Nazwisko i imię:	Kierunek: MiBM
	Semestr: II

Wyznaczanie oporu elektrycznego przy pomocy mostka Wheastone'a

1. Wstęp

Jeżeli ładunki elektryczne zmieniają w czasie swe przestrzenne położenie pod wpływem przyłożonego pola elektrycznego, wówczas mamy do czynienia ze zjawiskiem prądu elektrycznego. W ciałach stałych nośnikami ładunku są elektrony, jednak w cieczach i gazach mogą być nimi dodatnie i ujemne jony. Konieczna jest więc umowa dotycząca oznaczenia kierunku prądu, ponieważ ładunki przeciwnego znaku poruszają się w danym polu elektrycznym w przeciwnych kierunkach. Ze względów historycznych za kierunek płynącego prądu przyjmujemy ten kierunek, w którym poruszałyby się ładunki dodatnie. Prąd elektryczny charakteryzowany jest przez natężenie prądu elektrycznego, które nazywamy stosunkiem ładunku elektrycznego de do czasu dt, w ciągu którego ten ładunek przepływa i oznaczamy przez I.

I=de/dt

Jednostką natężenia w układzie SI jest amper. Prąd elektryczny płynący przez przewodnik opisywany jest również przez wielkość j zwaną gęstością prądu elektrycznego. Jeżeli przepływ ładunku przez przekrój przewodnika o powierzchni S jest równomierny, to wartość gęstości prądu we wszystkich punktach tego przekroju jest równa i wynosi

j=I/S

Przepływowi prądu elektrycznego przez substancje (z wyjątkiem nadprzewodników znajdujących się poniżej temperatury krytycznej) towarzyszy wydzielanie się energii w postaci ciepła. W ogromnej większości ciał stwierdzamy przy przepływie prądu spadek potencjału elektrostatycznego proporcjonalny do natężenia prądu. Współczynnik proporcjonalności jest wielkością charakterystyczną dla danego ciała. Stanowi to treść prawa Ohma, które wyrażamy wzorem

RI=U

gdzie U oznacza różnicę potencjałów, a współczynnik proporcjonalności R nazywa się oporem elektrycznym danego ciała. Jednostką oporu elektrycznego jest [Ω]. W półprzewodnikach i izolatorach, w przeciwieństwie do metali opór elektryczny wraz ze wzrostem temperatury maleje, podczas gdy w przewodnikach i metalach rośnie. Ohm stwierdził ponadto, że opór ciała jest proporcjonalny do jego długości l w kierunku przepływu prądu i odwrotnie proporcjonalny do przekroju S. Współczynnik proporcjonalności nazywamy opornością właściwą (rezystywność), a jego odwrotność przewodnictwem właściwym (konduktywność). W obwodach rozgałęzionych przepływ prądu elektrycznego opisuje pierwsze i drugie prawo Kirchhoffa. Pierwsze prawo odnosi się do węzłów sieci. Możemy pierwsze prawo Kirchhoffa wyrazić następująco: algebraiczna suma natężeń prądów schodzących się w węźle równa jest zeru. Przy czym prądy płynące do węzła uważamy za dodatnie, zaś prądy wypływające z węzła uważamy za ujemne. Drugie prawo Kirchhoffa odnosi się do dowolnego obwodu zamkniętego i można je sformułować następująco: w każdym obwodzie zamkniętym algebraiczna suma spadków napięć wzdłuż wszystkich oporników równa się algebraicznej sumie włączonych w obwód sił elektromotorycznych.

Konsekwencją praw Kirchhoffa są reguły dotyczące łączenia oporników. Przy połączeniu szeregowym przez każdy opornik płynie ten sam prąd I, a napięcie wypadkowe jest sumą napięć na poszczególnych opornikach. Cały układ oporników połączonych szeregowo można zastąpić opornikiem zastępczym, spełniającym następujący warunek: po przyłożeniu takich samych napięć do gałęzi szeregowej i do opornika zastępczego przez oba te elementy muszą płynąć takie same prądy. Mamy więc:

U=U₁+U₂+...+U_n

i po wykorzystaniu prawa Ohma:

IR=IR₁+IR₂+...+IR_n

Skąd

W przypadku połączenia równoległego napięcia na wszystkich opornikach są takie same, lecz prąd wpływający do całego układu równoległego rozdziela się nierównomiernie między poszczególne oporności. Zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa mamy:

I=I₁+I₂+...+I_n

po wykorzystaniu prawa Ohma:

stąd

Przewodzący materiał scharakteryzowany jest pewnym oporem elektrycznym. Jeżeli przewodnik o nieznanym oporze włączymy do obwodu zawierającego źródło prądu, amperomierz i woltomierz, to ze wskazań przyrządów pomiarowych określić możemy różnicę potencjałów na końcach oporu oraz natężenie prądu płynącego przez przewodnik. Znając te wielkości przy pomocy prawa Ohma możemy obliczyć opór przewodnika. Inną, dokładniejszą metodą pomiaru oporu elektrycznego jest pomiar za pomocą mostka Wheastone'a. Mostek ten jest siecią czterech przewodników, pozwalających wyznaczyć opór nieznany przewodnika w sposób niewymagający pomiaru ani natężenia prądu, ani napięcia. Obwód przedstawiający ten mostek pokazane jest na schemacie. Pomiar polega na doprowadzeniu mostka do stanu równowagi za pomocą zmiany wartości oporów znanych. Mostek jest w równowadze, kiedy między punktami C i D różnica potencjałów jest równa zeru, czyli przez galwanometr nie płynie prąd. W rozgałęzieniu ACB znajdują się opory R₁ i R₂, a w rozgałęzieniu ADB opory R₃ i R₄. Oba rozgałęzienia połączone są mostkiem CD. W mostku tym znajduje się czuły galwanometr. Przez mostek nie płynie prąd tylko wówczas, gdy spełniona jest następująca zależność:

R₁R₄=R₂R₃

Wynika to z następujących faktów. Między punktami A i B panuje napięcie U, które zapewnia spadki napięć na rozgałęzieniach. Ponieważ napięcie między C i D jest równe zeru, więc spadki napięć na odcinkach AC i AD oraz CB i BD są między sobą równe:

U_AC=U_AD i U_CB=U_DB

Korzystając z prawa Ohma i z I prawa Kirchhoffa oraz wiedząc, że przez mostek nie płynie prąd (I₁=I₂ oraz I₃=I₄) otrzymujemy równanie:

R₁R₄=R₂R₃

Jeżeli jeden z oporów jest nieznany to można go wyznaczyć w oparciu o trzy pozostałe opory według wzoru:

Schemat mostka Wheastone'a.

2. Tabela pomiarów

Nr oporu i rodzaj połączenia	Opór dekadowy	Niep. pomiaru oporu dekad.	Wartość na dzielniku		Opór zmierzony	Niep. pomiaru oporu zmierz.	Opór obliczony	Obliczona niepewn. pomiaru	Różnica oporu oblicz. i zmierzon.
	Rd [Ω]	Rd' [Ω]	R1 [Ω]	R2 [Ω]	RX [Ω]	RX' [Ω]	RO [Ω]	RO'[Ω]	ΔR [Ω]
R1	329	6	5000	5000	329	6	_____	_____	_____
R2	2197	52	5000	5000	2197	52	_____	_____	_____
R3	4655	245	5000	5000	4655	245	_____	_____	_____
R1,R2 szeregowo	2520	8	5000	5000	2520	8	2526	58	6
R1,R2,R3 szeregowo	7150	25	5000	5000	7150	25	7181	303	31
R1,R2 równolegle	286	5	5000	5000	286	5	286.2	4,64	0.2
R1,R2,R3 równolegle	267	5	5000	5000	267	5	269.6	5,663	2.6

3. Przykładowe obliczenia

Niepewność pomiaru obliczamy z różniczki zupełnej.

Obliczona niepewność pomiaru dla połączenia szeregowego oporników R₁ i R₂:

Obliczona niepewność pomiaru dla połączenia szeregowego oporników R_1, R₂ i R₃:

Obliczona niepewność pomiaru dla połączenia równoległego oporników R₁ i R₂:

Obliczona niepewność pomiaru dla połączenia równoległego oporników R_1,R₂ i R₃:

4. Wnioski

Opór zmierzony R_x jest oporem, jaki został wyliczony na podstawie znanych wartości R_d, R₁ i R₂ korzystając z warunku równowagi mostka. Z uwagi na fakt, że R₁ i R₂ miały równe wartości po 5000Ω, możemy powiedzieć, iż opór dekadowy jest równy szukanemu oporowi gdyż stosunek R₁ do R₂ jest równy jedności. Opór obliczony R_X' jest oporem wyliczonym na podstawie reguł dotyczących łączenia oporników. Metoda mostkowa jest metodą porównawczą. Błąd mierzonej wielkości zależy od klasy dokładności oporów wzorcowych, czyli opornicy dekadowej (klasa 0,05) i dzielnika napięć (klasa 0,1). Opory zmierzone w przybliżeniu pokrywają się z oporami obliczonymi. Wszystkie opory zmierzone, są podane z pewną niedokładnością. Wynika ona z faktu, że nieznaczna zmiana oporu na opornicy dekadowej nie zmieniała wskazań galwanometru. Ponadto niedokładności mogą wynikać z tzw. błędu paralaksy powstałego podczas odczytu wskazań galwanometru.

---