Temat:

Wyznaczenie częstości drgań własnych.

1. Drgania poprzeczne zginające

Równanie opisujące swobodne poprzeczne drgania nietłumione ważkiej belki o stałym przekroju

(1)

E- moduł Younga

J_x- moment bezwładności przekroju poprzecznego pręta

q- ciężar pręta na jednostkę długości

g- przyśpieszenie ziemskie

t- czas

w(z,t)- poprzeczne odkształcenie pręta zależne od czasu wg. rys 1

Równanie (1) można rozwiązać jako sumy całek szczególnych w postaci funkcji rozdzielonych

W(z,t)=Z(z)*T(t)

Co prowadzi do równania

Z^IV(z)-k⁴Z(z)=0

T(t)+w²T(t)=0

Gdzie

(2)

k⁴-pewna stała liczbowa

Ostateczne rozwiązanie ma postać

• Ugięcie

• Momenty

Warunki brzegowe

W _z=0 = 0 M. _Z=0 =0
sin(kl)=0 dla kl=
n=1, 2,...

_{Z=l z=l}

Wobec tego częstość drgań własnych wynosi:

n=1, 2, 3 ,...

W podpobny sposób można wyznaczyć czstosci drgań inny belek korzystając z rozwiązania dla belki swobodnie podpartej

• Dla pręta obustronnie utwierdzonego

n=3 , 4 , 5 ,.....

• Dla wspornika

2, Drgania wymuszone

Równanie opisujące wymuszone drgania giętne belki

(4)

ograniczając rozwiązanie do postaci drgań wywołanych siła w postaci

p(z,t)=P_osin(ωt)

przyłożoną w odległości `a' od lewej podpory ,

z równania (4) otrzymujemy następującą postać ustalonych drgań wymuszonych

(5)

gdy częstość drgań własnych zbliżona jest do częstości wymuszania ugięcia belki wg wzoru (5) dąży do nieskończoności. Jest to przypadek obrysowany ciągłą linią na rys 3. W rzeczywistości nie obserwuje się takiego zachowania belki. Ograniczone ugięcie spowodowane jest tłumieniem, którego w tych rozważaniach nie uwzględniono. Rzeczywiste zmiany amplitudy zaznaczono na rys 3 liniami przerywanymi w stosunku do różnych współczynników tłumienia.

W konstrukcjach budowlanych tłumienie można zazwyczaj pominąć, ponieważ współczynnik tłumienia jest niewielki. Znacznie gorzej jest gdy wartość współczynnika tłumienia jest w bezpośredniej bliskości rezonansu. Dlatego istniejące maszyny powinny mieć znacznie inną wartość drgań własnych lub momentów niewyważenia(np. turbiny silników)niż drgania własne konstrukcji. Poza tym wartość tłumienia, a raczej czułość ustroju na tłumienie maleje wraz zw wzrostem liczby swobody.

• Metody praktyczne wyznaczania częstości lub okresu drgań własnych

1. Wyznaczania częstości giętnych drgań własnych belki metodą rezonansu

Metoda rezonansu polega na wymuszaniu drgań belki siła o regulowanej częstości kołowej
i obserwacji amplitudy drgań wymuszonych. Dla maksymalnej wartości amplitudy mierzymy liczbę obrotów układu wymuszającego, otrzymując w ten sposób częstość drgań własnych belki. Okres drgań własnych obliczamy ze wzoru

T= n^-1 ,gdzie n-liczba obrotów mimośrodów tzn. liczba uderzeń siły wymuszającej

2. Wyznaczania częstości giętnych drgań własnych belki metodą rejstracji przebiegu drgań.

Metoda ta polega na wprowadzeniu belki w drgania (np. przez jednorazowy, impulsowy nacisk na belkę) oraz na rejstrowaniu drgań. Tą medodą mierzone są parametry: przemieszczenie (amplituda), prędkość, przyśpieszenie, częstotliwość, naprężenia, faza i przemieszczenie kątowe. W budownictwie przy badaniu elementów konstrukcji mierzy się zazwyczaj przemieszczenie i częstotliwość. Czujniki stosowane w tej metodzie przetwarzają parametry drgań na zmianę indukcyjności lub automatycznie zapisują wartości na taśmę nawiniętą na wałek tzw. czujniki sejsmiczne.

Przebieg ćwiczenia laboratoryjnego

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie częstości giętnych drgań własnych belki swobodnie podpartej obciążonej jak na rys 4

Rys. 4 Schemat stanowiska do badań

• Opis przebiegu ćwiczenia

Belkę dwuteową ( 100PE) obciążono ciężarem 700 kg. ,a następnie wychylono belkę z położenia równowagi energicznie naciskając ją od góry i rejstrując przebieg drgań. Jako wynik otrzymano graficzny obraz drgań belki na papierowym pasku dołączonym do sprawozdania.

W czsie 1s policzono ilość okresów=7

T=1/7=0,142857s

Częstość drgań wynosi zatem

f=1/T=7 [1/s]

Częstość drgań własnych

ω=2Πf=2Π*7=43,9823 [1/s]

• Analityczne wyznaczenie częstości drgań własnych

• σ 

Korzystając ze wzoru (3)

dla n=1

l=2,4 m.

E=205*10⁶ kPa

J_x=171 cm⁴=171*10^-8 m⁴

g=9,81 m/s²

q=m+Q/l m- ciężar belki na 1m. m=0,081 kN/m.

q=0,081+7,50/2,4=3,206 kN/m.

[1/s]

• częstotliwość drgań

f=ω/2Π=56,12/2Π=8,932 [1/s]

• okres drgań własnych

T=1/f=1/8,932=0,112 [s]

• σ 

Innym sposobem wyznaczenia częstości drgań jest przyjęcie modelu obliczeniowego jakim jest belka swobodnie podparta obciążona siłą skupioną w połowie rozpiętości belki. Dla

jednoprzęsłowej belki nieważkiej, obciążonej w połowie rozpiętości siła skupioną Q częstość drgań wynosi:

y- ugięcie belki w połowie rozpiętości

Częstotliwość przeliczona na 1 sek.

f=

Więc:

• 
  

• 
  f=
  
  s

Porównanie wyników i uwagi końcowe

%

Różnice w wynikach otrzymanych wartości drgań własnych okazały się na poziomie 20%. Analityczne wyznaczenie częstości drgań własnych daje większe wartości

(dla sposobu I), lecz na taki wynik mógł mieć wpływ nierównomierny sposób obciążenia belki(rzeczywiście masa skupiona jest w dwóch wieszakach szalki, a masa belki jest równomiernie rozłożona na całej długości belki), pewne tłumienie drgań, które zostało pominięte, a także obciążenie od szalki i ciężar jarzma.

1

- 1 -

Konstrukcje metalowe

laboratorium

z

q

w(z,t)

x

x

Rys 1 Schemat zginania belki

l

n=1

n=2

n=4

Drgania dla belki swobodnie podpartej

W

Rys 3 Zmiana amplitudy drgań

z

300

Q

2400

Czujnik drgań

Błędy pomiarowe

(sposób I)

Błędy pomiarowe

(sposób II)

2500

---