Pęd cząstki, moment pędu, moment siły:
Pęd cząstki -nazywamy wektor p zdefiniowany jako iloczyn
jego masy oraz prędkości V:
p= m⋅V Pęd jest wielkością wektorową.
Moment pędu-jest wektorem. Jest to iloczyn wektorowy
wektora wodzącego i wektora pędu ciała.
l=r×p
l=r⋅p⋅sinα
gdzie α jest kątem pomiędzy r i p . kierunek tego wektora jest prostopadły
do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory r i p a jego zwrot znajdujemy
regułą prawej ręki.
ZASADA ZACHOWANIA PĘDU- jeżeli moment siły działającej na ciało,
poruszającej się ruchem krzywoliniowym jest=0 to moment pędu ciała nie ulega zmianie.
Moment siły -jest wielkością wektorową
M=r×F
M=r⋅F⋅sinγ
Def. Wektora nieskończenie małego obrotu.
Obrotowi wektora o niewielki kąt δQ
przypisujemy taki wektor δq , którego
kierunek jest równoległy do osi obrotu,
zwrot zgodny z regułą śruby prawoskrętnej,
a jego wartość równa jest wielkości obrotu
kąta δQ .
δr= r sinQ δϕ
δr= δϕ × r
Def. wektora prędk. kątowej i związek tego wektora z wektorem pręd. liniowej.
δr δϕ
V=lim --- = lim --- × r
δt δt
V=ω×r- związek pręd. kąt. i lin.
δϕ δϕ
V=lim --- = --- = ω-wekt. pręd. kąt.
δt δt
Def. wektora przyśpieszenia.
dv d dω dr dω
a= --- = --- ⋅(ω×r)= -- × r + ω × -- --- = E
dt dt dt dt dt
a= E × r + ω × V
Zderzenia sprężyste centralne
Korzystamy z zasady zachowania pędu:
m1u1 + m2u2 = m1V1 + m2V2
zasada zach. energi
m1u12 m2u22 m1V12 m2V22
----- + ------ = ------ + -------
2 2 2 2
m1u1+ m2u2 = m1V1 + m2V2
m1u12+ m2u22= m1V12+m2V22
m1(u1-V1) = m2(V2-u1)
m1(u12-V12) = m2(V22-u12)
u1 + V1 = V2 + u2 ⇒ V2=u1+V1-u2
m1u1+ m2u2 = m1V1 + m2(u1+V1-u2)
m1-m2 2m2
V1= -------- u1 + ------- u2
m1+m2 m1+m2
2m1 m2-m1
V2= -------- u1 + ------- u2
m1+m2 m1+m2
Zderzenia sprężyste z parametrem.
m1V2 m1V12 m2V22
----- = ------ + ------
2 2 2
X: m1V= m2V2cosα2 + m1V1cosα1
Y: m2V= m2V2sinα2 - m1V1sinα1
Aby układ był rozwiązywalny trzeba podać jedną niewiadomą(np. α1, α2)
Zderzenia niesprężyste.
Nie wolno stosować zasady zach. energii.
m1V1 + m2V2 = (m1 + m2)V
m1V1 + m2V2
V=----------------
m1 + m2
Prawo Hooka.
δL 1 F S- pole przekr. poprzecz.
--- = --⋅ -- F- siły
L Y S L- długość
δL1 δL2 δL ∂-signum
---- = ---- = -∂⋅ --- - współczynnik puasona
L1 L2 L
Ruch harmoniczny prosty.
d2x
F= -kx a= -----
dt2
F= m⋅a d2x
(1) m⋅ ---- = -kx
dt2
niech rozwiązaniem tego równania będzie:
(2) x= Asin(ωt + ϕ)
dx
--- = Aωcos(ωt + ϕ)
dt
A - amplituda(max. wychylenie)
d2x ϕ - faza początkowa w chwili t = 0
--- = -Aω2sin(ωt + ϕ) t - czas
dt2 ω - częstość kołowa
-mAω2sin(ωt +ϕ)= -kAsin(ωt + ϕ)
to równanie jest spełnione jeżeli
mω2=k jest rozw. rów. (1)
dx
--- - pręd. Cząstki wykonującej ruch kanoniczny prosty funkcji czasu.
dt
d2x
---- - przyśpieszenie
dt2
dx
--- ≡ x'
dt
mx” +kx = 0
d2x
---- ≡ x”
dt2
Prędkość i przyśpieszenie w ruchu harmonicznym prostym.
Prędkość
dx
x'= -- = ωoAcos(ωot +ϕ)
dt
jeżeli cos(ωot +ϕ) = 1 to
x'max= ωo⋅A -prędkość ruchu po okręgu.
Przyśpieszenie
d2x
x”= ---- = -ωoAsin(ωot +ϕ)
dt2
jeżeli sin(ωot +ϕ) = 1 to
|x”|=ωo2 A - wychylenie
Wahadło proste. Wahadło matematyczne.
Ep= mgh
h = L - Lcosϕ = L(1 - cosϕ)
mV2
E= ----- + mgh
2
można wykazać że dla małych kątów (1 - cosϕ)=1/2ϕ2
Ep = ½ mgl ϕ2
E = ½mV2 + ½mgl ϕ2
V=ω⋅l =ϕ'⋅l
E = ½ϕ'2l2 + ½mgl ϕ2
Nie ma sił tarcia, całkowita energia mechaniczna pozostaje stała
dE
--- = 0
dt
ml2ϕ”ϕ' + mgl⋅ϕϕ' = 0 /: mlϕ'
ϕ“l + gϕ = 0
ϕ“ +g/l⋅ϕ = 0 - równanie ruchu harmonicznego
dla wahadła matematycznego.
x” + ωo2x = 0
x = Asin(ωot + ϕo)
ϕo - amplituda wychylenia
ϕ = ϕosin(ωot + αo)
ωo=√g/l
Wyznaczanie amplitudy fazy początkowej z warunków początkowych
x = Asin(ωot + ϕo)
t=0 x(o) = xo xo = Asinϕo
V(o) = Vo Vo = Aωocosϕo
xo
--- = sinϕo
A V = Aωocos(ωot + ϕo)
Vo= Aωocosϕo
Vo
----- = cosϕo
Aωo
xoAωo xo ωo
tgϕo = -------- = --------
A Vo Vo
xo2 Vo2
--- + ------ = sin2ϕ + cos2ϕo
A2 A2ωo
Vo2
xo2 + ----- = A2 ⇒ A=√
ωo2
Energia prostego ruchu harmonicznego.
E= Ek + Ep
mV2
Ek = ----- = m/2A2ωo2cos2(ωot +ϕo)
2
k/m = ωo2
Ek = ˝kA2cos2(ωot +ϕo)
Jeżeli cos(ωot +ϕo) = 1 to
Ekmax = ½kA2
Ep = ½kx2 = ½kA2sin2(ωot + ϕo)
Jeżeli sin(ωot +ϕo) = 1 to
Epmax= ½kA2
E= Ek + Ep = ½kA2cos2(ωot + ϕo) + ½kA2sin2(ωot + ϕo)=
½kA2[cos2(ωot + ϕo) + sin2(ωot + ϕo)] = ½kA2
Ek = ½ kA2cos2(ωot + ϕo)
Ep = ½kA2sin2(ωot + ϕo)
ϕo=0
½kA2cos2ωot = ½kA2sin2ωot
cos2ωot = sin2ωot
sin2ωot
--------- = 1 ⇒ tgωot = 1
cos2ωot
tgωot = tgΠ/4
ωot = Π/4 ⇒ t = Π/4ωo
I zasada dynamiki
Jeżeli na ciało nie działa żadna siła lub działające
siły równoważą się, to ciało pozostaje w spoczynku
lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym
(gdy było w ruchu)
II zasada dynamiki
Przyrost pędu ciała jest równy iloczynowi działającej
na ciało siły i czasu jej działania
Δp = Fwypad Δt
III zasada dynamiki
Jeśli ciało A działa na ciało B pewną siłą, to ciało B
działa na ciało A siłą o takiej samej wartości, takim
samym kierunku i przeciwnym zwrocie.