Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 1
CZ.1. ANALIZA STATYCZNA I KINETOSTATYCZNA MECHANIZMÓW
Dynamika jest działem mechaniki zajmującej się badaniem ruchu członów, mechanizmów
i maszyn wywołanego działaniem układu sił. W odróżnieniu od kinematyki, której celem jest
jedynie obserwacja ruchu z geometrycznego punktu widzenia, dynamika ustala związki
przyczynowo skutkowe pomiędzy układem sił przyłożonych do mechanizmów,
stanowiącymi przyczyny ruchu, a realizowanym przez te mechanizmy ruchem czyli
skutkami działania sił.
Pierwsze zadanie dynamiki  Dla zadanych kinematycznych równań ruchu mecha-
nizmu, gdy znane są przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia członów, należy
wyznaczyć układ sił przyłożonych do członów mechanizmu, które ten ruch wywołują.
Drugie zadanie dynamiki  Gdy znany jest układ sił przyłożonych do członów
mechanizmu i warunki początkowe ruchu czyli prędkość i położenie początkowe
mechanizmu, należy wyznaczyć kinematyczne równania ruchu czyli przyspieszenia,
prędkości i przemieszczenia członów.
Problematyka zawarta w pierwszym zadaniu dynamiki jest przedmiotem
tzw. Analizy Kinetostatycznej Mechanizmów. Natomiast zagadnienia zawarte
w drugim zadaniu dynamiki będą rozpatrywane w zakresie równań ruchu maszyny
i ich całkowania.
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 2
Rodzaje i charakterystyka sił przyłożonych do członów mechanizmu
Siłą uogólnioną nazywamy siłę skupioną powodującą przemieszczenie liniowe bryły lub parę sił
powodującą przemieszczenie kątowe bryły.
Przemieszczenia liniowe lub kątowe nazywamy również przemieszczeniami uogólnionymi.
Podział sił według kilku wybranych kryteriów:
1) Ze względu na miejsce przyłożenia sił działających na mechanizm dzielimy je na siły
wewnętrzne i zewnętrzne. Przez siły wewnętrzne rozumiemy wyłącznie siły reakcji
występujące w parach kinematycznych mechanizmu. Wszystkie pozostałe siły nazywamy
zewnętrznymi.
Siły wewnętrzne reakcji mają tylko składowe normalne do powierzchni styku członów, gdy
tarcie pomijamy, lub składowe normalne i styczne w przypadku, gdy tarcie uwzględniamy.
Siły zewnętrzne są przyłożone w dowolnych punktach członów, poza obszarem bezpośred-
niego styku w parze kinematycznej.
2) Ze względu na moc siły uogólnionej, siły możemy podzielić na siły czynne czyli
(N 0 ) oraz siły bierne czyli siły oporu, których
napędzające, których moc jest dodatnia
(N 0 )
moc jest ujemna .
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 3
Siły czynne są z reguły siłami zewnętrznymi i są to najczęściej siły rozwijane przez silniki
napędowe np. spalinowe, elektryczne, pneumatyczne i hydrauliczne i wiatrowe, wodne
i inne. Siły bierne są to zewnętrzne siły oporów użytecznych nazywane siłami oporów
technologicznych lub siły oporów szkodliwych np. zewnętrzny opór ruchu samochodu lub
wewnętrzny opór tarcia w parze kinematycznej.
Przykładami użytecznych zewnętrznych oporów technologicznych są np. opory skrawania
w obrabiarkach, opory kruszenia w kruszarkach, siły oporów sprężania w pompach, sprężarkach
itp.
3) Ze względu na przyczynę powstawania siły działające na mechanizmy można
podzielić na:
(G mg )
- siły ciężkości, czyli siły pola grawitacyjnego zgodnie z prawem grawitacji
zależne od położenia, w przypadku małych przemieszczeń przyjmujemy je jako stałe
g const
ponieważ przyspieszenie ziemskie przyjmujemy ,
- siły tarcia suchego, których wartość jest w przybliżeniu stała a zwrot zależny
od prędkości względnej członów zgodnie z prawem Coulomba,
- siły tarcia wiskotycznego proporcjonalne do prędkości (pierwszej pochodnej
przemieszczenia),
- siły bezwładności proporcjonalne do przyspieszenia (drugiej pochodnej przemieszcze-
nia),
- siły zależne równocześnie od szeregu parametrów np. czasu, przemieszczenia pręd-
kości, przyspieszenia itp.
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 4
Rys. 1d  wszystkie siły zewnętrzne przyłożone do
G1,G2,G3
Rys. 1b - siły ciężkości
mechanizmu w tym również moment równoważący
przyłożone do poszczególnych członów
Mr1 , przyłożony do członu napędzającego.
mechanizmu.
P3 B1, B2, B3,oraz moment
Rys. 1a - Siła oporów użytecznych . Rys. 1c  siły bezwładności członów
Jest to siła bierna oporów sprężania.
MB2
od sił bezwładności - , przyłożony do członu 2.
Rys. 1. Siły zewnętrzne przyłożone do członów mechanizmu korbowo-suwakowego
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 5
Siły wewnętrzne czyli reakcje w parach kinematycznych
oznaczono symbolami, które można ogólnie zapisać jako
Rkl . Indeks dolny symbolu siły wskazuje numery członów,
które na siebie oddziaływają.
R12
Przykładowo symbol , oznacza reakcję z jaką człon 1
R01
działa na człon 2 , a symbol , oznacza reakcje pod-
stawy na człon 1.
Rys. 2. Siły wewnętrzne w parach kinematycznych mechanizmu korbowo- suwakowego
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 6
Zasada d Alemberta dla członów mechanizmów w ruchu płaskim
mi
Równania dynamiczne ruchu płaskiego i  tego członu o masie oraz o masowym momencie
Jsi
bezwładności względem środka masy mają postać:
Pi Ri miasi (1) MPi MRi Jsi i (2)
Równanie (1) jest dynamicznym równaniem Newtona postępowego ruchu unoszenia członu
natomiast równanie (2) jest dynamicznym równaniem Newtona obrotowego ruchu względnego
członu wokół jego środka masy.
Pi - wektor główny sił zewnętrznych przyłożonych do członu i,
Ri - wektor główny sił reakcji w parach kinematycznych członu i,
aSi - przyspieszenie środka masy członu i,
MPi - moment główny sił zewnętrznych działających na człon i,
MRi - moment główny sił reakcji w parach kinematycznych członu i,
i - przyspieszenie kątowe członu i.
Po przeniesieniu wyrazów równań (1) i (2) na lewą stronę otrzymamy:
Pi Ri miaSi 0 (3) MPi MRi JSi i 0 (4)
Bi miaSi (5) JSi i (6)
Oznaczymy: oraz M
Bi
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 7
Ostatecznie równania (1) i (2) przyjmą postać :
Pi Ri Bi 0 (7) MPi MRi MBi 0 (8)
Bi MBi
Siłę nazywamy siłą bezwładności, natomiast moment , momentem od sił bezwładno-
ści lub parą sił bezwładności. Siłę i moment sił bezwładności nazywamy również siłami
d Alemberta. Są to siły, w sensie uogólnionym, o wartości równej odpowiednim iloczynom mas i przy-
spieszeń, w sensie uogólnionym, o zwrotach przeciwnych do zwrotów tych przyspieszeń.
Zasada d Alemberta. W czasie ruchu dowolnego członu mechanizmu
siły zewnętrzne działające na ten człon równoważą się z odpowiednimi
siłami reakcji w parach kinematycznych oraz siłami bezwładności.
Równania (7) i (8) przedstawiają zasadę d Alemberta: pierwsze dla ruchu postępowego a drugie dla
ruchu obrotowego.
Zgodnie z zasadą d Alemberta zagadnienia dynamiki zapisane równaniami (1) i (2) zostały sprowa-
dzone do zagadnień statyki czyli równowagi statycznej układu sił, zapisanych równaniami (7) i (8).
Na podstawie równań (7) i (8) przeprowadza się analizę kinetostatyczną mechanizmu. Jeżeli siły
bezwładności są małe i pomijamy je w rozważaniach wówczas równania te przyjmują postać:
Pi Ri 0 (9) MPi MRi 0 (10)
Na podstawie równań (9) i (10) przeprowadza się analizę statyczną poruszającego się mechanizmu.
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 8
Analiza kinetostatyczna mechanizmów bez uwzględnienia tarcia
Cel i założenia analizy kinetostatycznej
Celem analizy sił przyłożonych do członów poruszających się mechani-
zmów jest wyznaczenie reakcji w parach kinematycznych oraz uogólnionej si-
Pr Mr
ły równoważącej (siły lub momentu ) przyłożonej do członu napędzają-
cego przy zadanym prawie ruchu mechanizmu i układzie sił zewnętrznych.
W mechanizmach i maszynach wolnobieżnych, gdzie siły bezwładności są
małe w porównaniu z pozostałymi siłami zewnętrznymi często w obliczeniach
przybliżonych są one pomijane i wówczas analiza siłowa nosi nazwę
analizy statycznej.
W mechanizmach i maszynach szybkobieżnych siły bezwładności są duże
i nie mogą zostać pominięte. Analiza siłowa mechanizmów z uwzględnieniem
sił bezwładności nosi nazwę analizy kinetostatycznej.
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 9
Co należy zrobić, w celu przyłożenia uogólnionych sił bezwładności
do członów mechanizmu?
1) Określić (obliczyć lub przyjąć w przypadku syntezy mechanizmu) masy
i momenty bezwładności członów mechanizmu.
2) Wyznaczyć środki mas członów.
3) Wyznaczyć przyspieszenia środków mas członów i przyspieszenia kątowe
członów.
4) Obliczyć wartości sił bezwładności i momentów od sił bezwładności
dla poszczególnych członów ze wzorów:
Bi miaSi MPi MRi 0
5) Przyłożyć siły bezwładności w środkach mas członów na kierunku przyspiesze-
nia, ze zwrotem przeciwnym do zwrotu przyspieszenia.
6) Przyłożyć momenty od sił bezwładności do członów ze zwrotem przeciwnym do
zwrotu przyspieszenia kątowego.
W trakcie analizy kinetostatycznej, uogólnione siły bezwładności należy traktować
tak samo jak inne siły przyłożone do członów mechanizmu: siły ciężkości, siły opo-
rów technologicznych np. siły skrawania, sprężania, tłoczenia itp.
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 10
Zasady wyznaczania sił bezwładności w ruchu postępowym,
obrotowym i płaskim
Najprostszym mechanizmem, którego człony wykonują wszystkie możliwe ruchy na płaszczyz
nie
jest mechanizm korbowo-suwakowy.
1 const
W celu wyznaczenia sił i momentów sił
bezwładności konieczne jest wyznaczenie
przyspieszeń liniowych środków mas
członów oraz przyspieszeń kątowych
członów
Rys. 3. Mechanizm korbowo-suwakowy oraz przyspieszenia jego członów
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 11
Siły bezwładności przyłożone do członu w ruchu obrotowym
Przypadek ogólny przedstawiony na Rys. 4 dotyczy sytuacji, gdy człon 1 wykonuje ruch obroto-
1 const 1 0 AS1 0
wy zmienny: , i środek masy członu nie leży na osi obrotu - . Znana
2
m1 JS1 m1 iS1, gdzie iS1
jest masa członu oraz jego moment bezwładności względem środka masy
- promień bezwładności.
n t
B1 m1aS1 m1(aS1 aS1 ) B1n B1t (11)
MB1 JS1 1 (12)
Rys. 4 Siły bezwładności przyłożone do członu w ruchu obrotowym
Przypadki szczególne obciążenia członu siłami bezwładności:
const 0
a) człon wykonuje ruch jednostajny , i środek masy nie leży na osi obrotu
1 1
AS1 0 B1 m1aS1 B1n , oraz MB1 0
b) ; wtedy ,
const 0 AS1 0

c) człon wykonuje ruch jednostajny , i środek masy leży na osi obrotu ;
1 1
B1 0 MB1 0
wtedy , oraz ,
1 const 1 0
d) człon wykonuje ruch zmienny , i środek masy leży na osi obrotu ;
B1 0 MB1 JS1 1.
wtedy , oraz
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 12
Siły bezwładności przyłożone do członu w ruchu płaskim
Człon 2 wykonuje ruch płaski, znana jest masa członu m oraz jego moment bezwładności wzglę-
2
2
JS2 m2 iS2 iS2
dem środka masy , gdzie - promień bezwładności.
B2 m2aS2 (13)
MB2 JS2 2 (14)
Rys. 5. Siły bezwładności przyłożone do członu w ruchu płaskim
Siły bezwładności przyłożone do członu w ruchu postępowym
aS3 0
Człon 3 wykonuje ruch postępowy zmienny po prostoliniowej prowadnicy , znana jest masa
członu 3. Siły bezwładności wynoszą:
B3 m3aS3 (15)
MB3 JS3 0 0 (16)
Rys. 6. Siła bezwładności przyłożona do członu w ruchu postępowym prostoliniowym
W przypadku szczególnym, kiedy człon porusza się ruchem postępowym jednostajnym po prostoli-
aSi 0 Bi 0
niowej prowadnicy tzn. , wtedy .
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 13
W celu obliczenia wartości liczbowych sił bezwładności i momentów od sił bezwładności należy do-
kładnie określić masę członu, położenie środka masy oraz wartość masowego momentu
bezwładności obliczonego względem osi przechodzącej przez środek masy
Rys. 7. Przykład wyznaczania masy, położenia środka masy i momentu bezwładności członu
w programie typu CAD.
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 14
Zasady uwalniania od więzów członów mechanizmów płaskich
Uwalnianie członów od więzów polega na ich odrzuceniu i zastąpieniu
siłami oddziaływania sąsiednich członów, które nazywamy siłami reakcji.
Siły reakcji są siłami wewnętrznymi, które zgodnie z trzecim prawem Newtona,
nazywanym zasadą akcji i reakcji, równoważą się nawzajem.
Wprowadzimy następującą umowę:
Rkl , Mkl - jest to siła uogólniona z jaką człon k działa na człon l,
Rlk, Mlk - jest to siła uogólniona z jaką człon l działa na człon k.
Rkl Rlk
Rkl Rlk 0
Mkl Mlk (18)
Mkl Mlk 0 (17)
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 15
Para kinematyczna klasy 5 - obrotowa - przegub walcowy
Jeżeli pominiemy tarcie to kierunek reakcji przechodzi przez oś przegubu i jest do niej prostopadły.
Nieznane są: kierunek reakcji oraz jej wartość (dwie niewiadome).
a) dwa człony k i l połączone przegubo-
a)
wo pomiędzy którymi działa siła reakcji
Rkl Rlk ,
b) dwa rozłączone człony oraz sposób
x x
Rkl Rlk ,
przyłożenia sił reakcji
y y
c) Rkl Rlk
stosowany w analitycznej metodzie
kinetostatyki,
b)
c) dwa rozłączone człony oraz sposób
n n
Rkl Rlk ,
przyłożenia sił reakcji,
t t
Rkl Rlk
stosowany w grafoanalitycznej meto-
dzie kinetostatyki, składowe reakcji są
n
Rkl
odpowiednio równoległe ( ) oraz pro-
t
Rkl
stopadłe ( ) do członu k lub l.
Rys. 8. Uwalnianie od więzów członów w parze kinematycznej obrotowej
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 16
Para kinematyczna klasy 5 - postępowa (suwak i prowadnica)
Możliwe są trzy warianty uwalniania od więzów pary postępowej.
Wariant A
Znany jest punkt przyłożenia siły reakcji w środku suwaka oraz jej kierunek, który
w przypadku pominięcia tarcia jest prostopadły do prowadnicy.
Nieznane są wartość siły oraz wartość momentu pary sił, który musimy przyłożyć aby układ był
w równowadze (dwie niewiadome).
Pk to dowolna siła zewnętrzna
przyłożona do członu k.
a) b) c)
Rys. 9. Uwalnianie od więzów członów w parze postępowej wg wariantu A: a) para kinematyczna, suwak k
Rkl Rlk , oraz momenty pary sił Mkl Mlk .
i prowadnica l, w której przyłożona są siły reakcji
b, c) dwa rozłączone człony z przyłożonymi siłami reakcji.
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 17
Wariant B
Zakłada się, że suwak k styka się z prowadnicą l jedynie na swoich krawędziach w punktach M i N.
Znane są kierunki reakcji, które są prostopadłe do prowadnicy (w przypadku gdy tarcie nie
występuje).
Nieznane są wartości dwóch sił reakcji (dwie niewiadome).
Proponowany sposób oswobadzania od więzów jest wygodny przy rozwiązywaniu zadań z uwzględnieniem
tarcia oczywiście po odchyleniu reakcji o kąt tarcia.
a) b) c)
Rys. 10. Uwalnianie od więzów członów w parze postępowej wg wariantu B
M M
Rkl Rlk ,
a) para kinematyczna, suwak k i prowadnica l, w której przyłożone są siły reakcji
N N
Rkl Rlk w punktach M i N, b, c) dwa rozłączone człony z przyłożonymi siłami reakcji.
oraz
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 18
Wariant C
W wariancie tym, który stosowany jest najrzadziej przyjmuje się, że znamy kierunek reakcji, który
jest prostopadły do prowadnicy (w przypadku gdy tarcie pominięto).
Nieznane są: wartość siły oraz jej punkt przyłożenia (dwie niewiadome).
a) b) c)
Rys. 11. Uwalnianie od więzów członów w parze postępowej wg wariantu C
M M
Rkl Rlk
a) para kinematyczna , suwak k i prowadnica l, w której przyłożone są siły reakcji ,
w punkcie B, b,c) dwa rozłączone człony z przyłożonymi siłami reakcji.
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 19
Warianty A, B, C uwalniania od więzów pary postępowej są równoważne i można przejść od jedne-
go wariantu do drugiego. W tym celu wystarczy porównać równania momentów napisane dla skraj-
nych punktów suwaka leżących na osi prowadnicy jak to pokazano na Rys. 12.
a) b) c)
Rys. 12. Równoważność wariantów uwalniania od więzów pary postępowej
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 20
Wariant D (przypadek szczególny pary kinematycznej suwak-prowadnica)
Znany jest punkt przyłożenia reakcji w środku przegubu i jej kierunek prostopadły do
prowadnicy (w przypadku gdy tarcie nie występuje).
Nieznana jest wartość reakcji (jedna niewiadoma).
a) b) c)
Rys. 13. Uwalnianie od więzów członów w parze postępowej wg wariantu D
a) para kinematyczna, suwak k i prowadnica l, w której przyłożone są siły reakcji , Rkl Rlk
b, c) dwa rozłączone człony oraz przyłożone siły reakcji.
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 21
Para kinematyczna kl. 4 (wyższa)
W tym przypadku znany jest punkt przyłożenia reakcji oraz jej kierunek. Punktem przyłożenia
reakcji jest punkt styku, kierunek reakcji leży na prostej n-n normalnej do obydwu krzywizn i przecho-
dzącej przez ich środki. Taki kierunek reakcji dotyczy przypadku analizy z pominięciem tarcia.
Nieznana jest natomiast wartość siły reakcji  (jedna niewiadoma).
a) b) c)
Rys. 14. Uwalnianie od więzów członów w parze wyższej kl. 4
Rkl Rlk ,
a) para kinematyczna dwie krzywki k i l, w której przyłożone są normalne siły reakcji
b, c) rozłączone krzywki oraz przyłożone siły reakcji.
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 22
Warunek statycznej wyznaczalności mechanizmu płaskiego
Jak wynika z analizy reakcji, w każdej parze klasy 5-tej przy wyznaczaniu reakcji wystąpią dwie
niewiadome, natomiast w każdej parze klasy czwartej wystąpi jedna niewiadoma.
p5 p4
Jeżeli zatem w mechanizmie mamy par kinematycznych klasy 5 oraz par kinematycznych
2p5 p4 . Przekształcimy wzór na ruchliwość mecha-
klasy 4, to liczba niewiadomych reakcji wynosi
nizmu płaskiego i zapiszemy go w postaci:
3n p4 2p5 w (19)
Równanie (19) można interpretować następująco:
- 3n - liczba równań równowagi mechanizmu płaskiego o n członach ruchomych, ponieważ dla każ-
dego członu możemy napisać 3 warunki równowagi,
p4 2p5 - liczba niewiadomych dotyczących reakcji więzów,
-
Pr Mr
- w - liczba szukanych sił równoważących lub momentów równoważących przyłożonych do
członów napędzających, gdyż liczba członów napędzających jest równa ruchliwości mechanizmu w
Jeżeli w mechanizmie zastąpimy pary kinematyczne kl. 4 parami kl. 5, to równanie (19) przyjmie
postać:
3n 2p5 w (20)
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 23
Odłączamy od mechanizmu  w członów napędzających a pozostałą część łańcucha
kinematycznego podzielimy na grupy strukturalne. Ruchliwość grupy jak wiadomo wynosi
w 3n 2p5 0
Stąd otrzymujemy dla grupy równanie:
3n 2p5 (21)
Równanie (19) przestawia warunek statycznej wyznaczalności mechanizmu płaskiego
zawierającego pary kl. 4 i kl.5.
Równanie (20) przedstawia warunek statycznej wyznaczalności mechanizmu płaskiego
zawierającego wyłącznie pary kinematyczne kl.5, natomiast równanie (21) jest warunkiem
statycznej wyznaczalności grupy strukturalnej.
Jak z tego wynika, że statycznie wyznaczalny jest cały mechanizm albo
grupa strukturalna. Pojedynczy człon wyodrębniony z mechanizmu nie
jest statycznie wyznaczalny.
Jeżeli równania (19), (20) i (21) są spełnione to oznacza, że układ równań, z których
wyznaczamy niewiadome siły reakcji jest układem oznaczonym. Wtedy liczba niewiado-
mych jest równa liczbie warunków równowagi.
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 24
Analityczna metoda wyznaczania reakcji dynamicznych w parach
kinematycznych
Wyznaczanie sił reakcji w parach kinematycznych mechanizmów płaskich metodą anali-
tyczną zawiera następujące etapy:
- określenie ruchliwości i analiza strukturalna mechanizmu,
- sprawdzenie warunku statycznej wyznaczalności mechanizmu,
- analiza kinematyczna mechanizmu, określenie przyspieszeń liniowych środków mas oraz
przyspieszeń kątowych członów,
- obliczenie sił ciężkości,
- obliczenie sił bezwładności oraz momentów od sił bezwładności,
- określenie pozostałych sił zewnętrznych, momentów sił zewnętrznych,
- oswobodzenie od więzów każdego członu,
- zapisanie algebraicznych równań równowagi dla każdego członu w postaci:
n n n
P 0, P 0, M 0 (22)
i( j )x i( j )y i( j )
i 1 i 1 i 1
gdzie j  numer ruchomego członu mechanizmu.
- rozwiązanie układu równań algebraicznych i wyznaczenie reakcji w parach kinematycznych
oraz sił (momentów) równoważących.
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 25
Przykład 1
Należy wyznaczyć reakcje w parach kinematycznych mechanizmu czworoboku oraz moment
równoważący przyłożony do członu napędzającego 1 dla zadanego układu sił zewnętrznych Rys. 15.
Przeprowadzić analizę statyczną z pominięciem sił ciężkości i bezwładności.
Rys. 15. Czworobok przegubowy z zadanym
układem sił zewnętrznych
Rozwiązanie
3n 2p5 w (P1.1)
Sprawdzamy warunek statycznej wyznaczalności mechanizmu
3 3 = 2 4 + 1 = 9.

Warunek jest spełniony.
Zadanie może zostać rozwiązane analitycznie. Wymaga napisania dziewięciu warunków
równowagi.
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 26
Uwalniamy od więzów poszczególne człony mechanizmu (Rys. 16) a następnie piszemy warunki
równowagi (P1.1) Rozwiązujemy układ dziewięciu równań równowagi,
x y x y x y x y
R01 (R01, R01 ) R12 (R12 , R12 ) R32 (R32 , R32 ), R03 (R03 , R03 )
z których wyznaczamy reakcje: , ,
Mr1
oraz moment równoważący przyłożony do członu 1 - .
0, 0, 0
Pi(1)x Pi(1)y MiA(1)
0, 0, 0
Pi( 2 )x Pi( 2 )y MiB( 2 )
0, 0, 0 (P1.2)
Pi( 3 )x Pi( 3 )y MiC( 3 )
Rys. 16. Uwalnianie od więzów członów
mechanizmu czworoboku przegubowego.
Metoda analityczna.
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 27
Rys. 17. Rozwiązanie zadania w programie ForceEffect dla położenia mechanizmu jak na rys.16
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 28
Rys. 18. Rozwiązanie zadania w programie ForceEffect dla położenia mechanizmu jak na rys.16
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 29
Grafoanalityczna metoda wyznaczania uogólnionych sił reakcji
i uogólnionych sił równoważących
Przykład 2. Mechanizm jarzmowy z jarzmem w ruchu płaskim
Przeprowadzić analizę kinetostatyczną mechanizmu jarzmowego metodą grafoanalityczną w poło-
żeniu zadanym na Rys. 19. Wyznaczyć reakcje dynamiczne w parach kinematycznych oraz moment
Mr1
równoważący przyłożony do korby 1. Tarcie w parach kinematycznych należy pominąć.
AB
AS1
1 const BS2
Dane: prawo ruchu członu napędzającego , długości AB, BC, BD, , , masy
2
m1 m2 JS1 JS2
członów: , , momenty bezwładności członów względem środków mas: , , siła użyteczna
P3 . Zakładamy m3 JS3 0
. Mechanizm porusza się w płaszczyz
nie poziomej.
a) b)
Rys. 19. Mechanizm jarzmowy: a) schemat kinematyczny, b) plan przyspieszeń mechanizmu
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 30
Rozwiązanie
Mechanizm podobnie jak poprzednie składa się z członu napędzającego 1 oraz grupy strukturalnej
w 1
(2, 3). Ruchliwość . Mechanizm spełnia warunek statycznej wyznaczalności.
B1 m1aS1, B1 m1aS1 , MB1 JS1 1 0 MB1 0
człon 1: ,
B2 m2aS2 , B2 m2aS2 , MB2 JS2 2 , MB2 JS2 2
człon 2:
B3 0 B3 0 MB3 0 MB3 0
człon 3: , , ,
Rys. 20. Mechanizm jarzmowy obciążony siłami zewnętrznymi bez momentu równoważącego,
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 31
Na Rys. 21. przedstawiono uwolnioną od więzów grupę strukturalną (2, 3) z przyłożonymi siłami reak-
R03 t n
R12 R12
cji: , , . Warunek równowagi sił działających na grupę ma postać:
n t
i 2,3 12 12 2 2 03
P R R B P R 0 (P2.1)
Wykorzystując warunek równowagi momentu wszystkich sił względem punktu C obliczamy wartość
t
R
12
reakcji :
t
R12BC B2 h1 MB2 P2 h2 0 (P2.2)
M 0
ic 2,3 ;
P2 h2 B2h1 MB2
t
R12 (P2.3)
BC
Rys. 21. Układ sił zewnętrznych i reakcji przyłożonych do grupy (2, 3)
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 32
k
Następnie przyjmujemy podziałkę sił i rozwiązujemy graficznie równanie wektorowe (P2.4)
R1
n
R , R
12 03 R R
23 32
wyznaczając reakcje oraz i
n t
i 2,3 12 12 2 2 03
P (R ) (R ) (B ) (P ) (R ) 0 (P2.4)
P2 N

kR1
mm
(P2 )

a) b)
Rys. 22. Analiza sił przyłożonych do grupy strukturalnej (2, 3),
a) układ sił zewnętrznych i reakcji przyłożonych do grupy (2, 3), b) plan sił grupy (2, 3)
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 33
Równanie równowagi sił przyłożonych do członu napędzającego ma postać:
n t
R21 B1 R01 R01 0 (P2.5)
kR2
a jego rozwiązanie wykreślne po przyjęciu podziałki sił przedstawia Rys. 11b.
a) b)
Rys. 23. Analiza sił przyłożonych do członu napędzającego
a) uwalnianie od więzów członu napędzającego, b) plan sił członu napędzającego
Z równania równowagi momentów względem punktu A sił przyłożonych do członu 1 wyznaczamy
Mr1
moment równoważący .
Mr1 R21h3 0 (P2.6)
0
MiA
Mr1 R21h3 (P2.7)
stąd
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 34
R01
Mr1
R03 R32
Rys.24. Model mechanizmu jarzmowego w programie ForceEffect i analiza kinetostatyczna dla przyjętego
układu sił zewnętrznych w zadanym położeniu mechanizmu
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 35
Przykład 3. Analiza statyczna napędu koparki
Mechanizm napędu łyżki koparki przestawia rysu-
nek 25. Znane są wymiary członów mechanizmu
G
i ciężar łyżki wraz z urobkiem . Masy pozosta-
łych członów pominąć. Należy wyznaczyć reakcje
w parach kinematycznych oraz siły równoważące
potrzebne do napędu koparki.
Zadanie rozwiązać metodą graficzną
wykorzystując twierdzenie o trzech siłach
Twierdzenie o trzech siłach, wygodnie jest sto-
sować wtedy gdy rozważany układ mechaniczny
pozostaje w równowadze po przyłożeniu trzech
sił nierównoległych.
Zadanie można rozwiązać jeżeli znane są kierunki
dwóch sił i wartość jednej z nich.
Wyznaczymy kierunek trzeciej siły prowadząc
prostą przechodzącą przez jej punkt przyłożenia
i punkt przecięcia dwóch znanych kierunków.
Następnie napiszemy równanie równowagi
i rozwiążemy je wykreślnie rysując zamknięty
trójkąt sił. W ten sposób znajdziemy wartości
Rys. 25. Mechanizm napędu koparki
dwóch nieznanych sił.
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 36
Rozwiązanie
n 6, p4 0, p5 8, w 2
Sprawdzamy ruchliwość mechanizmu
Mechanizm ma dwa stopnie swobody czyli wymaga zastosowania dwóch napędów. W analizowa-
nym mechanizmie napędy są realizowane przez dwa siłowniki hydrauliczne złożone odpowiednio
z członów ruchomych 2 i 3 oraz 4 i 5.
Przeprowadzamy analizę statyczną mechanizmu koparki
R36
w dwóch etapach.
W pierwszym etapie przeprowadzimy analizę sił
przyłożonych do łyżki koparki 6.
Układ sił przyłożonych do łyżki jest układem środkowym
o środku w punkcie S1 i pozostaje w równowadze
zgodnie z równaniem
R16
G R16 R36 0 (P3.1)
IIS1D IIS1B
Równanie (P2.1) rozwiążemy wykreślnie
Rys. 26. Mechanizm napędu koparki
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 37
R36
(G ) (R16 ) (R36 ) 0 (P3.2)
IIS1D IIS1B
R16
Rys. 27. Mechanizm napędu koparki. Plan sił układu środkowego ośrodku w punkcie S1
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 38
W drugim etapie przeprowadzamy analizę sił przyłożonych do wysięgnika 1.
Ten układ sił jest również układem środkowym
S2
o środku w punkcie .
Równanie równowagi sił przyłożonych
do członu 1 przy unieruchomionym
siłowniku (2,3) ma postać
G R51 R01 0 (P3.3)
IIS2E IIS2A
R61
R01
Ponadto zachodzą związki
R63 R23 0
R51
R32 R12 0 (P3.4)
Dodając stronami równania (P3.4) otrzymamy
R63 R12 0 R63 R21 (P3.5)
lub
R61 G R36 (P3.6)
Na podstawie (P3.2) mamy
Rys. 26 (powtórzony)
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 39
R36
G (R51 ) (R01 ) 0 (P3.3)
IIS2E IIS2A
Równanie (P.3.3) rozwiązujemy wy-
kreślnie na rysunku 28. Siły równowa-
R16
żące wymagane na tłokach siłowników
R01
hydraulicznych wynoszą odpowiednio
R51
Pr1 R51; Pr 2 R36 (P3.7)
a) b)
Rys. 28. Analiza statyczna mechanizmu koparki: a) schemat
kinematyczny koparki: b) wspólny plan sił członu 6 i członu 1
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 40
Siłownik 2,3
R04 R51
R04 R51
R01
R01
Siłownik 4,5
Siła równoważąca
w siłowniku 4,5
Rys. 29a. Model i analiza statyczna koparki w programie w programie ForceEffect
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 41
R36
Siła równoważąca
w siłowniku 2,3
R21
R61
Rys. 29b. Model i analiza statyczna koparki w programie w programie ForceEffect
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 42
Środek układu sił
1N
Środek układu sił
Rys. 30. Model i analiza statyczna kleszczy w programie w programie Working Model
(widoczne dwa środkowe układy sił)
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 43
Rys. 31. Model i wyznaczenie siły równoważącej kleszczy (cięgno 7) w programie w programie SAM
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 44
METODA CULMANA
Metoda Culmana umożliwia rozwiązanie graficzne
zagadnienia równowagi czterech sił o znanych kierunkach
leżących w jednej płaszczyz
nie, nie tworzących układu
środkowego ani równoległego, z których tylko jedna siła
jest znana co do wartości a trzy są nieznane.
Warunkiem wystarczającym równowagi takiego układu sił jest, aby
wypadkowa dwóch dowolnie wybranych sił była w równowadze z wy-
padkową dwóch pozostałych sił nierównoległych. Obie wypadkowe
leżą na prostej Culmana łączącej punkty przecięcia pierwszej i drugiej
dwójki sił nierównoległych.
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 45
Przykład 4
P2 P3 P4
Wyznaczyć graficznie metodą Culmana wartości sił , , , które pozostają w równowadze
P1
ze znaną siłą .
P3
P1 P2 P4
Dane: Wartość, kierunek i zwrot siły , kierunki sił , ,
Rys. 32. Dowolny układ czterech sił pozostających w równowadze
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 46
Rozwiązanie
P1
1. znajdujemy odcinek prostej Culmana MN łączący punkt przecięcia prostej działania znanej siły
P2
oraz kierunku nieznanej siły (punkt M) oraz punkt przecięcia prostych działania nieznanych sił
P3 i (punkt N), Rys. 33,
P4
W1,2
P2
2. znajdujemy wykreślnie siłę oraz wypadkową
P1 P2 W1,2 , a W1,2 leży na prostej Culmana,
takie, że spełnione jest równanie:
W3,4 W1,2 W3,4 0
3. znajdziemy wypadkową korzystając z równania ,
W3,4 P3 P4
4. rozkładamy wypadkową na kierunki sił i
W3,4 P3 P4 .
5. zgodnie z równaniem:
P3 P4
6. Znajdujemy wykreślnie wartości sił i .
Wyznaczone siły spełniają równanie:
P1 P2 P3 P4 0 (P4.1)
Rys. 33. Rozwiązanie zagadnienia równowagi płaskiego dowolnego układu czterech sił metodą Culmana
z wykorzystaniem pomocniczej siły wypadkowej
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 47
Na Rys. 34 przedstawiono rozwiązanie tego samego zadania przyjmując, że w punktach M i N mamy
dwa środkowe układy sił pozostające w równowadze:
P1 P2 CNM 0 (P4.2)
CMN P3 P4 0 (P4.3)
Siły leżące na prostej Culmana
pozostają w równowadze
CNM CMN 0
Rys. 34. Rozwiązanie zagadnienia równowagi płaskiego
dowolnego układu czterech sił metodą Culmana
z wykorzystaniem dwóch środkowych układów sił.
CNM P2
Rozwiązując wykreślnie równanie (P4.2) otrzymamy wartości i a następnie rozwiązując
P3 P4
równanie (P4.3) otrzymamy wartości i . Wyznaczone siły spełniają warunek równowagi :
P1 P2 P3 P4 0 (P4.4)
Należy zwrócić uwagę, że w obydwu rozważanych rozwiązaniach wartości sił leżących na prostej
CNM W1,2 , CMN W3,4 .
Culmana są identyczne lecz różnią się zwrotem tzn.
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 48
Przykład 5. Mechanizm krzywkowy. Analiza statyczna metodą Culmana.
Przeprowadzić analizę statyczną mechanizmu krzywkowego metodą Culmana.
P2
Dane: siła , wymiary geometryczne mechanizmu.
Tarcie w parach należy pominąć.
Wyznaczyć reakcje w punktach C, B i F
Mr1
oraz moment równoważący .
Wyznaczamy prostą Culmana  c ,
która przechodzi przez punkty przecięcia
F
P2 R02
znanej siły i reakcji (punkt M)
R02
R12 C
oraz reakcji i (punkt N),
rys. 34
a) b)
Rys. 35. Analiza siłowa mechanizmu krzywkowego: a) mechanizm krzywkowy z popychaczem ostrzowym,
b) uwalnianie od więzów członów mechanizmu krzywkowego, wyznaczanie prostej Culmana
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 49
Rozwiązanie
P2
W etapie pierwszym znamy siłę i wyznaczamy siły
F
R02 , zgodnie z równaniem:
CNM
F
P2 R02 CNM 0 (P5.1)
CMN
W etapie drugim znamy siłę i wyznaczamy siły
C
R12 R02
, zgodnie z równaniem:
C
CMN R12 R02 0 (P5.2)
a) b)
Rys. 36. Analiza siłowa mechanizmu krzywkowego a) uwalnianie od więzów członów mechanizmu krzyw-
kowego, b) plany sił popychacza mechanizmu krzywkowego
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 50
Po dodaniu stronami równań (P5.1) i (P2.2) otrzymamy równanie
równowagi sił działających na popychacz 2 w postaci:
F C
P2 R02 R12 R02 0 (P5.3)
Rys. 37. Plan sił popychacza
zgodnie z równaniem (P5.3)
Równanie równowagi sił przyłożonych do krzywki 1 ma postać:
R01 R21 0 (P5.4)
R01 R21 0
stąd:
Moment równoważący przyłożony do krzywki wyznaczamy z warunku równowagi momentu
Mr1 R21h1 (P5.5)
0 Mr1 R21h1 0
względem punktu A: MiA(1) ; ostatecznie:
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 51
F
R02
Interpretacja
prostej Culmana
w ForceEffect
C
R02
R12
Mr1
R01
R01 R12
Rys. 38. Model mechanizmu krzywkowego (schematu zastępczego) i analiza statyczna
w programie ForceEffect
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 52
METODA MOCY CHWILOWYCH
Zasada mocy chwilowych. Jeżeli mechanizm złożony z członów
sztywnych połączonych ze sobą więzami dwustronnymi jest w równo-
wadze dynamicznej pod działaniem sił zewnętrznych: czynnych, bier-
nych, ciężkości i bezwładności, to suma mocy chwilowych tych sił jest
równa zeru co zapisujemy:
n
0 (23)
Nchwi
i 1
lub
n
vi Bi vi MPi i MBi i ) 0 (24)
(Pi
i 1
Zasada mocy chwilowych wyrażona równaniem (10) stanowi podstawę metody oblicze-
niowej nazywanej dalej metodą mocy chwilowych, pozwalającej wyznaczyć uogólnioną
siłę równoważącą działającą na mechanizm bez konieczności wyznaczania reakcji w pa-
rach kinematycznych.
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 53
Przykład 6. Metoda mocy chwilowych w zastosowaniu do mechanizmu jarzmowego
Mr1
Wyznaczyć metodą mocy chwilowych moment równoważący dla mechanizmu jarzmowego
dla danych jak w Przykładzie 2.
Rozwiązanie
Aby zapisać równanie mocy chwilowych dla mechanizmu, obciążamy go wszystkimi obliczonymi
Mr1
siłami zewnętrznymi a do członu napędzającego przykładamy dodatkowo moment równoważący .
W celu obliczenia mocy wszystkich uogólnionych sił konieczne jest zaznaczenie prędkości
liniowych wszystkich punktów przyłożenia sił oraz prędkości kątowych wszystkich członów
mechanizmu zgodnie z planem prędkości dla tego mechanizmu. Rys. 38b.
a) b)
Rys. 39. Schemat obliczeniowy mechanizmu jarzmowego metodą mocy chwilowych: mechanizm jarzmowy
obciążony siłami zewnętrznymi i momentem równoważącym, b) plan prędkości punktów przyłożenia siły
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 54
Równanie mocy chwilowych (24) ma dla powyższego mechanizmu postać:
Mr1 1 B1 vS1 B2 vS2 MB2 2 P2 vD 0 (P6.1)
Po rozpisaniu w (P6.1) iloczynów skalarnych mamy:
Mr1 1 cos (Mr1, 1 ) B1vS1 cos 1 B2vS2 cos 2 MB2 2 cos (MB2, 2 ) P2vD cos 3 0 (P6.2)
Na podstawie Rys. 39 odczytujemy wartości kątów:
(Mr1, 1 ) 0o , (MB2, 2 ) 0o , 1 90o , 2 147 3 180o .
,
Ostatecznie poszukiwany moment równoważący wynosi:
B2vS2 cos 2 MB2 2 P2vD cos 3
Mr1 (P6.3)
1
Rys. 40. Schemat obliczeniowy mechanizmu jarzmowego metodą mocy chwilowych
Opracował: J. Felis
Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 55
Mr1
Wyznaczony metodą mocy chwilowych moment równoważący winien
być identyczny z momentem obliczonym innymi metodami. Metodę tę moż-
na traktować jako sprawdzającą.
W równaniu mocy chwilowych zakłada się, że uogólniona siła równoważą-
ca ma zwrot zgodny z uogólnionym przemieszczeniem członu napędzające-
go. W rozpatrywanym przykładzie (równanie (P9.1)) założono, że moment
Mr1 1
ma zwrot zgodny z i otrzymany wynik obliczeń potwierdzi to w ten
sposób, że otrzymamy dodatnią wartość obliczanego momentu po podsta-
wieniu wartości liczbowych kątów , , .
1 2 3
Jeżeli w wyniku obliczeń uzyskamy ujemną wartość uogólnionej siły rów-
noważącej oznacza to, że zwrot tej siły jest przeciwny do zwrotu uogólnio-
nego przemieszczenia członu napędzającego.
Mamy wtedy przypadek siły hamującej lub momentu hamującego
Opracował: J. Felis