WEKTOR

Wielkość mechaniczna, którą możemy przedstawić za pomocą usytuowanego w przestrzeni odcinka posiadającego określony zwrot i kierunek. Wektorami są: siła, prędkość, przyśpieszenie.

SKALAR

Wielkość mechaniczna, którą możemy jednoznacznie określić przez podanie jej wartości liczbowej. Wartość ta może być przedstawiona za pomocą punktu na przyjętej skali. Skalarami są: czas, masa, praca, moc.

DODAWANIE WEKTORÓW

W celu znalezienia sumy geometrycznej dwóch wektorów przenosimy jeden z nich tak aby jego początek znajdował się na końcu drugiego. Otrzymaną linię łamaną nazywamy wielobokiem wektorów.

a

b

s= a+ b

Jeżeli dodajemy siły to wielobok taki nazywamy wielobokiem sił.

Jeżeli w wieloboku utworzonym przez wektory koniec ostatniego wektora łączy się z początkiem pierwszego taki wielobok nazywamy wielobokiem zamkniętym,

wtedy suma dowolnej liczby wektorów =0.

a b

-b

s= a- b

MNOŻENIE WEKTORA PRZEZ SKALAR

Możliwe są dwie sytuacje:

a) skalar n jest większy od zera-

Otrzymujemy wtedy wektor, który ma ten sam kierunek i zwrot a jego długość jest n razy większa od długości wektora.

a

gdy n=2 2a

b) skalar n jest mniejszy od zera-

Otrzymujemy wtedy wektor, który ma ten sam kierunek i przeciwny zwrot a jego długość jest n razy większa od długości wektora.

a

-2a gdy n= -2

DZIELENIE WEKTORA PRZEZ SKALAR

Dzielenie wektora przez liczbę możemy traktować jako mnożenie tego wektora przez odwrotność tej liczby.

A

A/2

PUNKT MATERIALNY

Punkt geometryczny w którym umieszczona jest masa ciała m.

CIAŁO DOSKONALE SZTYWNE

Wyidealizowane ciało stałe, którego punkty nie zmieniają wzajemnych odległości pod wpływem działających na nie sił.

MASA

Jest jednocześnie miarą ilości materii w ciele i miarą bezwładności ciała. Jednostką miary jest

kilogram kg.

NIUTON

Siła, która masie jednego kilograma nadaje przyśpieszenie 1 m/s².

SIŁA

Jest to miara wzajemnego oddziaływania ciał przejawiającego się wyprowadzaniem ich ze stanu spoczynku zmianą ich ruchu lub utrzymaniem ciał w stanie równowagi.

Siły dzielimy na:

zewnętrzne

Czynne- dążą do wywołania ruchu lub do jego zmiany

Bierne (reakcje)- przeciwdziałają ruchowi i występują w miejscach podparcia

wewnętrzne

Międzycząsteczkowe- siły działające między poszczególnymi cząsteczkami materii

Naprężenia- siły powstałe wewnątrz ciała na skutek działania sił zewnętrznych.

SIŁA CIĘŻKOŚCI

Obliczamy ją mnożąc masę wyrażoną w kilogramach i przyśpieszenia ziemskiego g= 9,81 m/s².

Układy sił ze względu na położenie linii działania dzielimy na:

Płaskie- zbiór sił, których linie działania leżą na jednej płaszczyźnie

Zbieżne- zbiór sił na płaszczyźnie, których linie działania przecinają się w jednym punkcie

Równoległe- zbiór sił na płaszczyźnie, których linie działania są do siebie równoległe

Dowolne- grupuje siły o różnych kierunkach działania

przestrzenne- gdy siły mają dowolne kierunki w przestrzeni

PRAWA RUCHU STATYKI

Prawo pierwsze

Każde ciało trwa w stanie spoczynku lub ruchu jednostajnego prostoliniowego, dopóki siły nań działające tego stanu nie zmienią.

Prawo drugie

Zmiana pędu lub impulsu ruchu jest proporcjonalna względem siły działającej i ma kierunek prostej, wzdłuż której ta siła działa.

Prawo trzecie

Każdemu działaniu towarzyszy równie i przeciwnie

Zwrócone oddziaływanie, czyli wzajemne działania

dwóch ciał są zawsze równe i skierowane przeciwnie.

Prawo czwarte

Jeżeli na punkt materialny o masie m działa

Jednocześnie kilka sił to każda z nich działa niezależnie od pozostałych, a wszystkie działają tak jak jedna siła równa wektorowej sumie wektorów danych sił.

Prawo piąte (grawitacji)

Każde dwa punkty materialne przyciągają się wzajemnie z siłą wprost proporcjonalną do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości między nimi.

CIAŁO SWOBODNE

Ciało, które może się dowolnie przemieszczać w przestrzeni. Ma sześć stopni swobody gdyż może wykonać sześć ruchów składowych- trzy przesunięcia i trzy obroty.

CIAŁO NIESWOBODNE

Ciało, które nie może wykonywać swobodnych ruchów gdyż jego swoboda została ograniczona jakimiś zewnętrznymi czynnikami- więzami.

Więzy oddziaływają na ciało z siłą równą naciskowi na więzy, lecz zwróconą przeciwnie.

WIĘZY

Siły jakimi więzy oddziaływają na ciało nieswobodne.

Więzy dzielimy na:

Podpory ruchome

Podpora na idealnie gładkiej powierzchni, podparcie na ostrzu, podparcie w łożysku ruchomym

Reakcja jest zaczepiona w pkt. styczności ciała z podporą i ma stale kierunek prostopadły do powierzchni podpierającej (niezależnie od kierunków sił działających na ciało podpierane)

Więzy wiotkie

Liny, łańcuchy, sznury

Reakcja zawsze wzdłuż osi tych więzów.

Reakcja jest jednocześnie siłą wewnętrzną (naprężeniem) panującą w tych więzach.

Podpory stałe

Stopień, łożysko stałe, przegub

Reakcja jest zaczepiona w pkt. styczności ciała z podporą i ma na ogół kierunek nie prostopadły do płaszczyzny ciała podpierającego (niezależnie od kierunków sił działających na ciało podpierane)

PŁASKI UKŁAD SIŁ ZBIEŻNYCH

Siłami zbieżnymi nazywamy siły, których linie działania są zbieżne w jednym punkcie.

WYKREŚLNY WARUNEK RÓWNOWAGI SIŁ ZBIEŻNYCH

Płaski zbieżny układ sił jest w równowadze jeżeli wielobok sił tego układu jest zamknięty.

ANALITYCZNY WARUNEK RÓWNOWAGI SIŁ ZBIEŻNYCH

suma algebraiczna rzutów wszystkich sił na oś X jest równa 0

S_X=F_1X+F_2X+F_3X+...+F_NX= 0

Suma algebraiczna rzutów wszystkich sił na oś Y jest równa 0

S_Y=F_1Y+F_2Y+F_3Y+...+F_NY= 0

TWIERDZENIE O RÓWNOWADZE TRZECH SIŁ

Trzy siły nierównoległe są w równowadze gdy proste ich działania przetną się w jednym punkcie i gdy utworzony trójkąt sił będzie zamknięty.

MOMENTY SIŁY WZGLĘDEM PUNKTU

Moment siły względem bieguna (punktu) jest wektorem, którego wartość określa iloczyn siły i ramienia. Moment może być dodatni (siła obraca się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara względem bieguna), ujemny (zgodnie z ruchem wskazówek) i zerowy (biegun leży na sile).

A(+)

MOMENT SIŁY WZGLĘDEM OSI

Iloczyn rzutu tej siły na płaszczyznę prostopadłą do osi przez odległość tego rzutu od osi. Odległość rzutu od osi L jest równa odległości punktu przecięcia się osi z płaszczyzną od linii działania rzutu czyli

M_L= F₁∗r

Moment jest równy 0 gdy siła i oś leżą w jednej płaszczyźnie.

PARA SIŁ

To dwie siły równej wartości równoległe o przeciwnych zwrotach odległe od siebie o odległość zwaną ramieniem pary sił.

Suma momentów sił tworzących parę jest stała i równa iloczynowi wartości jednej z sił przez ramię pary- jest to moment pary M

M= F∗r

Własności:

Pary sił nie możemy zastąpić siłą wypadkową

Każdą parę zastępujemy momentem + lub -

Parę sił możemy przesuwać w dowolne miejsce na płaszczyźnie

Dowolną ilość par sił możemy zastąpić jedną parą wypadkową o momencie równym sumie momentów par składowych

Moment pary uważamy za dodatni, jeżeli para dąży do obrócenia swego ramienia w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara- jeżeli zgodnie to jest ujemny.

Suma geometryczna i wypadkowa pary sił jest zawsze równa 0.

TARCIE

Rodzaje tarcia:

Ślizgowe

Toczne

Tarcie na równi pochyłej

Siłę, która przeciwdziała ruchowi, leżąca na płaszczyźnie, po której porusza się badane ciało nazywamy tarciem ślizgowym.

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW

ZGINANIE

Momentem zginającym w dowolnym przekroju belki nazywamy sumę momentów wszystkich sił zewnętrznych działających po jednej stronie (lewej lub prawej).

↑+↓-

Siłą tnącą w dowolnym przekroju belki nazywamy sumę sił zewnętrznych działających prostopadle do osi belki po jednej stronie (lewej lub prawej).

↑+↓- po lewej stronie przekroju

Ra F1 F2 Rb F3

a 2a a a

1 Obliczyć reakcje wzgl. A

Ra- F1- F2+ Rb- F3= 0 ↑+↓-

Ra= F1+ F2- Rb+ F3

2 Obliczyć momenty sił zewn. żeby obliczyć Rb

-F1∗a-F2∗3a+Rb∗4a-F3∗5a=0

Rb∗4a=F1∗a+F2∗3a+F3∗5a

3 Obliczyć momenty zginające wzgl. punktów

Ma=0

MF1= Ra∗a

MF2= Ra∗3a-F1∗2a

Mb=F3∗a

4 Obliczyć siły tnące między przyłożonymi siłami

T1=Ra

T2=Ra-F1

T3=Ra-F1-F2

T4=Ra-F1-F2+Rb

ROZCIĄGANIE

Naprężenie normalne-stosunek siły normalnej N do pola przekroju poprzecznego S.

δ= N/S

Naprężenie styczne- stosunek siły stycznej T do pola przekroju S. Występuje tylko w przekrojach ukośnych.

τ= T/S

Wydłużenie całkowite Δlo

Δlo= l1 - lo

Wydłużenie względne Σ

Σ=Δlo/lo

Zwężenie całkowite Δh

Δh= h1-h

Zwężenie jednostkowe Σ

Σ=Δh/h

Liczba Poissona

V=Σ1/Σ

PRAWO HOOKA

Wydłużenie Δl jest wprost proporcjonalne do siły działającej F oraz do długości elementu l a odwrotnie do pola przekroju S.

Δl= F∗l/E∗S

E- moduł Younga (sprężystości wzdłużnej)

Naprężenie dopuszczalne k- naprężenia, które mogą występować bez obawy naruszenia warunku wytrzymałości i sztywności

Kr= Rm/n

Rm- granica wytrzymałości

n- współczynnik bezpieczeństwa

NAPRĘŻENIA W PRZEKROJACH UKOŚNYCH

Pole przekroju pod kątem

Sα=S/cosα

Naprężenia pod kątem

δα=Nα/Sα= δ cos² α

τα=Tα/Sα= -0,5 δsin 2α

Naprężenie normalne δαjest największe przy przekrojach poprzecznych, równe 0 przy przekrojach równoległych do osi pręta przy 45⁰ δ45=0,5δ

Naprężenie styczne jest największe przy 45⁰ τ45=0,5δ

ŚCINANIE

Dopuszczalne naprężenie na ścinanie kt- granica bezpiecznych naprężeń stycznych τ

δrzecz= F/S

kt rozważa się tylko na drodze hipotez kt≈ 0,6 kr

Naprężenie rzeczywiste τ

τ=F/S≤ kt

SKRĘCANIE

Moment skręcający Ms= momentowi pary sił zewnętrznych

Ms= F∗a

F- siła

Ms= 71620 P/n

P- moc w KM

n- prędkość obrotowa w obr/min

Ms- w kG∗cm

Ms=9554,14 P/n

P- moc w KW

n- obroty w obr/min

MOMENTY BEZWŁADNOŚCI

Momentem bezwładności JL rozważanej figury względem dowolnej osi L nazywamy sumę iloczynów poszczególnych pól elementarnych przez kwadraty odległości od tej osi.

JL=ΣΔSi∗r²i

Momentem bezwładności figury względem dowolnego bieguna O nazywamy sumę iloczynów poszczególnych pól elementarnych przez kwadraty odległości od tego bieguna.

Jo=ΣΔSi∗r²i

Momenty bezwładności podajemy w cm⁴

Biegunowy moment bezwładności Jo jest sumą osiowych momentów bezwł. względem dwóch prostopadłych osi przechodzących przez ten biegun.

Jo=Jx+Jy

Jx, Jy- momenty bezwł. Względem osi X i Y

TWIERDZENIE STEINERA

Moment bezwładności figury płaskiej względem osi równoległej do osi środkowej jest równy momentowi bezwł. tej figury względem tej osi środkowej zwiększonemu o iloczyn pola figury przez kwadrat odległości między osiami.

JL=Jx+ S∗a²

---