcie znaku, obejmujące oprócz znaków (1), czyli konwencjonalnych także to, co zostało wyżej określone jako wskaźniki lub oznaki. Do tego dołącza się, jako trzecią odmianę, znaki ikoniczne - pełniące funkcję znaku na zasadzie podobieństwa do rzeczy oznaczanej (fotografia, makieta itp.). Rozpowszechnione w mowie potocznej pojęcie znaku przypomina najbardziej to szerokie pojęcie (2).

Wedle jeszcze innej propozycji terminologicznej (zob. Kotarbińska) zamiast "znak" (2) należałoby mówić "oznaka", przy czym odróżniałoby się oznaki ze względu na więź przyrodzoną (czyli oznaki z punktu (1)) oraz oznaki ze względu na więź konwencjonalną, tj. znaki w sensie (1), zatem konwencjonalne, czyli, jak mówi się również, symboliczne.

2. OZNAKA (symptom, objaw, wskaźnik; niem. das Anzeichen). Rzecz (zjawisko) x jest oznaką rzeczy (zjawiska) y, gdy z obecności x można wnosić o obecności y, przy czym związek zachodzący między x i y jest więzią naturalną, a nie konwencjonalną. W przypadku więzi konwencjonalnej, tj. ustanowionej na drodze umowy, mówi się (najczęściej), że x jest znakiem y. Przykłady: dym jako oznaka ognia, pewien rodzaj ruchów ciała jako oznaka gniewu, gorączka jako oznaka choroby.

3. IMIĘ WŁASNE

N jest imieniem własnym, gdy N pełni funkcję nazywania lub wskazywania jakiegoś indywiduum, w celu wyróżnienia go spośród innych. Imionami własnymi są wyrażenia okazjonalne jak np. zaimki wskazujące „ten”, „to” itd. oraz wyrażenia, jak „Jan”, „Kowalski” itp. o ile stosuje się je do jednej tylko osoby.

4. NAZWA

Dane wyrażenie jest nazwą, gdy jest stałą indywiduową lub orzecznikiem jednoargumentowym.

Podział nazw

ze względu na liczbę desygnatów:

nazwa pusta - nie posiada desygnatów, czyli realnie istniejących przedmiotów określanych tą nazwą;

nazwa jednostkowa - to nazwa posiadająca jeden desygnat;

nazwa ogólna - to nazwa posiadająca więcej niż jeden desygnat;

ze względu na nadawanie się nazwy tylko na podmiot, czy też na orzecznik:

nazwy indywidualne - np. „Brutus”, „Dawid” mogą być tylko podmiotami zdań

nazwy generalne - np. „człowiek”, „zabójca Cezara” mogą być również orzecznikami

5. OZNACZANIE

(1) Stosunek nazwy do desygnatów; nazwa oznacza każdy ze swych desygnatów, czyli każdy przedmiot, o którym można tę nazwę - przy danym jej znaczeniu -zgodnie z prawdą orzec. Np. słowo "żołnierz" oznacza każdego z żołnierzy, słowo "niebieski" oznacza każdy przedmiot niebieski, itd. Zamiast "oznaczanie" (1) mówi się też "desygnowanie". Oznaczanie jest funkcją wszystkich nazw z wyjątkiem nazw pustych; przy pewnym założeniu również z wyjątkiem nazw indywidualnych, którym przypisuje się wówczas - w miejsce oznaczania - funkcję nazywania.

(2) Jakiekolwiek odnoszenie się znaku do rzeczywistości, której ten znak dotyczy. Termin "oznaczanie", tak rozumiany, odpowiada angielskiemu terminowi "reference", dla którego nie ma poza tym odpowiednika w polskiej terminologii semantycznej (jeśli nie brać pod uwagę potocznych wyrażeń, takich jak "odnosić się" lub "dotyczyć").

6. ZNACZENIE (sens; ang. meaning, sense, niem. Bedeutung, Sinn,). Pojęcie znaczenia należy do centralnych w semantyce i metodologii, wiążąc się z takimi problemami, jak zagadnienie intensjonalności, sensowności empirycznej, zdań analitycznych, konwencjonalizmu i in. Pojęcie to występuje również w innych dyscyplinach: językoznawstwie, filozofii, psychologii. Analiza pojęcia znaczenia polega m. in. na zaliczeniu znaczenia do jednej z dziedzin, takich jak: (1) sfera zjawisk psychicznych lub (2) przedmiotów fizycznych, lub (3) przedmiotów abstrakcyjnych, lub (4) samego języka, lub (5) stosunków między ludźmi, językiem a rzeczywistością zewnętrzną. Ten nasuwający się a priori podział różnych ujęć został istotnie zrealizowany w dziejach pojęcia znaczenia.

(1) Znaczenie jako idea skojarzona ze słowem. Wg teorii zwanej asocjacjonistyczną znaczeniem wyrazu jest pewne przedstawienie (inaczej: idea) powiązane z dźwiękiem lub kształtem słowa na zasadzie praw kojarzenia. "Przez ustawiczne powtarzanie powstaje tak ścisłe powiązanie między określonymi dźwiękami i odpowiadającymi im ideami, że nazwy, skoro tylko się je usłyszy, prawie tak samo szybko wywołują pewne idee, jak gdyby faktycznie pobudzały zmysły te właśnie rzeczy, które zdolne są je wywołać" (Locke, Rozważania dotyczące rozumu ludzkiego, t. 2 ks. 3 r. 2 par. 6).

Pogląd ten w ściślejszym sformułowaniu Ajdukiewicza posługuje się zwrotem "typ myśli", ponieważ nie jest intencją asocjacjonizmu mówienie o czyichś indywidualnych jednorazowych przedstawieniach, ale o tym, co jest wspólne pewnej klasie indywidualnych przedstawień wywoływanych przez dźwięk lub napis określonego rodzaju; klasę podobnych przedstawień nazywa się typem myśli, zaś klasę podobnych co do kształtu wyrażeń typem wyrażenia. Uściślona definicja brzmi: "Typ myśli M stanowi znaczenie językowe wyrażeń typu W w języku J wtedy i tylko, gdy: 1° wyrażenia o typie W należą do zasobu języka J, 2° dowolna osoba X używa wyrażenia A będącego typu W jako wyrażenia języka pod tym i tylko pod tym warunkiem, że a) typ myśli, polegających na doznawaniu treści zmysłowej właściwej wyrażeniom typu W, jest w umyśle osoby X skojarzony... z typem myśli M, b) myśl będąca doznaniem treści zmysłowej właściwej wyrażeniu A jest zarazem myślą typu M" (Ajdukiewicz, 1930, s. 119). Koncepcja ta spotyka się z zarzutem, że nawet po jej uściśleniu podstawowy dla niej zwrot "typ myśli" pozostaje zbyt ogólnikowy, nie dostarczając kryterium do rozstrzygania, kiedy dwa wyrażenia wiążą się z tym samym typem myśli, tj. kiedy są równoznaczne.

(2) Znaczenie jako konotacja. Znaczenie pojęte jako konotacja przysługuje jedynie nazwom, nie będącym przy tym imionami własnymi. Przez konotację rozumie się zespół cech charakterystycznych dla zakresu danej nazwy, za pomocą którego myślimy o jej desygnatach. Np. gdy myślimy o desygnatach nazwy "brzoza", to przedstawiamy sobie te cechy, które, razem wzięte, charakteryzują wszystkie brzozy i tylko brzozy, a więc cechę bycia drzewem w połączeniu z charakterystyczną bielą kory, z takim a nie innym kształtem liści, układem gałęzi, itd.

Bywa, że nazwy o tym samym zakresie różnią się konotacją. Np. nazwy "żona Zygmunta Starego" i "matka Zygmunta Augusta" mają ten sam zakres, którego jedynym elementem jest królowa Bona, konotacje jednak są różne, bo używając pierwszej nazwy myślimy o Bonie za pomocą cechy bycia żoną (tj. przedstawiając sobie jakoś tę cechę), przy drugiej zaś nazwie myślimy o Bonie za pomocą cechy bycia matką.

Określając znaczenie jako konotację, czyli jako zbiór cech właściwych desygnatom nazwy, umieszcza się je w tej samej, co desygnaty, dziedzinie - w sferze przedmiotów realnych, a przy tym pozajęzykowych i pozapsychicznych.

(3) Znaczenie jako przedmiot idealny. Koncepcja ta, podobnie jak poprzednia, umieszcza znaczenie poza językiem i poza umysłem, ale przypisuje mu charakter przedmiotu idealnego (inaczej: abstrakcyjnego), do którego nie stosują się określenia przestrzenno-czasowe (właściwe przedmiotom materialnym); za przedmioty tego rodzaju uważa się zbiory w sensie dystrybutywnym, liczby, twory geometryczne itp. W rozwoju tej koncepcji rysują się dwa wątki: filozoficzny, w systemach Meinonga, Husserla i in., oraz logiczno-semantyczny, w teoriach Fregego i Churcha.

(3a) Pojęcie przedmiotu idealnego wyjaśnia się m. in. dzięki rozważaniom próbującym uzasadnić tezę o istnieniu takich przedmiotów. Niech rozważanym obiektem będzie liczba 4. O liczbie tej można wygłaszać twierdzenia prawdziwe (np. 4 =2²), jak i fałszywe. Według klasycznej teorii prawdy prawdziwość polega na zgodności twierdzenia z rzeczywistością. Jeśli zatem o liczbie 4 da się powiedzieć coś prawdziwego, należy ona do jakiejś rzeczywistości. Nie jest to jednak rzeczywistość fizykalna ani psychiczna; stanowi ona zatem jakąś trzecią dziedzinę, którą zwykło się nazywać dziedziną przedmiotów idealnych lub abstrakcyjnych. Te same argumenty przemawiają na rzecz umieszczenia znaczeń w świecie idealnym. O znaczeniu dowolnego wyrażenia można powiedzieć coś prawdziwego (np. że nie jest ono identyczne ze znaczeniem jakiegoś innego wyrażenia), a więc zgodnego z rzeczywistością. Nie sposób jednak uważać, że tą rzeczywistością jest sfera zjawisk fizycznych lub psychicznych. Musi to być zatem dziedzina przedmiotów idealnych (przeciwnicy tego stanowiska odpowiadają propozycją, by zwroty zawierające słowo

"znaczenie" traktować jako skróty takich zwrotów, w których to słowo już nie występuje, przez co upadałaby przytoczona wyżej argumentacja).

Teoria znaczenia jako przedmiotu idealnego wiązała się u Husserla z teorią tzw. intencji znaczeniowej. Husserl przyjął (za Brentanem), że charakterystyczną cechą aktów psychicznych jest ich intencjonalność, czyli skierowanie na jakiś przedmiot: spostrzegamy coś, kochamy coś, pragniemy czegoś. Również akt będący rozumieniem znaku kieruje się ku czemuś, co nazywa się znaczeniem i jest przedmiotem o charakterze idealnym. Akt ujmowania znaczenia otrzymał u Husserla nazwę intencji znaczeniowej (niem. Bedeutungsintention; łac. intendo - kieruję ku czemuś).

(5) Znaczenie jako sposób użycia wyrażenia. Idea, żeby definiować znaczenie jako sposób użycia wyrażenia, pochodzi od Wittgensteina i jego kontynuatorów oraz (niezależnie) od Ajdukiewicza. Wiąże się ona także z neopozytywistyczną koncepcją znaczenia zdania jako sposobu weryfikacji.

(5a) Wittgenstein przyrównuje wyrażenia do narzędzi, a znaczenia wyrażeń do funkcji pełnionych przez narzędzia. Znać znaczenie zdania, to wiedzieć, jak go używać, czyli wiedzieć, w jakich okolicznościach jego użycie jest poprawne, a w jakich niepoprawne. Zdanie coś znaczy, jeśli istnieje sposób posłużenia się nim (ang. if it has a use). Uczenie się znaczeń odbywa się metodą treningu prowadzącego do powstania pożądanej dyspozycji, nie zaś metodą wyjaśnień: ten nauczył się słowa "cegła" kto reaguje na to słowo w sposób właściwy, np. podając cegłę na żądanie. Nie jest natomiast konieczne (wbrew twierdzeniu asocjacjonizmu), by na słowo "cegła" reagować przedstawieniem sobie cegły. Wszystkie narzędzia służą do wywoływania zmian w przedmiotach; słowa są narzędziami służącymi do wywoływania zachowań, czyli pewnych zmian w organizmach.

Pozostaje wreszcie wspomnieć o najszerszym pojęciu znaczenia, które nie zostało uwzględnione w powyższym przeglądzie, ponieważ prawie nie występuje w piśmiennictwie polskim. Występuje natomiast w angielskim, gdzie jeden z odpowiedników słowa "znaczenie", mianowicie "meaning", oznacza niekiedy wszelką funkcję semantyczną, jak oznaczanie, denotowanie, konotowanie etc.

7. ZNACZENIE WYRAŹNE

Wyrażenie, które jest zrozumiałe dla pewnej osoby może mieć dla niej bądź znaczenie wyraźne, bądź znaczenie intuicyjne. Wyrażenie ma dla danej osoby w danym czasie znaczenie wyraźne, gdy - skrótowo mówiąc - osoba ta potrafi w owej chwili objaśnić znaczenie tego wyrażenia. Jeśli natomiast dana osoba w danym czasie potrafi tylko używać wyrażenia, nie umiejąc objaśnić jego znaczenia, to mówimy, że wyrażenie to ma wówczas dla tej osoby znaczenie intuicyjne. Np. w przypadku nazw rozróżnienie to przedstawia się następująco: Nazwa jakaś ma znaczenie wyraźne dla danej osoby wówczas, gdy osoba ta potrafi sformułować układ postulatów znaczeniowych charakterystyczny dla tej nazwy w odnośnym języku (w szczególności - definicję analityczną). Ma natomiast znaczenie intuicyjne dla danej osoby, gdy osoba ta potrafi orzec tę nazwę o wszystkich jej desygnatach i tylko o nich, a zarazem nie potrafi sformułować układu postulatów, charakterystycznego dla tej nazwy w odnośnym języku. Tak np. nazwa "człowiek arogancki" jest zrozumiała dla ogółu osób mówiących po polsku, bowiem łatwo takiego człowieka się rozpoznaje, natomiast o wiele trudniej zdać sprawę z tego, co ta nazwa znaczy, a więc sformułować postulaty ustalające konotację tej nazwy. Istnieją więc wyrażenia, które się rozumie, ale nie w sposób wyraźny; są to właśnie wyrażenia, które rozumie się intuicyjnie.

8. DENOTACJA

(1) Zakres nazwy - (1), czyli zbiór jej desygnatów, (również przeszłych lub/i przyszłych). Denotacją np. nazwy "dąb" jest zbiór przedmiotów złożony z dębów i tylko z dębów (istniejących aktualnie lub możliwych). Denotacją nazwy "liczba naturalna" jest zbiór liczb: 1, 2, 3, etc. Jest to węższe pojęcie denotacji, przy którym przysługuje ona tylko nazwom i to niekoniecznie wszystkim (pewne teorie odmawiają denotacji imionom własnym). To pojęcie denotacji oddawane jest także słowem "zakres" (ang. denotation, extension; niem. Ausdehnung, Extension).

(2) Klasa wszystkich (i tylko) istniejących aktualnie desygnatów nazwy. To pojęcie denotacji (ang. denotation) pochodzi od Lewisa. Jest ono mało rozpowszechnione, ale zasługuje na uwagę jako propozycja odróżniania zbioru aktualnie istniejących desygnatów nazwy od zbioru jej desygnatów możliwych, tj. bądź zrealizowanych, bądź mogących dostąpić realizacji. Ten ostatni, tj. zbiór desygnatów możliwych określił Lewis mianem (ang.) comprehension. Nazwy puste, lecz niesprzeczne (np. syn Kopernika) mają denotację zerową, ale nie zerową 'comprehension', odpowiada im bowiem niepusta klasa przedmiotów możliwych. Nazwy sprzeczne natomiast, takie np. jak "syn bezdzietnych rodziców", mają nie tylko zerową denotację, ale i zerową 'comprehension', ponieważ nie odnoszą się do przedmiotów możliwych.

(3) Przedmiot dowolnego typu, tj. niekoniecznie klasa, jak w (1) lub (2), do którego odnosi się wyrażenie z odpowiedniej do danego typu kategorii semantycznej.

a) Denotacją nazwy jednostkowej nie będącej predykatem jest indywidualny przedmiot określany daną nazwą; np. denotacją imienia własnego "Bertrand Russell" jest osoba B. Russella.

b) Denotacją predykatu jest klasa przedmiotów, o których można ten predykat zgodnie z prawdą orzec. Denotacją np. predykatu jednoargumentowego "żyje" jest klasa istot żyjących, denotacją predykatu "filozof" (dokładniej: "jest filozofem") stanowi klasa filozofów. Denotacją predykatu dwuargumentowego, np. "rządzi" jest stosunek rządzenia, czyli - wg teoriomnogościowej koncepcji stosunku - klasa par x, y takich, że x rządzi y.

c) Denotacją zdania jest jego wartość logiczna, czyli prawdziwość lub fałszywość. Określenie (3) miewa też inne warianty, w zależności od różnych modyfikacji

punktu c), który jest najbardziej kontrowersyjny. Ujęcie c) pochodzi od Fregego, rozwijane jest przez Churcha, w piśmiennictwie polskim zob. Kokoszyńska.

Szerokiemu pojęciu denotacji (3) odpowiadają terminy ang. denotation (Church i in.) i reference (Quine i in.), niem. Bedeutung (Frege).

9. DENOTOWANIE

Stosunek zachodzący między wyrażeniem a jego denotacją w sensie (1) lub (2), lub (3). W literaturze angielskiej wystąpiły poza tym dwa inne pojęcia denotowania, o znaczeniu już dzisiaj głównie historycznym. Mill nazywał denotowaniem (ang. denoting) stosunek między nazwami (nie wyłączając imion własnych) a ich poszczególnymi desygnatami, a więc to, co w polskiej terminologii nosi najczęściej miano oznaczania lub desygnowania (w wypadku imion własnych - nazywania). Russell rozumiał przez denotowanie (denoting) nie relację wyrażenia do jakiegoś przedmiotu, ale charakterystyczną własność pewnych wyrażeń zwanych niezupełnymi (ang. incomplete symbols), tj. wyrażeń nie mających znaczenia poza kontekstem. Takimi są, wg Russella, symbole klas i deskrypcje.

10. DESKRYPCJA

Odróżnia się za B. Russellem deskrypcje określone (ang. definite descriptions) i deskrypcje nieokreślone (ang. indefinite descriptions). Pierwsze, to wyrażenia różne od imion własnych, mające nie więcej niż jeden desygnat; drugie, to wyrażenia mogące mieć więcej niż jeden desygnat. Rozróżnienie to wprowadził Russell dla celów analizy języka naturalnego (deskrypcje określone odpowiadają w języku angielskim zwrotom z przedimkiem określonym "the", zaś deskrypcje nieokreślone odpowiadają zwrotom z przedimkiem "a"); dla konstrukcji pojęć ma­tematycznych korzysta się u Russella jedynie z pojęcia deskrypcji określonej. Przy­kłady deskrypcji określonych: Najwyższy szczyt Alp, obecna królowa Anglii, autor Klubu Pickwicka (dokładniej : jedyny człowiek będący autorem Klubu Pickwicka). Przykłady deskrypcji nieokreślonych: Jakiś szczyt Alp, jeden z synów Kazimierza Jagiellończyka, pewien człowiek. Symbol deskrypcji określonej, używany przez Peano, Russella i innych, ma postać: ({x)(fx); znak "{" wiążący zmienną x jest na­zywany operatorem deskrypcyjnym, a nazywany jota-operatorem. Cały ów zwrot odczytuje się: Takie jedyne x, które ma własność F (np. tę własność, że jest najwyższym szczytem Alp). Symbol deskrypcji nieokreślonej, używany przez Hilberta i Bernaysa, a także Reichenbacha, ma postać: (ηx)(Fx) - jest to tzw. eta-operator. Zwrot ten można odczytywać: Jakieś x, które ma własność F.

11. DESYGNAT

Desygnatem nazwy N języka J, przy pewnym jej znaczeniu, jest każdy przedmiot, o którym można ją zgodnie z prawdą orzec. Desygnatem nazwy "człowiek" jest np. Platon, ponieważ o Platonie orzeka się prawdziwie, że jest człowiekiem. Stosunek nazwy do jej desygnatów nazywa się oznaczaniem lub desygnowaniem. Zbiór wszystkich desygnatów nazwy, przy danym jej znaczeniu, stanowi denotację, czyli zakres tej nazwy (gdy nazwa jest wieloznaczna, ma więcej niż jeden zakres). Jeśli przyjmie się tak szerokie pojęcie zakresu, że utożsamia się ono z pojęciem denotacji - (3), to desygnowanie przysługuje nie tylko nazwom, lecz również wyrażeniom z innych kategorii semantycznych; np. desygnatem wyrażenia "rządzi" będzie każda taka para przedmiotów x, y, o której prawdą jest, że x rządzi y-em.

12. DESYGNOWANIE

Stosunek zachodzący między nazwą a jej desygnatem. Słowo to bywa używane zamiennie ze słowem "oznaczanie". Funkcji desygnowania pozbawione są nazwy puste.

13. KONOTACJA (ang. connotation)

Dla określenia pojęcia konotacji pomocne jest pojęcie treści charakterystycznej nazwy, które określa się następująco: T r e ś ć c h a r a k t e r y s t y c z n a nazwy N jest to zespół cech taki, że przysługuje wszystkim desygnatom nazwy N i tylko im.

Treść charakterystyczna nazwy N jest k o n o t a c j ą (inaczej - treścią językową) tej nazwy, gdy każdy poinformowany o tym, że jakiś przedmiot ma wszystkie cechy w owej treści zawarte, może trafnie rozstrzygnąć, czy dany przedmiot jest desygnatem nazwy N.

Rozumie się, że ów "każdy" wymieniony w powyższym określeniu, to każdy, kto zna i stosuje umowy językowe tego języka, do którego należy rozpatrywana nazwa N.

Przykład: Ktoś, komu zakomunikowano, że pewna figura da się wpisać w koło, ma boki parami równoległe i dwie prostopadłe przekątne, nie potrafi odpowiedzieć, czy ta figura jest kwadratem. Widać z tego, że nie zna on treści charakterystycznej nazwy "kwadrat"; nie wynika stąd jednak, że nie zna treści językowej, czyli konotacji tej nazwy. Gdyby potrafił zidentyfikować kwadrat np., na podstawie cech równoboczności i prostokątności, dałby tym dowód, że rozumie słowo "kwadrat" zgodnie z jego znaczeniem w języku polskim, a więc zna konotację tego słowa.

Pojęcie konotacji wprowadził J. S. Mill jako eksplikację bardziej potocznego zwrotu "znaczenie nazwy" (ang. meaning). W polskiej literaturze logicznej utożsamienie konotacji i znaczenia (w odniesieniu do nazw) znajduje się w Elementach Kotarbińskiego i innych pracach tego autora. Na gruncie natomiast teorii znaczenia K. Ajdukiewicza odróżnia się znaczenie nazwy, pojęte jako sposób posługiwania się nią przez ludzi (a więc pragmatycznie) od konotacji nazwy jako czegoś obiektywnego, znajdującego się w przedmiotach pozajęzykowych, do których język się odnosi.

14. KONOTOWANIE (współoznaczanie)

Stosunek zachodzący między nazwą a pewnym zespołem cech charakteryzującym desygnaty tej nazwy i zwanym konotacją. Można też podać bezpośrednie określenie konotowania, takie jak to, które proponuje Ajdukiewicz, parafrazując odpowiedni tekst Milla: Cechy Cl, C2, ... Cn są k o n o t o w a n e przez nazwę N, to tyle co: nazwę N stosujemy do indywidualnych przedmiotów dlatego, że przedmioty te posiadają powyższe cechy i w tym celu, by to zaznaczyć. Ta intencja zaznaczenia wyróżnia treść językową od treści charakteryzowanej (wymienianej w określeniu konotacji).

Przykład: Nazwa "willa" konotuje cechę bycia domem o pewnych znamionach wygody, estetyki lub luksusu, ponieważ stosujemy ją do różnych obiektów z racji posiadania przez nie tej cechy. Obiekty te mogą mieć jeszcze inne charakterystyczne dla siebie cechy, np. podleganie określonym przepisom prawnym, ale ponieważ słowa "willa" nie używamy ze względu na te cechy, nie są one tym, co słowo to konotuje. Konotacja wielu nazw prostych bywa niewyraźna i trzeba ją znajdować, z ryzykiem błędu, przez śledzenie sposobu używania nazwy. Inaczej ma się sprawa z nazwami złożonymi lub wprowadzonymi definicyjnie przy pomocy nazw złożonych. Tak np. nazwa "kserofit” definiowana jest zwrotem "roślina odporna na suszę", konotuje więc cechy: roślinność, odporność na suszę.

15. SENS (ang. sense, niem. Sinn)

Najczęściej „sens” to tyle, co „znaczenie”.

16. SENSOWNOŚĆ (ang. meaningfulness, significance)

W jest wyrażeniem sensownym języka J wtedy i tylko, gdy spełnia jeden z dwóch warunków: 1° W jest wyrażeniem prostym, czyli wyrazem należącym do zasobu leksykalnego, czyli słownika języka J, lub 2° W jest wyrażeniem złożonym, którego proste składniki spełniają warunek l, całość zaś jest spójna syntaktycznie, czyli zbudowana zgodnie z regułami składni języka J.

Tak określone pojęcie sensowności należy do syntaktyki języka. Jest też w obiegu semantyczne pojęcie sensowności, której ważną odmianą jest sensowność empiryczna.

17. ABSURD

Wyrażenie wewnętrznie sprzeczne (tj. podpadające pod schemat "p i nie-p", "Istnieje takie x, że x jest A oraz x nie jest A", itp.), ewentualnie dające się na takie przekształcić przy pomocy reguł wnioskowania. Tak np. ze zdania "Jan jest synem bezdzietnej matki" wynika zdanie "Pewna kobieta jest matką i nie jest matką". Od tak pojętego absurdu odróżnia się nonsens jako wyrażenie nieskładne. Absurd jest wyrażeniem sensownym; w przeciwnym wypadku nie można by stwierdzić zachodzenia sprzeczności.

18. NONSENS

(1) Układ wyrazów U jest nonsensem (ze względu na język J), gdy jest ciągiem wyrazów zbudowanym niezgodnie z regułami składni języka J, czyli niespójnym syntaktycznie. Przykład: Róża lub leży. Nonsens, czyli wyrażenie nonsensowne (ang. meaningless, niem. sinnlos) nazywa się też wyrażeniem bezładnym semantycznie.

(2) Słowa "nonsens" używa się też niekiedy w znaczeniu absurd, czyli "wypowiedź wewnętrznie sprzeczna", np.: Jan jest żonatym człowiekiem stanu wolnego. Żaden absurd nie jest nonsensem w znaczeniu (1), bo aby wyrażenie mogło być sprzeczne, musi być poprawnie zbudowane pod względem składniowym.

(3) Wyrażeniem bezsensownym (ang. meaningless) nazywa się też, w terminologii neopozytywizmu, wyrażenie pozbawione sensu empirycznego, czyli nie spełniające warunków sensowności empirycznej.

(4) Dyskutowaną grupę stanowią wyrażenia w rodzaju "Cezar jest liczbą pierwszą" lub "Cebula pachnie niebiesko". Ulegają tu pomieszaniu pewne kategorie, które odróżniamy intuicyjnie, ale które nie są uwzględniane w wykazie kategorii semantycznych języka; stąd niemożność wykazania bezładu semantycznego. Gdyby odpowiednio uzupełnić listę kategorii, to - według jednego stanowiska - można by zdać sprawę z intuicyjnie dostrzeganego bezsensu. Innym rozwiązaniem jest propozycja uważania tego rodzaju zdań za fałszywe.

Ćwiczenia

I. konwersja i obwersja - ĆWICZENIA KONSTRUKCYJNE

1. Dokonaj konwersji i obwersji poniższych zdań

Każdy człowiek jest śmiertelny.

Każdy człowiek ma matkę.

Każdy rekin jest rybą.

Każdy komputer jest urządzeniem elektronicznym.

Każda gruszka jest owocem.

Każda kanapa ma sprężyny.

Każda róża jest kwiatem.

Każda wiewiórka skacze po drzewach.

Pewne istoty dwunożne są ludźmi.

Niektóre akwarele są bardzo cennymi obrazami.

Pewne rośliny mają 180 cm długości.

Pewne króliki są miniaturowe.

Niektóre owoce są słodkie.

Pewne słowa są niestosowne.

Niektóre psy reagują na komendy.

Pewne myśli są zabawne.

Niektórzy studenci są sportowcami.

Niektóre studentki są zapalonymi wędkarzami.

Żaden niedźwiedź nie jest pingwinem.

Żadna niewiasta nie jest wiedźmą.

Żaden kamień nie potrafi płakać.

Żaden skutek nie jest bez przyczyny.

Żadna wróżba nie jest zdaniem mówiącym o konieczności.

Żaden student nie jest niemowlęciem.

Żaden słoń nie jest skowronkiem.

Żadne jagnię nie jest cielęciem.

Żadna liczba nieparzysta nie jest liczbą parzystą.

Pewne wiewiórki nie są rude.

Niektórzy minstrele nie byli rycerzami.

Niektóre wdowy nie są mężatkami.

Niektórzy kawalerowie nie są kibicami piłkarskimi.

Niektóre liczby nie są parzyste.

Pewne mrówki nie są pracowite.

Niektóre opinie obiegowe nie są przesądami.

Pewne sny się nie spełniają.

Niektóre krokodyle nie są aligatorami.

Niektóre rośliny nie są wysokie.

2. Ćwiczenia w analizie prawdziwości i fałszywości zdań

Sprawdź prawdziwość lub fałszywość wnioskowania metodą konwersji

Przesłanka prawdziwa:

1. Każdy człowiek jest śmiertelny.

2. Niektórzy studenci są sportowcami.

3. Żadna liczba nieparzysta nie jest liczbą parzystą.

4. Pewne wiewiórki nie są rude.

Określ wartość wniosku: prawda czy fałsz

Przesłanka fałszywa:

1. Każdy pingwin jest gadem.

2. Niektórzy studenci mają wykształcenie średnie niepełne.

3. Żadna roślina nie jest rzeczą kolorową.

4. Pewne wiewiórki nie są ssakami.

Określ wartość wniosku: prawda czy fałsz

3. Sprawdź prawdziwość i fałszywość wnioskowania metodą obwersji

Przesłanka prawdziwa:

1. Każdy człowiek jest śmiertelny.

2. Niektórzy studenci są sportowcami.

3. Żadna liczba nieparzysta nie jest liczbą parzystą.

4. Pewne wiewiórki nie są rude.

Określ wartość wniosku: prawda czy fałsz.

Przesłanka fałszywa:

1. Każdy pingwin jest gadem.

2. Niektóre delfiny są gadami.

3. Żadna roślina nie jest rzeczą kolorową.

4. Pewne wiewiórki nie są ssakami.

Określ wartość wniosku: prawda czy fałsz

II. Ćwiczenia do opozycji zdań

1. Podaj jakie są wartości prawda/fałsz zdań SaP, SeP, SiP, SoP przy założeniu, że:

1. ~SaP - czytaj SaP jest fałszywy

2. ~SiP

3. ~SoP

4. ~SeP

2. Podaj wartości zdań w nawiasach przy założeniach (być może niektóre układy nie są możliwe):

1. (SeP) - ~SaP, SiP (czytaj SoP prawdziwy)

2. (SeP) - ~SaP, ~SiP

3. (SeP) - SaP, SiP

4. (SaP) - ~SeP, SoP

5. (SaP) - ~SeP, ~SoP

6. (SaP) - SeP, SoP

7. (SiP) - ~SaP, ~SeP, ~SoP

8. (SiP) - SaP, ~SeP, ~SoP

9. (SiP) - ~SaP, SeP, SoP

10. (SiP) - SaP, SeP, ~SoP

11. (SiP) - ~SaP, ~SeP, SoP

12. (SoP) - SaP, SeP, ~SiP

13. (SoP) - ~SaP, SeP, SiP

14. (SoP) - SaP, ~SeP, SiP

15. (SoP) - SaP, ~SeP, ~SiP

3. Podaj zdania sprzeczne, podprzeciwne i nadrzędne dla poniższych zdań:

1. Pewien krokodyl jest aligatorem.

2. Pewne róże nie są czerwone.

3. Pewne drzewa tracą liście na zimę.

4. Pewne gruszki nie rosną na wierzbie.

4. Dokonaj przekładu zdań języka potocznego na zdania kategoryczne (czyli posiadające określenia ilościowe). Czy wszystkie mają jedną interpretację?

1. Ludzie są wredni.

2. Politycy kłamią.

3. Bywają uczciwi politycy.

4. Chłopcy z IIB zrobili ciekawe przedstawienie.

5. Małe dziewczynki lubią lalki.

6. Niekiedy są słoneczne dni.

7. Czasem klienci kupują bez umiaru.

III. Zastosowanie konwersji, obwersji i opozycji zdań

Ćwiczenie z „Introduction to Logic” I. M. Copi, p. 188-189.

Zdanie „Pewni święci byli męczennikami” jest prawdziwe. Co można wyprowadzić z poprzedniego zdania, jeśli chodzi o prawdziwość lub fałszywość zdań od 1 do 31?

Zastosuj prawa konwersji, obwersji, i opozycji.

Niektóre zdania mogą nie wynikać ze zdania wyjściowego, niektóre zaś mogą wynikać w sposób nieokreślony (tak jak prawdziwość lub fałszywość zdań SaP z prawdziwości zdań SiP). Uwaga! Nie interesuje nas prawdziwość czy fałszywość zdań, które nie pozostają w związku wynikania bezpośredniego ze zdaniem wyjściowym.

1. Każdy święty był męczennikiem.

2. Niektórzy nie-męczennicy nie byli nie-świętymi.

3. Żaden nie-święty nie był męczennikiem.

4. Niektórzy nie-męczennicy byli świętymi.

5. Niektórzy męczennicy nie byli nie-świętymi.

6. Żaden męczennik nie był nie-świętym.

7. Niektórzy nie-święci nie byli nie-męczennikami.

8. Każdy męczennik był świętym.

9. Żaden święty nie był męczennikiem.

10. Każdy męczennik był nie-świętym.

11. Niektórzy nie-święci nie byli męczennikami.

12. Żaden nie-męczennik nie był świętym.

13. Żaden święty nie był nie-męczennikiem.

14. Niektórzy nie-męczennicy byli nie-świętymi.

15. Żaden męczennik nie był świętym.

16. Niektórzy nie-święci byli nie-męczennikami.

17. Żaden nie-męczennik nie był nie-świętym.

18. Niektórzy nie-święci byli męczennikami.

19. Każdy nie-męczennik był świętym.

20. Niektórzy święci nie byli nie-męczennikami.

21. Niektórzy męczennicy nie byli świętymi.

22. Żaden nie-święty nie był nie-męczennikiem.

23. Niektórzy męczennicy byli świętymi.

24. Niektórzy święci byli nie-męczennikami.

25. Każdy nie-męczennik był nie-świętym.

26. Każdy święty był nie-męczennikiem.

27. Niektórzy święci nie byli męczennikami.

28. Każdy nie-święty był nie-męczennikiem.

29. Pewni męczennicy byli nie-świętymi.

30. Każdy nie-święty był męczennikiem.

31. Niektórzy nie-męczennicy nie byli świętymi.

IV. Ćwiczenia w budowie sylogizmów

1. Uzasadnij, które z poniższych sylogizmów nie spełaniają zasad budowy sylogizmów poprawnych

a.

Każdy kulejący ma chorą nogę

Pewne analogie kuleją

___________________________

Pewne analogie mają chorą nogę

b.

Żaden ssak nie oddycha skrzelami

Każdy wieloryb jest ssakiem

____________________________

(wyciągnij wniosek twierdzący)

C.

Niektóre ptaki są chruścielami

Niektóre ptaki są ptakami wodnymi

_____________________________

Niektóre ptaki wodne są chruścielami

D.

Żaden delfin nie jest myszą

Żadna mysz nie ma skrzydeł

____________________________

Żadne skrzydlate nie jest delfinem

E.

Pewne niebezpieczne stworzenia mają rogi

Niektóre rogate były dinozaurami

_________________________________________

Każdy dinozaur był niebezpiecznym stworzeniem

F.

Niektóre wiadomości są pomyślne

Każdy listonosz przynosi wiadomości

______________________________________________

Pewni listonosze nie przynoszą pomyślnych wiadomości

V. Ćwiczenia do rachunku predykatów

1. Ćwiczenia w czytaniu schematów

ၾΛx P(x) - czytamy: Nie prawda, że dla każdego x P od x.

Λx ၾP(x) - czytamy: Dla każdego x nie prawda, że P od x.

ၾVx P(x) - czytamy: Nie prawda, że istnieje taki x, że P od x.

Vx ၾP(x) - czytamy: Istnieje taki x, że P od x.

Dla powyższych schematów podaj przykłady zdań zbudowanych na ich podstawie.

VI. Ćwiczenia do teorii relacji

1. Podaj przykłady relacji i zbiorów, w których relacja ta jest: zwrotna, niezwrotna przeciwzwrotna, przechodnia, nieprzechodnia, przeciwprzechodnia, symetryczna, niesymetryczna, przeciwsymetryczna.

2. Dla podanych relacji podaj, co jest ich dziedziną a co przeciwdziedziną:

1. relacja bycia matką

2. relacja sąsiedztwa

3. relacja bycia wyższym

3. Określ jakiego rodzaju relacjami są podane poniżej:

1. relacja bycia szybszym w bieganiu w zbiorze ludzi

2. relacja sąsiedztwa w zbiorze państw

3. relacja myślenia o kimś w zbiorze ludzi

4. Podaj przykłady relacji jednoznacznej, odwrotnie-jednoznacznej, jedno-jednoznacznej, spójnej, porządkującej, równościowej.

5. Podaj co jest konwersem relacji:

1. bycia bratem

2. bycia większym

3. bycia starszym

4. bycia następnikiem

6. Podaj jakich relacji iloczynem względnym są następujące relacje:

1. bycia wnukiem

2. bycia szwagrem

3. bycia teściową

VII. Ćwiczenia do teorii zbiorów

1. Podaj po jednym przykładzie:

zbioru jednoelementowego, zbioru pustego zbioru skończonego, zbioru nieskończonego, rodziny zbiorów.

2. Podaj po jednym przykładzie: zbiorów identycznych, właściwego zawieranie się zbiorów/inkluzji właściwej, krzyżowania się zbiorów, wykluczania się zbiorów;

3. Dla dowolnych zbiorów przeprowadź następujące działanie i podaj ich wyniki:

1. suma dwóch zbiorów

2. iloczyn dwóch zbiorów

3. różnica dwóch zbiorów

4. dopełnienie zbioru, podział zbioru,

5. iloczyn (produkt) kartezjański dwóch zbiorów (dwuelementowych)

4. Zaznacz graficznie stosunki jakie zachodzą między zbiorami:

1. studentów i licealistów

2. doktorów nauk humanistycznych i magistrów nauk humanistycznych

3. kleryków i alumnów wyższych seminariów duchownych

4. studentów i grających w szachy

5. Zaznacz graficznie wyniki działań na zbiorach: Z - studenci, Y - malarze

1. suma

2. iloczyn

3. różnica Z-Y

4. różnica Y-Z

5. dopełnienie zbioru studentów do zbioru ludzi

6. dopełnienie zbioru malarzy do zbioru ludzi

7. iloczyn kartezjański Z×Y, przy założeniu, że Z={Adam, Marysia, Zuzia}, Y={Konrad, Juliusz, Zosia}

6. Za pomocą trzech narysowanych kół (schemat poniżej ) zaznacz stosunki miedzy zbiorami. Przyjmując, że: znak + (plus)- oznacza istnienie elementów; znak - (minus) - oznacza brak elementów.

1. ludzi, studentów i grających na skrzypcach

2. małp, krokodyli i zwierząt

3. ryb, zwierząt i płetwonurków

4. ziemniaków, pyr i kartofli

5. zamków błyskawicznych, zamków w drzwiach i zamków średniowiecznych

Przykładowy test z logiki

1. Zapisz symbolicznie następujące tezy języka rachunku zdań:

1. wybrane prawo symplifikacji ...............................................................

2. p. I De Morgana (dla alternatywy) ......................................................

3. p. sprzeczności.........................................................................................

4. p. sylogizmu hipotetycznego..................................................................

5. p. dylematu konstrukcyjnego .................................................................

6. p. transpozycji prostej...............................................................................

2. Zbadaj metodą zero-jedynkową następujące wyrażenie:

[p∧(q ⇔ r)] → [(~p∨ r) ∧ ~q]

3. Zbadaj skróconą metodą zero-jedynkową następujące wyrażenie:

[(p → q) ∧ p] → (p∨q)

4. Podaj określenia: tautologii, ekstensjonalności, wnioskowania dedukcyjnego, zbioru jednoelementowego, zbioru w sensie kolektywnym i w sensie dystrybutywnym.

5. Wyprowadź z następujących zdań wnioski drogą konwersji i obwersji

1. Każdy gad jest zwierzęciem → kon. ................................................................................

obw. .....................................................................................

2. Żaden gad nie jest zwierzęciem → kon ...........................................................................

obw. .................................................................................

3. Pewna małpa jest szympansem → kon ............................................................................

obw.....................................................................................

4. Pewna małpa nie jest szympansem → kon ......................................................................

obw ...................................................................................

6. Opisz kwadrat logiczny i relacje w nim zachodzące, np.: nazwy relacji i to gdzie zachodzą; co wynika z prawdziwości zdania nadrzędnego dla wartości zdania podrzędnego, itd.

7. Jeżeli poniższy sylogizm jest niepoprawny zaznacz zasadę, która nie została spełniona. A jeżeli jest poprawny zaznacz, że jest poprawny:

Każdy delfin jest ssakiem

Pewne zwierzęta morskie są delfinami

Pewne zwierzęta morskie są ssakami.

1. Błąd czterech terminów

2. Jeżeli jedna przesłanka jest przecząca to wniosek musi być przeczący

3. Z dwóch zdań przeczących nie wynika żaden wniosek

4. Termin średni musi być przynajmniej w jednej przesłance terminem rozłożonym.

5. Jest poprawny

Odp.: ........

8. Zbuduj własny sylogizm trybu Darii i Festino

9. Za pomocą języka rachunku predykatów wyraź następujące zdania: Przy założeniu, że zmienne predykatowe reprezentują: P - bycie ptakiem, Q - bycie kolorowym

1. Żaden ptak nie jest kolorowy ................................................................................

2. Pewne ptaki są kolorowe ........................................................................................

3. Pewne ptaki nie są kolorowe...................................................................................

4. Każdy ptak jest kolorowy .....................................................................................

10. Zbadaj, które wnioskowanie jest dedukcyjne, czyli skonstruowane według praw języka rachunku zdań. Podaj jakie prawa tutaj zostały zastosowane, o ile oczywiście zostały zastosowane lub o ile znasz jego nazwę.

1. Jeżeli jest ciepło, to kwitną kwiaty. I jeżeli przychodzi wiosna, to kwitną kwiaty. I nie jest ciepło lub nie przyszła wiosna. Zatem nie prawda, że kwitną kwiaty.

2. Jeżeli pada deszcz to ulice są mokre. I jeżeli pada deszcz to robią się kałuże. Zatem jeżeli pada deszcz, to prawda, że ulice są mokre lub robią się kałuże.

11. Przy pomocy trzech kół pokaż iloczyn zbioru ssaków, delfinów i kotów.

12. Poniższym formułom przyporządkuj odpowiedni opis. Każdej formule odpowiada tylko jeden opis.

1. ≡ ~ Vx (x є Z)

2. ≡ [Vx (x ∈ Z კ x ∈Y) კ Vx (x ∉ Z კ x ∈Y) კ Vx (x ∈ Z კ x ∉ Y)]

3. ≡ Λx (x є Z → x є Y)

α Z krzyżuje się z Y

β Z jest identyczne z Y

γ Z wyklucza się z Y

δ Z zawiera się w Y

ε Z zawiera się właściwie w Y

ζ Z jest zbiorem pustym

Odp.:

a ... ....

b ... ....

c ... ....

13. Podaj przykłady relacji przeciwprzechodniej, r. symetrycznej i r. niezwrotnej.

14. Podaj iloczyn kartezjański zbiorów: A ={pisak, doniczka}, B={budzik, wędka}.

15. Przyjmując, że zdanie Niektóre gady są krokodylami jest prawdziwe sprawdź czy, o poniższych zdaniach, można orzec (stosując opozycję, konwersję i/lub obwersję zdań), że są prawdziwe lub fałszywe, na podstawie ww. zdania wyjściowego. Uzasadnij swój sąd.

1. Żaden gad nie jest krokodylem.

2. Niektóre krokodyle są gadami.

3. Każdy krokodyl jest nie-gadem.

4. Pewne gady są nie-krokodylami.

Bibliografia.

Mała Encyklopedia Logiki, red. W. Marciszewski, Ossolineum, 1970.

Logika, M. Kowalewski, Pallotinum 1959.

Ćwiczenia z logiki, B. Stanosz, PWN 1999.

Logika praktyczna, Z. Ziembiński, PWN 1963.

O zasadzie sprzeczności u Arystotelesa, J. Łukasiewicz, PWN 1987.

Wprowadzenie do logiki lub Logika dla prawników, W.Patryas

Introduction to Logic, I. M. Copi, Macmillan, New York 1986.

Wykłady z dziejów logiki, T. Kotarbiński, PWN 1985.

T. Kotarbiński, Wykłady z dziejów logiki, PWN, Warszawa 1985, przyp. 4., s. 8.

W. Kozłowski, Logika elementarna, Towarzystwo Nauczycieli Szkół Wyższych, Lwów 1981, s. 1.

Mała Encyklopedia Logiki, Ossolineum, 1970.

(St., s. 19)

(St., s. 33)

(St., s. 35)

(St., s. 37)

Na podstawie: Barbara Stanosz, „Cwiczenia z logiki”, PWN, 1999r.,,WN, 1999r. . giki""się jeśli p to nieprawda, że q, to nieprawda, że p"wdziwe.chch. jest sytuacja,że to co przed strzałką implik

(na podstawie - B. Stanosz, Ćwiczenia ...)

Uproszczenie polega na: 1. pominięciu wnioskowania bezpośredniego ze zdań jednostkowych i modalnych - por. ks. M. Kowalewski, Logika, Pallotinum, Poznań 1959, s. 200.

2. zaliczeniu do zdań kategorycznych jedynie zdań ogólnych i szczegółowych, z pominięciem jednostkowych które także należą do zdań kategorycznych, ale w podmiocie posiadają nazwę jednostkową - por. op. cit. s. 126.

Na podstawie: Mała Encyklopedia Logiki, ..., s. 280-281.

por. Kowalewski, Logika, ... s. 225.

za: Z. Ziembiński, Logika praktyczna, s. 96 - 197. Zasady budowy poprawnych sylogizmów omówione zostały szerzej w Logika, ks. M. Kowalewski, ..., s. 213 - 220.

cyt. za: Mała Encyklopedia Logiki, ..., hasło: Zbiór, s. 362.

Mała Encyklopedia Logiki, red. Witold Marciszewski, Ossolineum 1970.

29

przykład tzw. polskiej notacji, stworzonej przez Jana Łukasiewicza (1878-1956). K - koniunkcja, E - równoważność, A - alternatywa

Ad impossibile sequitur qodlibet - “Z niemożliwości (z koniunkcji sprzecznej) logicznie wynika cokolwiek”; Duns Szkot (1255/56 - 1308)

August de Morgan (1806 - 1878), matematyk angielski, dzieła: Formal Logic, Budget of Paradoxes (Worek z paradoksami); Sylabus of a Proposed System of Logic (Zarys projektowanego systemu logiki); jego nazwiskiem nazwano dwa praw, które znane już były co najmniej w czasach Ockhama (1285 - 1349/1350) - w postaci związków miedzy zdaniowych; Morgan zapoczątkował też logikę relacji

q Ⴎ (p ლ q)

q Ⴎ (p Ⴎ q)

definiendum-to co definiowane, określane; po lewej stronie.

definiens-to co definiuje, określa; po prawej stronie.

Obok ukazane definicje to tzw. df. normalne (w podziale pod względem budowy). Dzięki temu, że definiendum jest równe definiensowi, jedno drugim może być zastąpione. W związku z tego rodzaju definicjami ukuło się stwierdzenie, że ten rozumie jakieś wyrażenie, kto potrafi się bez niego obejść, tzn. jeśli potrafi je wyrazić inaczej.

przeciwieństwo

SaP

SeP

sprzeczność

podporządkowanie

podporządkowanie

podprzeciwieństwo

SoP

SiP

Sap 1 0

SoP 0 1

SaP 1 0

SeP 0 1,0

SiP 1 0

SoP 1,0 1

Sap 1 0

SiP 1 1,0

SoP - SeP 0 - 0

1 - 0

1 - 1

SiP - SaP 0 - 0

1 - 0

1 - 1

SiP 1 0

SaP 1,0 0

kreska pozioma oddziela przesłanki od wniosku

P-M

M-S

S-P

M-P

M-S

S-P

M-P

S-M

S-P

P-M

S-M

S-P

M-P

S-M

S-P

M-P

M-S

S-P

P-M

S-M

S-P

P-M

M-S

S-P

Y

Z

Z

Y

Y

Z

Y

Z

Z

---