Ćwiczenie nr 32

WYZNACZANIE OPORU ELEKTRYCZNEGO METODĄ MOSTKA WHEATSTONE'A

I. Prawo Ohma.

Prawo Ohma dotyczy przepływu prądu stałego przez przewodnik i jest sformułowane na wiele sposobów.

Mówi ono na przykład o tym, że stosunek napięcia U do natężenia I prądu jest stały i zależy tylko od właściwości przewodnika, co zapisujemy w następujący sposób:

,

gdzie stałą R nazywamy oporem przewodnika.

Inne równoważne sformułowanie tego prawa mówi, że opór rozważanego przewodnika jest zawsze taki sam, niezależnie od wartości przyłożonego napięcia.

Jak widać, z powyższych sformułowań wynika zatem, że wykres zależności natężenia prądu od napięcia jest liniowy.

Warto ustalić jednostkę oporu R. Jednostką tą w układzie SI jest 1 Ω (1 om). Mówimy, że przewodnik ma opór 1 Ω, gdy płynący przez niego prąd o natężeniu 1 A wywoła na jego końcach napięcie 1 V.

Charakterystyczne dla prawa Ohma jest to, że wiele przewodników spełnia je bardzo dokładnie, natomiast inne nie spełniają go w ogóle.

II. Opór właściwy i przewodność właściwa.

Opór przewodnika, zdefiniowany powyżej, zależy od rodzaju materiału, z jakiego jest zbudowany i od jego rozmiarów. Dokładniej, opór jest wprost proporcjonalny do długości przewodu l i odwrotnie proporcjonalny do poprzecznego przekroju przewodu S. Zatem można to zapisać następująco:

, gdzie

współczynnik proporcjonalności
jest tak zwanym oporem właściwym substancji. Jego jednostką jest
.

Częściej posługujemy się jednak wielkością nazywaną przewodnością właściwą przewodnika i oznaczaną literką
. Jest ona powiązana z oporem właściwym wzorem:

.

Jednostką
w układzie SI jest (
)^-1.

Opór właściwy i przewodność właściwą dla danych przewodników, można odczytać z odpowiednich tablic.

Znając te wielkości można podać mikroskopowy odpowiednik prawa Ohma, czyli

, gdzie

E - natężenie pola elektrycznego;

j - gęstość prądu.

III. Prawa Kirchoffa.

Kolejnymi ważnymi prawami dotyczącymi przepływu prądu są prawa Kirchoffa.

Aby opowiedzieć o pierwszym prawie Kirchoffa, najpierw powinnam wyjaśnić, co to jest rozgałęzienie. Rozgałęzieniem będę nazywała punkt, w którym zbiega się kilka gałęzi, a dokładniej do którego wchodzą jakieś gałęzie i z którego jednocześnie wychodzą gałęzie. Należy się jeszcze umówić, że natężenie prądu płynącego do rozgałęzienia jest dodatnie, a wypływające z rozgałęzienia jest ujemne. I Prawo Kirchoffa w takim przypadku brzmi następująco: Dla każdego punktu rozgałęzienia suma natężeń prądów we wszystkich gałęziach jest równa 0. Można to zapisać następująco:

Żeby poznać II Prawo Kirchoffa należy najpierw znać zasady obchodzenia przewodnika z prądem. II Prawo Kirchoffa dotyczy warunków jakie panują w obwodach zamkniętych. Obierzmy dodatni kierunek obchodzenia oczka (obwodu zamkniętego) zgodny z ruchem wskazówek zegara. Natężenie prądów płynących zgodnie z obranym przez nas dodatnim kierunkiem bierzemy ze znakiem +, prądy płynące w kierunku przeciwnym ze znakiem -. Dobieramy również znaki dla sił elektromotorycznych następująco: jeżeli prąd wytwarzany przez źródło siły elektromotorycznej jest zgodny z kierunkiem obchodzenia oczka, wtedy dajemy jej znak -, a tym, które wytwarzają prąd w kierunku przeciwnym niż kierunek obchodzenia oczka, dajemy znak +. Wówczas II Prawo Kirchoffa brzmi: suma iloczynów natężeń prądów w odpowiednich gałęziach obwodu przez ich opory i suma sił elektromotorycznych występujących w poszczególnych gałęziach równa się zero. Można je zapisać następującym wzorem:

.

Dzięki powyższym prawom, łatwo obliczyć opór zastępczy, gdy mamy połączone oporniki szeregowo lub równolegle. Sposoby te przedstawiają poniższe rysunki schematyczne:

Połączenie szeregowe

Połączenie równoległe

Przy szeregowym łączeniu oporników przez każdy opornik płynie prąd o takim samym natężeniu. Napięcie na końcach całego układu jest natomiast równe sumie napięć na poszczególnych opornikach, czyli:

Powracając znów do prawa Ohma i stosując je tak samo do oporu zastępczego (R), jak do poszczególnych oporów (R₁, R₂, …,R_n) mamy:

oraz
.

Wykorzystując te wzory otrzymujemy:

a stąd
.

Przy równoległym łączeniu oporników do każdego opornika dołożone jest takie samo napięcie. Wiadomo również, że żadne ładunki nie gromadzą się po drodze z jednego rozgałęzienia do drugiego. Zatem natężenie prądu w rozgałęzieniu jest równe sumie natężeń prądu przepływających przez poszczególne oporniki, czyli:

.

Pamiętając jednak o prawie Ohma, możemy je zastosować do oporu zastępczego (R) oraz do wszystkich oporów w obwodzie (R₁, R₂, …,R_n) następująco:

oraz
.

Wykorzystując zatem wszystkie te wzory otrzymujemy:

a stąd
.

IV. Mostkowa metoda pomiaru.

Mostkiem Wheatstone'a nazywamy sieć czterech przewodników, która umożliwia nam wyznaczyć nieznany opór bez mierzenia napięcia i natężenia prądu.

Schemat mostka składa się z dwóch rozgałęzień (ABC i ADC), jak widać na rysunku obok. Są one połączone ze sobą równolegle. Mostkiem nazywamy tu przejście BD. Punkty BD połączone są czułym miliamperomierzem.

Wyprowadzenie wzoru na wartość nieznanego oporu dla mostka zrównoważonego:

Aby mieć zrównoważony mostek, wystarczy go tak ustawić, by przez miliamperomierz nie płynął prąd. Wtedy między punktami B i D jest jednakowe napięcie. Między punktami A i C natomiast napięcie U. Ale pamiętając o tym, że napięcie między B i D jest równe 0 możemy zauważyć, że spadki napięć na odcinkach AB i AD oraz DC i BC są między sobą równe. Ale stosując prawo Ohma (
) można zapisać następujące wyrażenia:

oraz

Zgodnie z I prawem Kirchoffa oraz tym, że między punktami B i D prąd nie płynie możemy zapisać również, że:

oraz
.

Po uwzględnieniu tego i podzieleniu równości
i
stronami otrzymujemy:

, a stąd
.

Czyli mając podane trzy opory możemy obliczyć czwarty.

3. LITERATURA:

• Edward Purcell; „Elektryczność i magnetyzm”; Państwowe Wydawnictwo Naukowe; Warszawa 1971; rozdziały: 4.3;

• David Halliday, Robert Resnick; „Fizyka 2”; Państwowe Wydawnictwo Naukowe; Warszawa 1993; rozdziały: 31-3, 31-4, 31-5;

• Szczepan Szczeniowski; „Fizyka Doświadczalna. Część III: Elektryczność i magnetyzm”; Państwowe Wydawnictwo Naukowe; Warszawa 1966; rozdziały: III-36, 37;

• Tadeusz Dryński; „Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki”; Państwowe Wydawnictwo Naukowe; Warszawa 1970; rozdział 55;

• Henryk Szydłowski; „Pracownia fizyczna”; Państwowe Wydawnictwo Naukowe; Warszawa 1973; rozdział V-17.1.

---