Automatyka i Robotyka. Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów Tarcie w parach kinematycznych mechanizmów 1
TARCIE W PARACH KINEMATYCZNYCH MECHANIZMÓW
Analiza wpływu tarcia na reakcje w parach kinematycznych
i sprawność i mechanizmów.
Podczas ślizgowego przemieszczania się jednego ciała po drugim powstaje opór
przeciwko ruchowi zwany siłą tarcia o kierunku stycznym do trących powierzchni,
a zatem o kierunku równoległym do prędkości względnej w punkcie styku tych ciał.
Siły tarcia występują zawsze we wszystkich mechanizmach i maszynach, gdyż
ruchowi mechanizmu towarzyszy nieodłącznie ruch względny członów tworzących
pary kinematyczne.
Pomijając zjawisko tarcia w parach kinematycznych przyjmuje się dla uproszczenia,
że idealne smarowanie trących powierzchni minimalizuje siły tarcia. Jednak pominię-
cie sił tarcia prowadzi często do grubych błędów jakościowych, gdyż może się oka-
zać, że ruch mechanizmu nie jest w ogóle możliwy. Jest to tzw. zjawisko samo-
hamowności mechanizmu.
W mechanizmach płaskich tarcie ślizgowe występuje w parach kinematycznych postępo-
wych i obrotowych klasy 5. Natomiast w parach kinematycznych klasy 4 oprócz tarcia
ślizgowego występuje dodatkowo tarcie toczne.
Opracowali: J. Felis
Automatyka i Robotyka. Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów Tarcie w parach kinematycznych mechanizmów 2
Model tarcia suchego Coulomba
Przy założeniu modelu tarcia ślizgowego suchego Coulomba, w zastosowaniach technicznych
przyjmuje się:
T N (1)
gdzie:
tg
- współczynnik tarcia suchego ,
T  siła tarcia rozwiniętego (siła styczna),
N  nacisk normalny, (siła nacisku jest składową reakcji
całkowitej)
Rkl Rlk - całkowita reakcja
w parze postępowej (k, l)
s  kąt tarcia spoczynkowego, s = tg s
r  kąt tarcia ruchowego, r = tg r
kl  kąt tarcia nierozwiniętego
Rys. 1. Stożek tarcia pary kinematycznej ślizgowej
Opracowali: J. Felis
Automatyka i Robotyka. Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów Tarcie w parach kinematycznych mechanizmów 3
Przy analizie tarcia suchego należy rozpatrzyć cztery fazy procesu
występującego pomiędzy stykającymi się członami
Fl 0 Rkl Rlk
Faza I: Do członu l nie jest przyłożona żadna siła styczna . Reakcje:
mają kierunek normalny do powierzchni i leżą na osi stożka. Siła tarcia jest równa
Tkl Tlk 0
. Człon pozostaje w spoczynku.
Fl Fl T N
Faza II: Do członu l jest przyłożona siła pozioma taka, że , człon pozostaje
Rkl Rlk pozostaje wewnątrz stożka tarcia odchylając się od
w spoczynku, reakcja
kl
osi stożka o kąt , prawo tarcia nie obowiązuje.
Fl
Faza III: Do członu l jest przyłożona siła taka, że obowiązuje prawo tarcia
Fl Ts s N Ts s
, gdzie i odpowiednio siła tarcia spoczynkowego i współczynnik
Rkl Rlk odchylają się od osi stożka tarcia o kąt
tarcia spoczynkowego. Reakcje
s . człon l znajduje się w stanie równowagi granicznej. Rozpoczyna się ruch.
vlk
Faza IV: człon l przemieszcza się względem członu k z prędkością względną , siła
Fl maleje do wartości Fl Tr r N Tr r
, gdzie i odpowiednio siła tarcia ruchowe-
Rkl Rlk odchylają się od osi stożka
go i współczynnik tarcia ruchowego. Reakcje
r s .
tarcia o kąt
Opracowali: J. Felis
Automatyka i Robotyka. Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów Tarcie w parach kinematycznych mechanizmów 4
Rozpatrywane problemy związane z tarciem dotyczą zawsze:
Fazy III (tarcie spoczynkowe rozwinięte) lub Fazy IV (tarcie ruchowe).
s tg s r tg r .
Doświadczenie wykazuje, że
Tablica 1. Wybrane wartości współczynników tarcia ruchowego r i spoczynkowego s

(Poradnik Mechanika)
Materiały pary ślizgowej
Współczynniki: r s
Stal żeliwo 0,18 0,30
Stal stal 0,10 0,17
Stal mosiądz 0,15 0,19
Stal materiał cierny 0,28 0,50 ( r =15,6 ; s =26,5 )

Stal teflon 0,04 0,09 ( r =2,3 ; s =5,1 )

Opracowali: J. Felis
Automatyka i Robotyka. Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów Tarcie w parach kinematycznych mechanizmów 5
MODELE TARCIA W PARACH KINEMATYCZNYCH POST
POWYCH KLASY 5
W warunkach tarcia ślizgowego rozwiniętego (zachodzi ruch względny członów, ( = r),
siła reakcji leży na tworzącej stożka tarcia i można ją przedstawić w postaci dwóch składowych: nor-
Nkl Tkl
malnej i stycznej .
Model tarcia w parze postępowej płaskiej
z dociskiem jednostronnym
Rys. 2. Tarcie w parze postępowej
płaskiej z dociskiem jednostronnym
Składowa normalna siły reakcji
Składowa styczna
Reakcja całkowita
siły reakcji(siła tarcia)
Tkl
Należy zwrócić uwagę na zgodność zwrotu siły tarcia ze zwrotem liniowej prędkości względnej
vkl oraz zgodność zwrotu siły Tlk ze zwrotem prędkości vlk .
Opracowali: J. Felis
Automatyka i Robotyka. Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów Tarcie w parach kinematycznych mechanizmów 6
Przykład 1.
Wyznaczyć reakcje w punktach A i B oraz podać warunek równowagi granicznej dla członu spoczy-
wającego na podłożu chropowatym.
A
G2 12
Dane: Siła ciężkości członu oraz współczynnik tarcia podłoża w punkcie podparcia A - .
Tarcie w punkcie B pominąć.
Rozwiązanie. Uwzględniono tarcie ślizgowe w punkcie A, tarcie toczne w punkcie B pominięto
AT B
G2 R12 R12 0 (P1.1)
A
tg 12 (P1.2)

Człon 2 pozostanie w równowadze dopóki
Rys. 3. Analiza układ sił przyłożonych do członu podpartego na podłożu chropowatym.
Opracowali: J. Felis
Automatyka i Robotyka. Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów Tarcie w parach kinematycznych mechanizmów 7
Model tarcia w parze postępowej płaskiej z dociskiem dwustronnym
Rys. 4. Tarcie w parze postępowej
płaskiej z dociskiem dwustronnym
AT BT
Rkl i Rkl oznaczają w przypadku występowania tarcia ruchowego reakcje całkowite jakimi
ciało k działa na ciało l odpowiednio w punktach A i B. Reakcje te odchylają się od normalnej do
A B
r Tkl Tkl
prowadnicy o kąt w ten sposób, że siły tarcia i mają zwroty przeciwne do
vlk
prędkości , czyli prędkości suwaka l względem prowadnicy k.
Opracowali: J. Felis
Automatyka i Robotyka. Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów Tarcie w parach kinematycznych mechanizmów 8
W parze kinematycznej postępowej z dociskiem dwustronnym występuje tzw. wspólna strefa tarcia.
Wspólna strefa tarcia (WST) jest to część wspólna przekrojów stożków tarcia, a zatem jest to obszar
wyznaczony przez kierunki reakcji całkowitych, jakimi prowadnica oddziałuje na suwak. WST wyznacza
dopuszczalne kierunki przyłożenia siły zewnętrznej przy której istnieje możliwość ruchu oraz kierunki
przy których ruch jest niemożliwy (występuje zjawisko samohamowności).
WST - wspólna strefa tarcia dla
Pl
W przypadku, kiedy leży na kierunku
l2
prostej "w" człon pozostaje w spo-
czynku wówczas zachodzi równowaga sił
zgodnie z równaniem:
AT BT
Pl Rkl Rkl 0
Pl
Zwiększanie siły zewnętrznej w warun-
kach równowagi (kierunek prostej "w"), nie
powoduje efektu ruchu lecz jedynie zwięk-
AT BT
Rkl i Rkl .
sza reakcje
WST dla
Rys. 5. Interpretacja graficzna wspólnej strefy tarcia pary postępowej
Opracowali: J. Felis
Automatyka i Robotyka. Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów Tarcie w parach kinematycznych mechanizmów 9
Warianty działania siły zewnętrznej względem wspólnej strefy tarcia
w parze kinematycznej typu: suwak-prowadnica:
vkl
WST
Pl
kierunek w siły przebiega
przez wierzchołek wspólnej strefy tarcia
- człon l jest w stanie równowagi
(stan graniczny),
Pl
kierunek s siły przechodzi
przez wspólną strefę tarcia
- człon l jest w spoczynku,
układ jest samohamowny,
Pl
kierunek r siły przebiega
poza obszarem wspólnej strefy tarcia
 zachodzi możliwość ruchu
WST
członu l względem członu k.
Rys. 5.(powtórzony) Interpretacja graficzna wspólnej strefy tarcia pary postępowej
Opracowali: J. Felis
Automatyka i Robotyka. Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów Tarcie w parach kinematycznych mechanizmów 10
1
TB
B
R12
A
TA
2
R12
P2
P2
Wspólna strefa tarcia
Rys. 6. Położenie WST w mechanizmie ścisku
Opracowali: J. Felis
Automatyka i Robotyka. Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów Tarcie w parach kinematycznych mechanizmów 11
WST
Rys. 7. Dwie WST dz
wigniowo-
krzywkowego mechanizmu
wyciskowego
Opracowali: J. Felis
Automatyka i Robotyka. Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów Tarcie w parach kinematycznych mechanizmów 12
Przykład 2
Wyznaczyć wykreślnie warunek równowagi granicznej członu 2 podpartego na podporze chropowa-
tej w punktach A i B.
A A B B
12 tg 12 , 12 tg 12 , punkt przyłożenia siły P2 przemieszcza się po członie 2
Dane:

nachylonym do pionu pod kątem .
Tarcie
Tarcie
a) b)
Rys. 8. Analiza wykreślna warunku równowagi granicznej członu podpartego na podporze chropowatej: a) pochylenie
członu większe od kąta tarcia w punkcie A podpory, b) pochylenie członu mniejsze niż kąt tarcia w punkcie A podpory.
Opracowali: J. Felis
Automatyka i Robotyka. Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów Tarcie w parach kinematycznych mechanizmów 13
Przykład 3
AT
R12 P2
Wyznaczyć reakcje w punkcie A oraz siłę w warunkach tarcia ślizgowego pary postępowej
płaskiej.
G2 12 tg r .
Dane: Siła ciężkości członu 2, współczynnik tarcia
Równania równowagi sił przyłożonych do członu 2 mają postać:
AT
G2 R12 P2 0 (P3.1)
G2
AT
R12 (P3.2)
cos r
P2 G2 tg r G2 2 (P3.3)
Rys. 10. Wyznaczanie reakcji w warunkach tarcia ślizgowego w parze postępowej płaskiej
z dociskiem jednostronnym
Opracowali: J. Felis
Automatyka i Robotyka. Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów Tarcie w parach kinematycznych mechanizmów 14
Model tarcia w parze kinematycznej obrotowej
Model tarcia ślizgowego w parze kinematycznej obrotowej 5 klasy o poziomej osi czopa
przedstawia Rys. 11.
Koło tarcia
w r
w - kąt wspinania się czopa l w panewce k
Rys. 11. Tarcie w parze kinematycznej
obrotowej
Podobnie jak dla pary postępowej obowiązuje zasada zgodności zwrotu kątowej prędkości
względnej i momentu tarcia
Opracowali: J. Felis
Automatyka i Robotyka. Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów Tarcie w parach kinematycznych mechanizmów 15
Zjawisko tarcia oraz wspinania się czopa wygodnie jest wyjaśnić na
P2
przykładzie czopa 2 obciążonego siłą zewnętrzną przyłożoną w
jego środku i poruszającego się względem nieruchomej panewki 1.
P2
Jeżeli jest jedyną siłą zewnętrzną to zachodzi równość:
P2 R12
Rys. 12. Zjawisko wspinania się czopa w panewce
M2
Wartość momentu czynnego przyłożonego do czopa i zapewniającego jego obrót w warunkach
T T
M12 M2 M12 .
tarcia rozwiniętego jest równa momentowi tarcia jakim panewka działa na czop
T T
M12 M12 M(P2 ,R12 ) T12 r R12 h (2)
Moment tarcia wyznaczymy z zależności:
h r sin r (3)
Z trójkąta AOB wynika, że promień koła tarcia wynosi:
Wyrażając funkcję sinus
tg r 12
h r r r 12 (4)
przez funkcję tangens mamy:
2
1 tg2 r 1 12
12 tg r - współczynnik tarcia ślizgowego czopa 2 w panewce 1.
gdzie:
Opracowali: J. Felis
Automatyka i Robotyka. Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów Tarcie w parach kinematycznych mechanizmów 16
Przykłady rozwiązywania problemów z tarciem w mechanizmach płaskich
zawierających pary postępowe i obrotowe 5 klasy
W celu rozwiązania problemów z tarciem w mechanizmach płaskich zawie-
rających pary postępowe i obrotowe 5 klasy niezbędnym jest podzielenie
rozwiązania na etapy:
Etap I
Analiza prędkości względnych (liniowych, kątowych) w parach kinematycz-
nych mechanizmów; celem tego etapu jest prawidłowe wyznaczenie zwrotów
sił tarcia,
Etap II
Analiza kinetostatyczna mechanizmu bez uwzględnienia tarcia, celem tego
etapu jest prawidłowe wyznaczenie zwrotu reakcji normalnych,
Etap III
Analiza kinetostatyczna mechanizmu z uwzględnieniem tarcia.
Opracowali: J. Felis
Automatyka i Robotyka. Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów Tarcie w parach kinematycznych mechanizmów 17
Przykład 4
T
Mr1
Wyznaczyć reakcje w parach kinematycznych mechanizmu krzywkowego i moment równoważący przyło-
żony do członu napędzającego z uwzględnieniem tarcia w parach kinematycznych.
P2
Dane: wymiary mechanizmu, wartość i kierunek siły oporu , współczynnik tarcia jednakowy dla wszystkich
par kinematycznych, promień czopa wału krzywki r.
Rozwiązanie
Etap 1. Analiza prędkości względnych.
Rysujemy schemat zastępczy mechanizmu i następnie ry-
sujemy plan prędkości mechanizmu. Na podstawie planu
prędkości określamy wszystkie prędkości bezwzględne
prędkości względne członów .
vB3 vB2 vB1 vB2B1 (P4.1)
II BS II BS AB II t t
Prędkości względne
v21 vB2B1 , v20 vB2, 1 10 (P4.2)
a) b)
Rys. 15. Analiza statyczna mechanizmu krzywkowego - Etap 1: a) schemat kinematyczny mechanizmu,
b) schemat zastępczy i analiza prędkości względnych
Opracowali: J. Felis
Automatyka i Robotyka. Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów Tarcie w parach kinematycznych mechanizmów 18
Etap 2
Równania równowagi sił bez uwzględnienia tarcia
F C
P2 R02 R02 R12 0 (P4.3)
Prosta Culmana  c
R01 R12
Mr1 R01 dr (P4.4)
Rys. 16a. Analiza statyczna mechanizmu krzywkowego
analiza statyczna bez uwzględniania tarcia - Etap 2
Opracowali: J. Felis
Automatyka i Robotyka. Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów Tarcie w parach kinematycznych mechanizmów 19
Etap 3
Równania równowagi sił z uwzględnieniem tarcia
FT CT T
P2 R02 R02 R12 0 (P4.5)
cT
Prosta Culmana
T T
R01 R12
T T T
Mr1 R01 dr (P4.6)
Rys. 16b. Analiza statyczna mechanizmu krzywkowego
analiza statyczna z uwzględnieniem tarcia - Etap 3
Opracowali: J. Felis
Automatyka i Robotyka. Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów Tarcie w parach kinematycznych mechanizmów 20
Tarcie toczne w parach kinematycznych mechanizmów płaskich klasy 4
P2
Przypadek 1. Walec napędzany siłą . Oś bierna walca jest napędzana przez pojazd.
P2
Kierunki siły leżące poza środkiem walca
Trójkąty sił dla przypadku kierunków
P2
siły poza środkiem walca
T
G2 R12 P2 0 (6)
0 G2 f P2 H 0 (7)
MiA
f
Ponieważ H r , P2 G2 (8)
r
gdzie : f - ramię oporu toczenia
Rys. 17. Walec napędzany siłą P2
Opracowali: J. Felis
Automatyka i Robotyka. Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów Tarcie w parach kinematycznych mechanizmów 21
M2
Przypadek 2. Walec napędzany parą sił o momencie (czynna oś walca napędzana silnikiem)
T
G2 R12 0 (10)
M 0 G2 f M2 0 (11)
iA
M2 G2 f (12)
Rys. 18. Walec napędzany momentem pary sił M
2
Ramię tarcia tocznego f (ramię oporu toczenia) nazywane jest także współczynnikiem tarcia
tocznego i zależy od własności fizycznych pary tocznej. Przykładowe wartości współczynnika tarcia
tocznego: - łożysko toczne kulkowe poprzeczne f = 0,002 cm,
- stożkowe obciążone poprzecznie f = 0,020 cm,
- koło stalowe na szynie f = 0,005 cm.
Opracowali: J. Felis
Automatyka i Robotyka. Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów Tarcie w parach kinematycznych mechanizmów 22
Rys. 19. Odkształcenie koła samochodowego na twardej nawierzchni
Opracowali: J. Felis
Automatyka i Robotyka. Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów Tarcie w parach kinematycznych mechanizmów 23
Jazda bez poślizgu Stan graniczny
Rys. 20a. Przypadki toczenia się koła po równi pochyłej
Opracowali: J. Felis
Automatyka i Robotyka. Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów Tarcie w parach kinematycznych mechanizmów 24
aS2
Poślizg koła  zsuwanie się pojazdu z przyspieszeniem
Rys. 20b. Przypadki toczenia się koła po równi pochyłej
Opracowali: J. Felis
Automatyka i Robotyka. Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów Tarcie w parach kinematycznych mechanizmów 25
Literatura:
1.Felis J., Jaworowski., Cieślik J.: Teoria Mechanizmow i Maszyn. Część 1. Analiza Mechanizmow. AGH,
Uczelniane Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne, Krakow 2008.
2.Felis J.,Jaworowski H.: Teoria Mechanizmow i Maszyn. Część 2. Przykłady i zadania. AGH, Uczelniane
Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne, Krakow 2011.
Opracowali: J. Felis