Teoria maszyn i mechanizmów Dynamika Mechanizmów. Analiza kinetostatyczna 1
DYNAMIKA MECHANIZMÓW I MASZYN
ANALIZA KINETOSTATYCZNA MECHANIZMÓW BEZ UWZGL
DNIENIA TARCIA
Cel i zakres analizy dynamicznej mechanizmów
Dynamika jest działem mechaniki zajmującej się badaniem ruchu członów,
mechanizmów i maszyn wywołanego działaniem układu sił. W odróżnieniu od
kinematyki, której celem jest jedynie obserwacja ruchu z geometrycznego
punktu widzenia, dynamika ustala związki przyczynowo skutkowe pomiędzy
układem sił działających na mechanizmy stanowiącymi przyczyny ruchu,
a realizowanym przez te mechanizmy ruchem czyli skutkami działania sił.
Problematyka dynamiki mechanizmów i maszyn obejmuje dwa
podstawowe zagadnienia nazywane zadaniami mechaniki:
Pierwsze zadanie dynamiki  Dla zadanych kinematycznych równań
ruchu mechanizmu gdy znane są przemieszczenia, prędkości
i przyspieszenia członów, należy wyznaczyć układ sił działających na
mechanizm, które ten ruch wywołują.
Drugie zadanie dynamiki  Gdy znany jest układ sił działających na
mechanizm i warunki początkowe ruchu czyli prędkość i położenie
początkowe mechanizmu, należy wyznaczyć kinematyczne równania ruchu
czyli przyspieszenia, prędkości i przemieszczenia członów.
Problematyka zawarta w pierwszym zadaniu dynamiki jest przedmiotem
tzw. Analizy Kinetostatycznej Mechanizmów. Natomiast zagadnienia
zawarte w drugim zadaniu dynamiki będą rozpatrywane w rozdziale
dotyczącym równań ruchu maszyny i ich całkowania.
Rodzaje i charakterystyka sił działających na mechanizm
Siłą uogólnioną nazywamy siłę skupioną powodującą przemieszczenie
liniowe bryły lub parę sił powodującą przemieszczenie kątowe bryły.
Przemieszczenia liniowe lub kątowe nazywamy również przemieszczeniami
uogólnionymi.
Opracowali: J. Felis H. Jaworowski
Teoria maszyn i mechanizmów Dynamika Mechanizmów. Analiza kinetostatyczna 2
Podział sił według kilku wybranych kryteriów:
1. Ze względu na miejsce przyłożenia sił działających na mechanizm dzielimy
je na siły wewnętrzne i zewnętrzne. Przez siły wewnętrzne rozumiemy
wyłącznie siły reakcji występujące w parach kinematycznych mechanizmu.
Wszystkie pozostałe siły nazywamy zewnętrznymi.
Siły wewnętrzne reakcji mają tylko składowe normalne do powierzchni
styku członów, gdy tarcie pomijamy, lub składowe normalne i styczne
w przypadku, gdy tarcie uwzględniamy. Siły zewnętrzne są przyłożone
w dowolnych punktach członów poza obszarem bezpośredniego styku
w parze kinematycznej.
2. Ze względu na moc siły uogólnionej, siły możemy podzielić na siły czynne
N > 0
czyli napędzające, których moc jest dodatnia ( ) oraz siły bierne
N < 0
czyli siły oporu, których moc jest ujemna ( ).
Siły czynne są z reguły siłami zewnętrznymi i są to najczęściej siły
rozwijane przez silniki napędowe np. spalinowe, elektryczne,
pneumatyczne
i hydrauliczne i wiatrowe, wodne i inne.
Siły bierne są to zewnętrzne siły oporów użytecznych nazywane siłami
oporów technologicznych lub siły oporów szkodliwych np. zewnętrzny
opór ruchu samochodu lub wewnętrzny opór tarcia w parze
kinematycznej.
Przykładami użytecznych zewnętrznych oporów technologicznych są np.
opory skrawania w obrabiarkach, opory kruszenia w kruszarkach, siły
oporów sprężania w pompach, sprężarkach itp.
3. Ze względu na przyczynę powstawania siły działające na mechanizmy
można podzielić na:
- siły ciężkości, czyli siły pola grawitacyjnego (G = mg ) zgodnie z prawem
grawitacji zależne od położenia, w przypadku małych przemieszczeń
przyjmujemy je jako stałe ponieważ przyspieszenie ziemskie przyjmujemy
g = const
,
- siły tarcia suchego, których wartość jest w przybliżeniu stała a zwrot
zależny od prędkości względnej członów zgodnie z prawem Coulomba,
- siły tarcia wiskotycznego proporcjonalne do prędkości (pierwszej
pochodnej przemieszczenia),
- siły bezwładności proporcjonalne do przyspieszenia (drugiej pochodnej
przemieszczenia),
- siły zależne równocześnie od szeregu parametrów np. czasu,
przemieszczenia prędkości, przyspieszenia itp.
Opracowali: J. Felis H. Jaworowski
Teoria maszyn i mechanizmów Dynamika Mechanizmów. Analiza kinetostatyczna 3
a) b)
G1,G2 ,G3
Rys. 1b - siły ciężkości działające
P3
Rys. 1a - Siła oporów użytecznych .
na poszczególne człony mechanizmu.
Jest to siła bierna oporów sprężania.
c) d)
Rys. 1c  siły bezwładności członów
Rys. 1d  wszystkie siły zewnętrzne
B1, B2 , B3 ,
oraz moment od sił przyłożone do mechanizmu w tym
Mr1
również moment równoważący ,
MB2
bezwładności - , działający
przyłożony do członu napędzającego.
na człon 2.
Rys. 1. Siły zewnętrzne działające na mechanizm korbowo-suwakowy
Opracowali: J. Felis H. Jaworowski
Teoria maszyn i mechanizmów Dynamika Mechanizmów. Analiza kinetostatyczna 4
Siły wewnętrzne czyli reakcje w parach kinematycznych oznaczono
Rkl
symbolami, które można ogólnie zapisać jako . Indeks dolny symbolu siły
wskazuje numery członów, które na siebie oddziaływają. Przykładowo symbol
R12 , oznacza reakcję z jaką człon 1 działa na człon 2 , a symbol R01 ,
oznacza reakcje podstawy na człon 1.
Rys. 2. Siły wewnętrzne w parach kinematycznych mechanizmu korbowo- suwakowego
ANALIZA KINETOSTATYCZNA MECHANIZMÓW BEZ UWZGL
DNIENIA TARCIA
Cel i założenia analizy kinetostatycznej
Celem analizy sił działających na poruszające się mechanizmy jest
wyznaczenie reakcji w parach kinematycznych oraz uogólnionej siły
Pr Mr
równoważącej (siły lub momentu ) przyłożonej do członu
napędzającego przy zadanym prawie ruchu mechanizmu i układzie sił
zewnętrznych. Taka analiza jest więc rozwiązaniem pierwszego zadania
dynamiki.
W mechanizmach i maszynach wolnobieżnych, gdzie siły bezwładności są
małe w porównaniu z pozostałymi siłami zewnętrznymi często w obliczeniach
przybliżonych są one pomijane i wówczas analiza siłowa nosi nazwę analizy
statycznej.
W mechanizmach i maszynach szybkobieżnych siły bezwładności są duże
i nie mogą zostać pominięte. Analiza siłowa mechanizmów z uwzględnieniem
sił bezwładności nosi nazwę analizy kinetostatycznej.
Opracowali: J. Felis H. Jaworowski
Teoria maszyn i mechanizmów Dynamika Mechanizmów. Analiza kinetostatyczna 5
Zasada d Alemberta dla członów mechanizmów w ruchu płaskim
mi
Równania dynamiczne ruchu płaskiego i  tego członu o masie oraz
Jsi
o masowym momencie bezwładności względem środka masy mają
postać:
Pi + Ri = miasi
(1)
MPi + MRi = Jsiµi
(2)
Równanie (1) jest dynamicznym równaniem Newtona postępowego ruchu
unoszenia członu natomiast równanie (2) jest dynamicznym równaniem
Newtona obrotowego ruchu względnego członu wokół jego środka masy.
Pi - wektor główny sił zewnętrznych działających na człon i,
Ri - wektor główny sił reakcji działających w parach kinemat. członu i,
aSi - przyspieszenie środka masy członu i,
MPi - moment główny sił zewnętrznych działających na człon i,
MRi - moment główny sił reakcji działających w parach kinemat. członu i,
µi - przyspieszenie kÄ…towe czÅ‚onu i.
Po przeniesieniu wyrazów równań (1) i (2) na lewą stronę otrzymamy:
Pi + Ri - miaSi = 0
(3)
MPi + MRi - JSiµi = 0
(4)
=
Bi = -miaSi oraz M Bi -
JSi µ
OznaczajÄ…c: (5),(6)
i
Ostatecznie równania (1) i (2) przyjmą postać :
Pi + Ri + Bi = 0
(7)
MPi + MRi + MBi = 0
(8)
Bi MBi ,
Siłę nazywamy siłą bezwładności, natomiast moment
momentem od sił bezwładności lub parą sił bezwładności. Siłę i moment
sił bezwładności nazywamy również siłami d Alemberta. Są to siły, w sensie
uogólnionym, o wartości równej odpowiednim iloczynom mas i przyspieszeń,
w sensie uogólnionym, o zwrotach przeciwnych do zwrotów tych
przyspieszeń.
Zasada d Alemberta. W czasie ruchu dowolnego członu mechanizmu siły
zewnętrzne działające na ten człon równoważą się z odpowiednimi siłami
reakcji w parach kinematycznych oraz siłami bezwładności.
Opracowali: J. Felis H. Jaworowski
Teoria maszyn i mechanizmów Dynamika Mechanizmów. Analiza kinetostatyczna 6
Równania (7) i (8) przedstawiają zasadę d Alemberta: pierwsze dla ruchu
postępowego a drugie dla ruchu obrotowego.
Zgodnie z zasadą d Alemberta zagadnienia dynamiki zapisane równaniami
(1) i (2) zostały sprowadzone do zagadnień statyki czyli równowagi statycznej
układu sił, zapisanych równaniami (7) i (8).
Na podstawie równań (7) i (8) przeprowadza się analizę kinetostatyczną
mechanizmu. Jeżeli siły bezwładności są małe i pomijamy je w rozważaniach
wówczas równania te przyjmują postać:
Pi + Ri = 0
(9)
MPi + MRi = 0
(10)
Na podstawie równań (9) i (10) przeprowadza się analizę statyczną
poruszajÄ…cego siÄ™ mechanizmu.
Zasady wyznaczania sił bezwładności w ruchu postępowym, obrotowym
i płaskim
Najprostszym mechanizmem, którego człony wykonują wszystkie możliwe
ruchy na płaszczyz
nie jest mechanizm korbowo-suwakowy.
a)
É1 `" const
b)
Rys. 3. Mechanizm korbowo-suwakowy oraz przyspieszenia jego członów
Opracowali: J. Felis H. Jaworowski
Teoria maszyn i mechanizmów Dynamika Mechanizmów. Analiza kinetostatyczna 7
Siły bezwładności działające na człon w ruchu obrotowym
Przypadek ogólny przedstawiony na Rys. 4 dotyczy sytuacji, gdy człon 1
µ1 `" 0
wykonuje ruch obrotowy zmienny: É1 `" const, i Å›rodek masy
AS1 `" 0 m1
członu nie leży na osi obrotu - . Znana jest masa członu oraz
2
JS1 = m1 Å" iS1 ,
jego moment bezwładności względem środka masy
iS1
gdzie - promień bezwładności.
n t
B1 = -m1aS1 = -m1( aS1 + aS1 ) = B1n + B1t (11)
(12)
MB1 = -JS1 Å"µ1
Rys. 4 Siły bezwładności działające na człon w ruchu obrotowym
Przypadki szczególne obciążenia członu siłami bezwładności:
a) czÅ‚on wykonuje ruch jednostajny É1 = const µ1 = 0 i Å›rodek masy nie leży
AS1 `" 0 B1 = -m1aS1 = B1n , oraz MB1 = 0
na osi obrotu ; wtedy ,
b) czÅ‚on wykonuje ruch jednostajny É1 = const µ1 = 0 i Å›rodek masy leży na
AS1 = 0 B1 = 0 MB1 = 0
osi obrotu ; wtedy , oraz ,
É1 `" µ1 `" 0
c) człon wykonuje ruch zmienny const, i środek masy leży na osi
B1 = 0 MB1 = -JS1 Å"µ1 .
obrotu ; wtedy , oraz
Siły bezwładności działające na człon w ruchu płaskim
Człon 2 wykonuje ruch płaski, znana jest masa członu m oraz jego
2
2
JS2 = m2 Å" iS2
moment bezwładności względem środka masy ,
iS2
gdzie - promień bezwładności.
(13)
B2 = -m2aS2
(14)
MB2 = -JS2 Å" µ2
Rys. 5. Siły bezwładności działające na człon w ruchu płaskim
Opracowali: J. Felis H. Jaworowski
Teoria maszyn i mechanizmów Dynamika Mechanizmów. Analiza kinetostatyczna 8
Siły bezwładności działające na człon w ruchu postępowym
Człon 3 wykonuje ruch postępowy zmienny po prostoliniowej prowadnicy
aS3 `" 0
, znana jest masa członu 3.
Siły bezwładności wynoszą:
B3 = -m3aS3
(15)
MB3 = -JS3 Å" 0 = 0
(16)
W przypadku szczególnym, kiedy człon porusza się ruchem postępowym
aSi = 0 Bi = 0
jednostajnym po prostoliniowej prowadnicy tzn. , wtedy .
Rys. 6. Siła bezwładności działająca na człon w ruchu postępowym prostoliniowym
W celu obliczenia wartości liczbowych sił bezwładności i momentów od sił
bezwładności należy dokładnie określić masę członu, położenie środka masy
oraz wartość masowego momentu bezwładności obliczonego względem osi
przechodzącej przez środek masy
Rys. 7. Przykład wyznaczania masy, położenia środka masy i momentu bezwładności
członu w programie typu CAD.
Opracowali: J. Felis H. Jaworowski
Teoria maszyn i mechanizmów Dynamika Mechanizmów. Analiza kinetostatyczna 9
Zasady uwalniania od więzów członów mechanizmów płaskich
Uwalnianie członów od więzów polega na ich odrzuceniu i zastąpieniu si-
łami oddziaływania sąsiednich członów, które nazywamy siłami reakcji.
Siły reakcji są siłami wewnętrznymi, które zgodnie z trzecim prawem
Newtona, nazywanym zasadą akcji i reakcji, równoważą się nawzajem.
Wprowadzimy następującą umowę:
Rkl , Mkl - jest to siła uogólniona z jaką człon k działa na człon l,
Rlk ,Mlk
- jest to siła uogólniona z jaką człon l działa na człon k.
Rkl = - Rlk Rkl + Rlk = 0
lub (17)
Mkl = -Mlk Mkl + Mlk = 0
PARA KINEMATYCZNA KL. 5 OBROTOWA - PRZEGUB WALCOWY
Jeżeli pominiemy tarcie to kierunek reakcji przechodzi przez oś przegubu
i jest do niej prostopadły. Nieznane są: kierunek reakcji oraz jej wartość
(dwie niewiadome).
a) b)
c)
Rys. 8. Uwalnianie od więzów członów w parze kinematycznej obrotowej
Rkl =
a) dwa człony k i l połączone przegub. pomiędzy którymi działa siła reakcji - Rlk
,
x x y y
Rkl =
b) dwa rozłączone człony oraz sposób przyłożenia sił reakcji - Rlk Rkl = - Rlk
,
stosowany w analitycznej metodzie kinetostatyki,
n n t t
Rkl =
c) dwa rozłączone człony oraz sposób przyłożenia sił reakcji, - Rlk Rkl = - Rlk
,
stosowany w grafoanalitycznej metodzie kinetostatyki, składowe reakcji są odpowiednio
n t
Rkl Rkl
równoległe ( ) oraz prostopadłe ( ) do członu k lub l.
Opracowali: J. Felis H. Jaworowski
Teoria maszyn i mechanizmów Dynamika Mechanizmów. Analiza kinetostatyczna 10
Para kinematyczna kl. 5 postępowa - suwak i prowadnica
Możliwe są trzy warianty uwalniania od więzów pary postępowej.
Wariant A
Znany jest punkt przyłożenia siły reakcji w środku suwaka oraz jej kie-
runek, który w przypadku pominięcia tarcia jest prostopadły do pro-
wadnicy.
Nieznane są wartość siły oraz wartość momentu pary sił, który musimy
przyłożyć aby układ był w równowadze - dwie niewiadome. Ten sposób uwal-
niania od więzów jest wygodny przy rozwiązywaniu zadań bez uwzględnienia
tarcia.
a) b) c)
Rys. 9. Uwalnianie od więzów członów w parze postępowej wg wariantu A
a) para kinematyczna, suwak k i prowadnica l, w której działa siła reakcji
Rkl = - Rlk , oraz moment pary sił Mkl = - Mlk .
b,c) dwa rozłączone człony z przyłożonymi siłami reakcji.
Pk
to dowolna siła zewnętrzna działająca na człon k.
Opracowali: J. Felis H. Jaworowski
Teoria maszyn i mechanizmów Dynamika Mechanizmów. Analiza kinetostatyczna 11
Wariant B
Zakłada się, że suwak k styka się z prowadnicą l jedynie na swoich krawę-
dziach w punktach M i N. Znane są kierunki reakcji, które są prostopadłe
do prowadnicy (w przypadku gdy tarcie nie występuje).
Nieznane są wartości dwóch sił reakcji - dwie niewiadome.
Proponowany sposób oswobadzania od więzów jest wygodny przy rozwią-
zywaniu zadań z uwzględnieniem tarcia oczywiście po odchyleniu reakcji
o kÄ…t tarcia.
a) b) c)
Rys. 10. Uwalnianie od więzów członów w parze postępowej wg wariantu B
a) para kinematyczna , suwak k i prowadnica l, w której działają siły reakcji
M M N N
Rkl = -Rlk , oraz Rkl = -Rlk przyłożone w punktach M i N,
b,c) dwa rozłączone człony z przyłożonymi siłami reakcji.
Model suwaka pokazano w przekroju, aby wyjaśnić dlaczego reakcje wystę-
pują tylko na jego krawędziach.
Opracowali: J. Felis H. Jaworowski
Teoria maszyn i mechanizmów Dynamika Mechanizmów. Analiza kinetostatyczna 12
Wariant C
W wariancie tym, który stosowany jest najrzadziej przyjmuje się, że znamy
kierunek reakcji, który jest prostopadły do prowadnicy (w przypadku gdy
tarcie pominięto).
Nieznane są: wartość siły oraz jej punkt przyłożenia - dwie niewiadome.
a) b) c)
Rys. 11. Uwalnianie od więzów członów w parze postępowej wg wariantu C
M M
Rkl = -Rlk
a) para kinematyczna , suwak k i prowadnica l, w której działa siła reakcji ,
przyłożona w punkcie B,
b,c) dwa rozłączone człony z przyłożonymi siłami reakcji.
Warianty A, B, C uwalniania od więzów pary postępowej są równoważne
i można przejść od jednego wariantu do drugiego. W tym celu wystarczy po-
równać równania momentów napisane dla skrajnych punktów suwaka leżą-
cych na osi prowadnicy jak to pokazano na Rys. 12.
a) b) c)
Rys. 12. Równoważność wariantów uwalniania od więzów pary postępowej
Opracowali: J. Felis H. Jaworowski
Teoria maszyn i mechanizmów Dynamika Mechanizmów. Analiza kinetostatyczna 13
Wariant D (szczególny pary kinematycznej suwak-prowadnica).
Znany jest punkt przyłożenia reakcji w środku przegubu i jej kierunek
prostopadły do prowadnicy (w przypadku gdy tarcie nie występuje).
Nieznana jest wartość reakcji - jedna niewiadoma.
a) b) c)
Rys. 13. Uwalnianie od więzów członów w parze postępowej wg wariantu D
Rkl =
a) para kinematyczna, suwak k i prowadnica l, w której działa siła reakcji - Rlk
,
b,c) dwa rozłączone człony oraz przyłożone siły reakcji.
Para kinematyczna kl. 4 (wyższa)
W tym przypadku znany jest punkt przyłożenia reakcji oraz jej kieru-
nek. Punktem przyłożenia reakcji jest punkt styku, kierunek reakcji leży na
prostej n-n normalnej do obydwu krzywizn i przechodzącej przez ich środki.
Taki kierunek reakcji dotyczy przypadku analizy z pominięciem tarcia.
Nieznana jest natomiast wartość siły reakcji - jedna niewiadoma.
a) b) c)
Rys. 14. Uwalnianie od więzów członów w parze wyższej kl.
Rkl =
a) para kinematyczna dwie krzywki k i l, w której działa normalna siła reakcji - Rlk
,
b,c) rozłączone krzywki oraz przyłożone siły reakcji.
Opracowali: J. Felis H. Jaworowski
Teoria maszyn i mechanizmów Dynamika Mechanizmów. Analiza kinetostatyczna 14
Warunek statycznej wyznaczalności mechanizmu płaskiego
Jak wynika z analizy przeprowadzonej w poprzednim rozdziale, w każdej
parze klasy 5-tej przy wyznaczaniu reakcji wystÄ…piÄ… dwie niewiadome,
natomiast w każdej parze klasy czwartej wystąpi jedna niewiadoma. Jeże-
p5 p4
li zatem w mechanizmie mamy par kinematycznych kl. 5 oraz par ki-
2p5 + p4 . Prze-
nematycznych kl. 4, to liczba niewiadomych reakcji wynosi
kształcimy wzór na ruchliwość mechanizmu płaskiego i zapiszemy go w po-
staci:
3n = p4 + 2p5 + w
(18)
Równanie (18) można interpretować następująco:
- 3n - liczba równań równowagi mechanizmu płaskiego o n członach
ruchomych, ponieważ dla każdego członu możemy napisać 3 warunki
równowagi,
p4 + 2p5 - liczba niewiadomych dotyczących reakcji więzów,
-
Pr
- w - liczba szukanych sił równoważących lub momentów równoważą-
Mr
cych przyłożonych do członów napędzających, gdyż liczba członów
napędzających jest równa ruchliwości mechanizmu w .
Jeżeli w mechanizmie zastąpimy pary kinematyczne kl. 4 parami kl. 5, to
równanie (18) przyjmie postać:
3n = 2p5 + w
(19)
Odłączamy od mechanizmu  w członów napędzających a pozostałą część
łańcucha kinematycznego podzielimy na grupy strukturalne. Ruchliwość
grupy jak wiadomo wynosi w = 3n - 2p5 = 0 . StÄ…d otrzymujemy dla grupy
równanie:
3n = 2p5
(20)
Równanie (18) przestawia warunek statycznej wyznaczalności mechani-
zmu płaskiego zawierającego pary kl. 4 i kl.5.
Równanie (19) przedstawia warunek statycznej wyznaczalności mechani-
zmu płaskiego zawierającego wyłącznie pary kinematyczne kl.5, natomiast
równanie (20) jest warunkiem statycznej wyznaczalności grupy strukturalnej.
Jak z tego wynika statycznie wyznaczalny jest cały mechanizm albo
grupa strukturalna. Pojedynczy człon wyodrębniony z mechanizmu nie
jest statycznie wyznaczalny. Jeżeli równania (18), (19) i (20) są spełnione
to oznacza, że układ równań, z których wyznaczamy niewiadome siły reakcji
jest układem oznaczonym. Wtedy liczba niewiadomych jest równa liczbie wa-
runków równowagi.
Opracowali: J. Felis H. Jaworowski
Teoria maszyn i mechanizmów Dynamika Mechanizmów. Analiza kinetostatyczna 15
Analityczna metoda wyznaczania reakcji dynamicznych w parach
kinematycznych
Wyznaczanie sił reakcji w parach kinematycznych mechanizmów płaskich
metodą analityczną zawiera następujące etapy:
- określenie ruchliwości i analiza strukturalna mechanizmu,
- sprawdzenie warunku statycznej wyznaczalności mechanizmu,
- analiza kinematyczna mechanizmu, określenie przyspieszeń liniowych
środków mas oraz przyspieszeń kątowych członów,
- obliczenie sił ciężkości,
- obliczenie sił bezwładności oraz momentów od sił bezwładności,
- określenie pozostałych sił zewnętrznych, momentów sił zewnętrznych,
- oswobodzenie od więzów każdego członu,
- zapisanie algebraicznych równań równowagi dla każdego członu
w postaci:
n n n
Pi( j )x = 0, Pi( j )y = 0, Mi( j ) = 0
" " "
(21)
i =1 i =1 i =1
gdzie j  numer ruchomego członu mechanizmu.
- rozwiązanie układu równań algebraicznych i wyznaczenie reakcji w parach
kinematycznych oraz sił (momentów) równoważących.
Przykład 1
Należy wyznaczyć reakcje w parach kinematycznych mechanizmu czworo-
boku oraz moment równoważący przyłożony do członu napędzającego 1 dla
zadanego układu sił zewnętrznych Rys. 15. Przeprowadzić analizę statyczną
z pominięciem sił ciężkości i bezwładności.
Rys. 15. Czworobok przegubowy z zadanym układem sił zewnętrznych
Opracowali: J. Felis H. Jaworowski
Teoria maszyn i mechanizmów Dynamika Mechanizmów. Analiza kinetostatyczna 16
RozwiÄ…zanie
Sprawdzamy warunek (19) statycznej wyznaczalności mechanizmu:
3Å"3 = 2Å"4 + 1 = 9. Warunek jest speÅ‚niony. Zadanie może zostać rozwiÄ…zane
analitycznie. Wymaga napisania dziewięciu warunków równowagi.
Uwalniamy od więzów poszczególne człony mechanizmu (Rys. 16)
a następnie piszemy warunki równowagi:
Pi(1)x = 0, Pi(1)y = 0, MiA(1) = 0
" " "
Pi(2 )x = 0, Pi(2 )y = 0, MiB(2 ) = 0
" " "
(P1.1)
Pi(3 )x = 0, Pi(3 )y = 0, MiC(3 ) = 0
" " "
Rozwiązujemy układ dziewięciu równań algebraicznych, z których wyzna-
x y x y x y
R01 (R01, R01 ) R12 (R12 , R12 ) R32 (R32 , R32 )
czamy reakcje: , , ,
x y
R03 (R03 , R03 ) Mr1
oraz moment równoważący przyłożony do członu 1 - .
Rys. 16. Uwalnianie od więzów członów mechanizmu czworoboku przegubowego.
Metoda analityczna.
Opracowali: J. Felis H. Jaworowski
Teoria maszyn i mechanizmów Dynamika Mechanizmów. Analiza kinetostatyczna 17
Grafoanalityczna metoda wyznaczania reakcji dynamicznych w parach
kinematycznych.
Grafoanalityczna metoda analizy kinetostatycznej mechanizmów polega na
rysowaniu tzw. planów sił. Podobnie jak w metodzie planów prędkości
i przyśpieszeń niektóre siły obliczane są z równań algebraicznych a pozostałe
wyznaczane na podstawie wykreślnych rozwiązań równań wektorowych.
Metoda grafoanalityczna wyznaczania sił wymaga wprowadzenia podziałki
kR
rysunkowej wektorów sił .
P N
îÅ‚ Å‚Å‚
kR =
(22)
ïÅ‚mm śł
(P )
ðÅ‚ ûÅ‚
[N]
gdzie: P - moduł działającej siły ,
[mm ]
(P) - długość rysunkowa wektora siły
Tok postępowania w metodzie grafoanalitycznej jest początkowo
identyczny jak w metodzie analitycznej, natomiast w drugim etapie obliczeń,
odmiennym niż w metodzie analitycznej należy:
- podzielić mechanizm na grupy strukturalne odrzucając człony napędzają-
ce,
- ustalić sposób zrównoważenia członu napędzającego poprzez przyłożenie
Pr Mr
siły równoważącej lub momentu równoważącego ,
- oswobodzić od więzów poszczególne grupy strukturalne mechanizmu
oraz człon napędzający,
- analizę sił rozpocząć od grupy najbardziej oddalonej od członu
napędzającego, kolejno dochodząc na końcu analizy do członu
napędzającego.
Siła równoważąca jest to siła, która zapewnia równowagę dynamiczną
mechanizmu obciążonego układem sił zewnętrznych przy założonym prawie
ruchu mechanizmu.
Moment równoważący jest to moment, który zapewnia równowagę
dynamiczną mechanizmu obciążonego siłami zewnętrznymi przy założonym
prawie ruchu członu napędzającego.
Opracowali: J. Felis H. Jaworowski
Dynamika Mechanizmów. Analiza kinetostatyczna Strona 18
Dla członów k i l tworzących grupę klasy 2, należy w ogólnym przypadku
napisać układ dwóch wektorowych równań równowagi sił działających na te
człony oraz dwóch algebraicznych równań momentu sił w postaci:
n n
Pi( k ) + Rlk = 0 Pi( l ) + Rkl = 0
" "
, (23)
k =1 l =1
n n
Mi( k ) = 0 Mi( l ) = 0
" "
, (24)
k =1 l =1
n n
Pi( k ) , Pi( l ) - odpowiednio suma geometryczna sił działających
" "
gdzie:
k =1 l =1
na człon k i l bez sił reakcji działających pomiędzy członami k i l,
Rlk , Rkl
- odpowiednio siły reakcji działające pomiędzy członami k i l,
Rlk = -Rkl .
Po dodaniu stronami równań (23) otrzymamy:
n n
Pi( k ) + Pi( l ) = 0
" "
(25)
k =1 l =1
co oznacza, że suma wektorowa wszystkich sił działających na grupę jest
n
Pi( k ,l ) = 0
"
w równowadze. Można to również zapisać w postaci:
i =1
W toku dalszej analizy należy:
- rozwiązać równania wektorowe (25) dla poszczególnych grup
wyznaczajÄ…c reakcje dynamiczne w parach kinematycznych,
- rozwiązać równania równowagi dla członu napędzającego wyznaczając
Mr1 Pr1
reakcje w parze kinematycznej oraz odpowiednio lub :
n
Pi(1) = 0
"
(26)
i =1
n
"M = 0
i(1)
(27)
i =1
UWAGA: Na każdym etapie obliczeń można przystąpić do rozwiązywania
równań wektorowych (25) lub (26) pod warunkiem, że liczba niewiadomych
jest równa dwa. Jeżeli liczba niewiadomych jest większa od dwóch należy
zapisać dodatkowe algebraiczne równania momentów sił.
Opracowali: J. Felis H. Jaworowski
Dynamika Mechanizmów. Analiza kinetostatyczna Strona 19
Przykład 2. Mechanizm korbowo-suwakowy.
Przeprowadzić analizę kinetostatyczną mechanizmu korbowo-suwakowego
metodą grafoanalityczną w położeniu zadanym na Rys. 17. Wyznaczyć reakcje
Mr1
dynamiczne w parach kinematycznych oraz moment równoważący przyłożony
do korby 1. Tarcie w parach kinematycznych należy pominąć.
Õ1,É1,µ1 ,
Dany jest: opis ruchu członu napędzającego w postaci funkcji:
m1, m2 , m3 , momenty
AB, BC, AS1, BS2
długości członów: , masy członów
JS1, JS2 oraz siła oporu P3 .
bezwładności członów względem środków mas: ,
Mechanizm pracuje w płaszczyz
nie pionowej.
Rys. 17. Mechanizm korbowo-suwakowy
RozwiÄ…zanie
Mechanizm składa się z członu napędzającego 1 oraz grupy strukturalnej
w = 1
(2, 3) klasy 2. Ruchliwość mechanizmu jest równa .
Warunek statycznej wyznaczalności mechanizmu określony równaniem
(19) jest speÅ‚niony, ponieważ: 3·3 = 2·4 +1 = 9.
Obliczamy siły bezwładności oraz momenty od sił bezwładności członów :
czÅ‚on 1: B1 = -m1aS1 , B1 = m1aS1 MB1 = -JS1µ1 MB1 = JS1µ1
B2 = -m2aS2 , B2 = m2aS2 MB2 = -JS2µ2 MB2 = JS2µ2
człon 2:
B3 = -m3aS3 , B3 = m3aS3 MB3 = -JS30 = 0 MB3 = 0
człon 3:
Wyznaczamy siły ciężkości: G1 = m1g G2 = m2g G3 = m3g .
, ,
Rys. 18. Mechanizm korbowo-suwakowy z układem sił zewnętrznych bez momentu
równoważącego.
Opracowali: J. Felis H. Jaworowski
Dynamika Mechanizmów. Analiza kinetostatyczna Strona 20
Uwalniamy od więzów grupę strukturalną (2, 3), (Rys. 19a), rozkładając re-
akcje w przegubie B na składowe styczne i normalne. Taki rozkład reakcji
w metodzie grafoanalitycznej ułatwia rozwiązanie zadania.
a)
Rys. 19. Analiza sił działających na grupę strukturalną (2, 3):
a) układ sił zewnętrznych i reakcji przyłożonych do grupy (2, 3),
Zapisujemy wektorowe równania równowagi sił działających na człony 2 i 3:
n t
Ri(2 ) = R12 + R12 + B2 + G2 + R32 = 0
"
dla członu 2: (P2.1a)
n
Ri(3 ) = R23 + B3 + G3 + P3 + R03 = 0
"
dla członu 3: (P2.1b)
Po dodaniu stronami równań (P2.1) otrzymujemy warunek równowagi sił
działających na grupę:
n t n
Ri( 2,3 ) = R12 + R12 + B2 + G2 + R32 + R23 + B3 + G3 + P3 + R03 = 0
"
( P2.2)
R32 + R23 = 0
Reakcje wewnętrzne w grupie znoszą się, gdyż . ( P2.3)
Równanie (P2.2) wygodnie jest zapisać w ten sposób, aby nieznane co do
wartości siły występowały na początku i końcu równania.
n t
R12 R12 R03
W równaniu tym nieznane są trzy wartości sił , oraz .
t
R12
Wyznaczymy wartość składowej stycznej na podstawie algebraicznego
warunku równowagi momentów wszystkich sił dla członu 2 obliczonego
względem punktu, należącego do wspólnej pary kinematycznej. W tym
wypadku jest to punkt C.
n
t
MiC(2 ) = 0
"
R12 Å" BC + G2 Å"h1 - B2 Å" h2 - MB2 = 0
, (P2.4)
i =1
Å" + -
B h M G2 Å" h
1
t
R12 = 2 2 B2
StÄ…d otrzymujemy: (P2.5)
BC
Opracowali: J. Felis H. Jaworowski
Dynamika Mechanizmów. Analiza kinetostatyczna Strona 21
t
R12
Po obliczeniu wartości siły równanie (P2.2) przyjmuje postać:
n t n
R12 + R12 + B2 + G2 + B3 + G3 + P3 + R03 = 0
(P2.6)
Ponieważ w równaniu (P2.6) mamy już tylko dwie niewiadome, możemy je
rozwiązać graficznie przyjmując podziałkę rysunkową sił. Podziałkę
obliczamy w oparciu o dowolną znaną siłę działającą na grupę np.:
B2 îÅ‚ N
Å‚Å‚
kR1 =
.
ïÅ‚mm śł
(B2 )
ðÅ‚ ûÅ‚
Następnie w celu wykreślnego rozwiązania równania (P2.6) obliczamy
wartości rysunkowe wszystkich znanych sił i zapisujemy równanie w postaci:
n t n
(R12 ) + (R12 ) + (B2 ) + (G2 ) + (B3 ) + (G3 ) + (P3 ) + (R03 ) = 0
(P2.7)
b)
Rys. 19 b. Plan sił grupy (2, 3).
Rysowanie wieloboku sił rozpoczynamy od pierwszej znanej całkowicie
t
R12
siły, w tym wypadku jest to siła ( ) a kończymy na ostatniej znanej
P3
całkowicie sile, w tym wypadku jest to siła ( ).
W celu zamknięcia wieloboku wektorowego opisanego równaniem (P2.7)
t n
R12 R12
rysujemy z początku wektora ( ) kierunek reakcji ( ) a z końca wektora
n
P3 R03
ostatniej znanej siły ( ) kierunek reakcji ( ). Te dwa kierunki zamykają
t n
R12 R03
wielobok sił i otrzymujemy nieznane wartości reakcji ( ) i ( ).
Na podstawie pierwszego z równań (P2.1) z planu sił odczytujemy reakcję
R32 R23 (R23 ) + (R32 ) = 0
( ), a na podstawie drugiego równania reakcję ( ).
Opracowali: J. Felis H. Jaworowski
Dynamika Mechanizmów. Analiza kinetostatyczna Strona 22
Człon napędzający uwalniamy od więzów przykładając siły zewnętrzne,
(R21 ) = -(R12 )
wyznaczonÄ… reakcjÄ™ , reakcjÄ™ podstawy w punkcie A
t n
R01 R01
w postaci dwóch składowych stycznej ( ) i normalnej ( ) oraz moment
Mr1
równoważący .
Równanie wektorowe równowagi sił działających na człon napędzający ma
postać:
n t
R01 + R01 + B1 + G1 + R21 = 0
(P2.8)
R21 N
îÅ‚ Å‚Å‚
kR2 =
Po przyjęciu podziałki planu sił członu napędzającego:
ïÅ‚mm śł
(R21 )
ðÅ‚ ûÅ‚
równanie (P2.8) zapiszemy w postaci rysunkowej:
n t
(R01 ) + (R01 ) + (B1 ) + (G1 ) + (R21 ) = 0
(P2.9)
Równanie (P2.9) rozwiązujemy graficznie, gdyż zawiera tylko dwie niewia-
R01
dome, wyznaczając wartość rysunkową reakcji ( )
a) b)
Rys. 20. Analiza sił działających na człon napędzający
a) uwalnianie od więzów członu napędzającego
b) plan sił członu napędzającego
Korzystając z warunku równowagi momentu dla członu 1 względem punktu
Mr1
A obliczamy moment równoważący .
n
"M = 0 , - B1 Å" h4 - G1 Å" h3 - MB1 + Mr1 - R21 Å" h5 = 0
iA(1)
(P2.10)
i =1
Mr1 = B1 Å" h4 + G1 Å" h3 + MB1 + R21 Å" h5
(P2.11)
Opracowali: J. Felis H. Jaworowski
Dynamika Mechanizmów. Analiza kinetostatyczna Strona 23
Przykład 3. Mechanizm czworoboku przegubowego
Przeprowadzić analizę kinetostatyczną mechanizmu czworoboku przegubowego meto-
dą grafoanalityczną w położeniu zadanym na Rys. 21. Wyznaczyć reakcje dynamiczne w
Pr1
parach kinematycznych oraz siłę równoważącą przyłożoną do korby 1. Tarcie w pa-
rach kinematycznych należy pominąć. Siły ciężkości pominąć.
É1 =
Dane: prawo ruchu członu napędzającego, const, długości członów AB, BC, CD,
AB CD
AS1 = DS3 =
S2
BK, CK, , . Åšrodek masy Å‚Ä…cznika znajduje siÄ™ w punkcie prze-
2 2
m1 m2 m3
cięcia środkowych trójkąta BCK. Masy członów są równe: , , , a momenty bez-
JS1 JS2 JS3
władności członów względem środków mas: , , . Moment oporu użytecznego
M3
wynosi . Mechanizm porusza się w płaszczyz
nie poziomej.
RozwiÄ…zanie
Mechanizm składa się z członu napędzającego 1 i z grupy strukturalnej
w =1
(2, 3) klasy 2. Ruchliwość mechanizmu jest równa . Mechanizm spełnia
warunek statycznej wyznaczalności. Obliczamy siły bezwładności oraz
momenty od sił bezwładności:
B1 =
czÅ‚on 1: -m1aS1 B1 = m1aS1 MB1 = -JS1µ1 = 0 MB1 = 0
, , ,
B2 =
czÅ‚on 2: -m2aS2 B2 = m2aS2 MB2 = -JS2µ2 MB2 = JS2µ2
, , ,
B3 =
czÅ‚on 3: -m3aS3 B3 = m3aS3 MB3 = -JS3µ3 MB3 = JS3µ3
, , ,
a)
b)
Rys. 21. Mechanizm czworoboku przegubowego obciążony siłami zewnętrznymi.
a) plan przyspieszeń mechanizmu,
b) układ sił zewnętrznych działających na mechanizm bez momentu równoważącego.
Opracowali: J. Felis H. Jaworowski
Dynamika Mechanizmów. Analiza kinetostatyczna Strona 24
Uwalniamy od więzów grupę strukturalną (2, 3) rozkładając reakcje
n t n t
R12 R12 R03 R03
w przegubach B i D na składowe styczne i normalne: , , ,
(Rys. 22a)
Zapisujemy wektorowe równania równowagi sił działających na człony 2 i 3:
n t
Ri(2 ) = R12 + R12 + B2 + R32 = 0
"
( P3.1a)
n t
Ri(3 ) = R23 + B3 + R03 + R03 = 0
"
(P3.1b)
a)
Rys. 22. Analiza sił działających na grupę strukturalną (2, 3)
a) układ sił zewnętrznych i reakcji przyłożonych do grupy (2, 3)
Po dodaniu równań (P3.1) stronami otrzymujemy warunek równowagi sił
działających na grupę (2, 3):
n t n t
Ri(2,3 ) = R12 + R12 + B2 + B3 + R03 + R03 = 0
"
( P3.2)
Równanie (P3.2) zawiera cztery niewiadome, więc aby mogło być rozwią-
zane graficznie należy uprzednio wyznaczyć co najmniej dwie niewiadome.
n
t
MiC(2 ) = 0
"
- R12BC + B2h1 - MB2 = 0
, ( P3.3a)
i =1
-
B h M
t
R12 = 2 1 B2
BC
n
t
MiC(3 ) = 0
"
- R03CD + B3h2 + M3 - MB3 = 0
, (P3.3b)
i =1
+ -
B h M M
Rt = 3 2 3 B3
03
CD
n n
R12 R03
Równanie (P3.2) zawiera teraz tylko dwie niewiadome oraz oraz .
Opracowali: J. Felis H. Jaworowski
Dynamika Mechanizmów. Analiza kinetostatyczna Strona 25
n t t n
R12 + R12 + B2 + B3 + R03 + R03 = 0
(P3.4)
W celu graficznego rozwiązania równania (P3.4) przyjmujemy podziałkę
B2 îÅ‚ N
Å‚Å‚
kR1 =
i obliczamy wartości rysunkowe poszczególnych sił.
ïÅ‚mmśł
(B2 )
ðÅ‚ ûÅ‚
n t t n
(R12 ) + (R12 ) + (B2 ) + (B3 ) + (R03 ) + (R03 ) = 0
(P3.5)
a)
Podziałka sił
b)
Rys. 22. Analiza sił działających na grupę strukturalną (2, 3)
a) układ sił zewnętrznych i reakcji przyłożonych do grupy (2, 3),
b) plan sił grupy (2, 3).
n
R12
Rozwiązanie graficzne równania (P3.5), zawierającego niewiadome ( )
n
R03
oraz ( ) przedstawiono na Rys. 22b.
n n
R12 = (R12 ) Å" kR1 , R03 = (R03 ) Å" kR1 .
Otrzymane wartości sił wynoszą:
R32
Na podstawie równań (P3.1) na planie sił wyznaczono również reakcje ( )
R23
oraz ( ).
R23 = (R23 )Å" kR1 .
Wartość reakcji w punkcie C mechanizmu wynosi zatem:
Opracowali: J. Felis H. Jaworowski
Dynamika Mechanizmów. Analiza kinetostatyczna Strona 26
Przedmiotem dalszej analizy jest człon napędzający.
Człon napędzający uwalniamy od więzów przykładając siły zewnętrzne, re-
Pr1
akcje i siłę równoważącą , (Rys. 23). Równanie równowagi sił działają-
cych na człon napędzający ma postać:
n t
Pr1 + R01 + R01 + B1 + R21 = 0
(P3.6)
Z równania równowagi momentów sił względem punktu A sił działających
Pr1
na człon 1 wyznaczamy siłę równoważącą :
n
MiA(1) = 0
"
Pr1AF - R21h3 = 0
, (P3.7)
i =1
R21h3
Pr1 =
StÄ…d otrzymujemy:
AF
Podziałka sił
a) b)
Rys. 23. Analiza sił działających na człon napędzający
a) uwalnianie od więzów członu napędzającego,
b) plan sił członu napędzającego.
R21 N
îÅ‚ Å‚Å‚
kR2 =
Przyjmujemy podziałkę: i rozwiązujemy wykreślnie
ïÅ‚mm śł
(R21 )
ðÅ‚ ûÅ‚
równanie:
n t
(Pr1 ) + (R01 ) + (R01 ) + (B1 ) + (R21 ) = 0
( P3.8)
Rozwiązanie graficzne równania (P3.8) przedstawiono na Rys. 23b.
R01 = (R01) Å" kR2 .
Wartość reakcji w punkcie A mechanizmu wynosi
Opracowali: J. Felis H. Jaworowski
Dynamika Mechanizmów. Analiza kinetostatyczna Strona 27
Zagadnienie równowagi sił działających na człon napędzający można roz-
wiązać graficznie korzystając z twierdzenia o trzech siłach.
(Pr1 ) + (R01 ) + (B1 ) + (R21 ) = 0
(P3.9)
Równanie (P3.9) zawiera trzy niewiadome i możemy je rozwiązać po
uprzednim wyznaczeniu jednej z nich. W tym celu wykonamy odpowiednie
kroki. Znajdziemy wypadkową znanych sił działających na człon napędzający
zgodnie z równaniem.
(W ) = (B1 ) + (R21 )
(P3.10)
(B1 ) (R21 )
Rozwiązujemy wykreślnie równanie (P3.10) rysując siły i
kR2 (W )
w podziałce (Rys. 24a). Znajdujemy wypadkową . Równanie (P3.9)
przyjmie teraz postać:
(Pr1 ) + (R01 ) + (W ) = 0
(P3.11)
Zgodnie z równaniem (P3.11) na człon napędzający działają teraz trzy siły
nierównoległe. Siły te pozostają w równowadze, muszą zatem tworzyć układ
środkowy. Środek układu sił S zostaje wyznaczony jako punkt przecięcia
(W )
(Pr1 )
znanych kierunków sił i . Kierunek reakcji (R01 ) określa prosta
przechodzÄ…ca przez punkty S i A.
(Pr1 ) + (R01 ) + (W ) = 0
(P3.12)
Podziałka sił
R21 N
îÅ‚ Å‚Å‚
kR2 =
ïÅ‚mm śł
(R21 )
ðÅ‚ ûÅ‚
a) b)
Rys. 24. Rozwiązanie graficzne zagadnienia równowagi sił działających na człon napę-
dzający w oparciu o twierdzenie o trzech siłach
a) wyznaczanie środka układu sił,
b) rozwiązanie wykreślne równania równowagi trzech sił.
Opracowali: J. Felis H. Jaworowski
Dynamika Mechanizmów. Analiza kinetostatyczna Strona 28
Przykład 4. Mechanizm jarzmowy z jarzmem w ruchu płaskim
Przeprowadzić analizę kinetostatyczną mechanizmu jarzmowego metodą
grafoanalityczną w położeniu zadanym na Rys. 25. Wyznaczyć reakcje
Mr1
dynamiczne w parach kinematycznych oraz moment równoważący
przyłożony do korby 1. Tarcie w parach kinematycznych należy pominąć.
É1 =
Dane: prawo ruchu członu napędzającego const, długości AB, BC,
AB
AS1 =
BS2 m1 m2
BD, , , masy członów: , , momenty bezwładności czło-
2
JS1 JS2 P3
nów względem środków mas: , , siła użyteczna . Zakładamy
m3 = JS3 = 0
. Mechanizm porusza się w płaszczyz
nie poziomej.
RozwiÄ…zanie
Mechanizm podobnie jak poprzednie składa się z członu napędzającego 1
w = 1
oraz grupy strukturalnej (2, 3). Ruchliwość . Mechanizm spełnia waru-
nek statycznej wyznaczalności.
B1 = -m1aS1 B1 = m1aS1 MB1 = -JS1µ1 = 0 MB1 = 0
człon 1: ,
B2 = -m2aS2 , B2 = m2aS2 MB2 = -JS2µ2 MB2 = JS2µ2
człon 2:
B3 = 0 B3 = 0 MB3 = 0 MB3 = 0
człon 3: ,
a) b)
Rys. 25. Mechanizm jarzmowy obciążony siłami zewnętrznymi
a) układ sił zewnętrznych działających na mechanizm bez momentu równoważącego,
b) plan przyspieszeń mechanizmu.
Opracowali: J. Felis H. Jaworowski
Dynamika Mechanizmów. Analiza kinetostatyczna Strona 29
Na Rys. 26. przedstawiono uwolnioną od więzów grupę strukturalną (2, 3)
t n
R03 R12 R12
z przyłożonymi siłami reakcji: , , .
Warunek równowagi sił działających na grupę ma postać:
n t
= R + R + B + P + R = 0
i(2,3) 12 12 2 2 03
"P
(P4.1)
Wykorzystując warunek równowagi momentu wszystkich sił względem punktu
t
R
C obliczamy wartość reakcji 12 :
t
Mic = 0 - R12BC - B2 Å" h1 - MB2 + P2 Å" h2 = 0
"
; (P4.2)
(2,3)
P2 Å" h2 - B2h1 - MB2
t
R12 =
(P4.3)
BC
Następnie przyjmujemy podziałkę sił k i rozwiązujemy graficznie równanie
R1
n
R , R R R
12 03
wektorowe (P4.1) wyznaczajÄ…c reakcje oraz 23 i 32
Podziałka sił a)
P2 N
îÅ‚ Å‚Å‚
kR1 =
ïÅ‚mm śł
(P2 )
ðÅ‚ ûÅ‚
b)
Rys. 26. Analiza sił działających na grupę strukturalną (2, 3),
a) układ sił zewnętrznych i reakcji przyłożonych do grupy (2, 3),
b) plan sił grupy (2, 3)
Opracowali: J. Felis H. Jaworowski
Dynamika Mechanizmów. Analiza kinetostatyczna Strona 30
Równanie równowagi sił działających na człon napędzający ma postać:
n t
R21 + B1 + R01 + R01 = 0
(P4.4)
kR2
a jego rozwiązanie wykreślne po przyjęciu podziałki sił przedstawia
Rys. 27b.
a) b)
Podziałka sił
Rys. 27. Analiza sił działających na człon napędzający
a) uwalnianie od więzów członu napędzającego,
b) plan sił członu napędzającego
Z równania równowagi momentów względem punktu A sił działających na
Mr1
człon 1 wyznaczamy moment równoważący .
MiA = 0 Mr1 - R21h3 = 0
"
; (P4.5)
Mr1 = R21h3
stÄ…d (P4.6)
Dla pozostałych przedstawionych w rozdziale przykładów przeprowadzimy
analizę statyczną z pominięciem sił bezwładności.
Opracowali: J. Felis H. Jaworowski
Dynamika Mechanizmów. Analiza kinetostatyczna Strona 31
Przykład 5. Analiza statyczna mechanizmu Oldhama.
Przeprowadzić analizę statyczną mechanizmu Oldhama przedstawionego
Õ1 Ä…k = 90o P3
na Rys. 28. Dane: , AC, CD, , siła oporu użytecznego .
Mechanizm składa się z korby 1
i grupy strukturalnej (2, 3),
w = 1
jego ruchliwość .
Mechanizm spełnia warunek statycznej
wyznaczalności.
Rys. 28. Mechanizm Oldhama
RozwiÄ…zanie
W pierwszym etapie rozwiązywania należy uwolnić od więzów grupę struk-
turalną (2, 3), krzyżak-jarzmo. Uwalniając suwak od więzów należałoby
R12 R32
zatem przyłożyć normalne siły reakcji , , raz odpowiednie momenty
M12 M32
, . Tak należy rzeczywiście postąpić w przypadku pokazanym na
P2
Rys. 29a, kiedy suwak obciążony jest dowolną siłą zewnętrzną .
Rozważany w zadaniu przypadek jest jednak szczególny, gdyż na krzyżak
nie działa żadna siła zewnętrzna. Warunek równowagi sił działających na
krzyżak ma postać:
R12 + R32 = 0
(P5.1)
R12 R32
Ponieważ siły i są do siebie prostopadłe, równanie (P5.1) jest
R12 = 0 R32 = 0
spełnione tylko wtedy, gdy oraz co oznacza, że uwalniając
suwak od więzów należy przyłożyć wyłącznie momenty sił co zostało poka-
zane na Rys. 29b.
a) b)
Rys. 29. Układ sił działających na krzyżak 2
a) przypadek obciążenia suwaka siłą zewnętrzną,
b) suwak nieobciążony żadną siłą zewnętrzną.
Opracowali: J. Felis H. Jaworowski
Dynamika Mechanizmów. Analiza kinetostatyczna Strona 32
Uwalniamy teraz od więzów grupę strukturalną (2, 3), Rys. 30a.
a) b)
Rys. 30. Analiza sił działających na grupę strukturalną (2, 3)
a) układ sił zewnętrznych i reakcji przyłożonych do grupy (2, 3),
b) plan sił grupy (2, 3).
P3 + R03 = 0
Warunek równowagi sił działających na grupę : (P5.2)
R23 = 0
Ponieważ na jarzmo 3 działają tylko dwie siły ( ), to kierunek reakcji
R03 P3
działającej w przegubie C, który musi być równoległy do siły .
Rozwiązanie graficzne równania (P5.2), plan sił grupy (2, 3), przedstawia
Rys. 30b.
Z równania równowagi momentów dla grupy względem punktu B,
MiB(2,3 ) = 0
" M12 + P3h1 - R03h2 = 0
mamy: ; (P5.3)
M12 = R03h2 - P3h1 = P3(h2 - h1 )
stÄ…d (P5.4)
Z warunku równowagi momentów dla krzyżaka (Rys. 29b):
MiB(2 ) = 0
" M12 - M32 = 0
mamy: ; (P5.5)
M32 = M12 (P5.6)
Z równania równowagi momentów dla członu
napędzającego względem punktu A mamy:
MiA(1) = 0
" Mr1 - M21 = 0
; (P5.7)
Mr1 = M21 oraz R01 = 0
stÄ…d ostatecznie: (P5.8)
Rys. 31. Człon napędzający mechanizmu Oldhama oswobodzony od więzów
Opracowali: J. Felis H. Jaworowski
Dynamika Mechanizmów. Analiza kinetostatyczna Strona 33
Metoda Culmana umożliwia rozwiązanie graficzne zagadnienia równowagi
czterech sił o znanych kierunkach leżących w jednej płaszczyz
nie, nie
tworzących układu środkowego ani równoległego, z których tylko jedna siła
jest znana co do wartości a trzy są nieznane. Warunkiem wystarczającym
równowagi takiego układu sił jest, aby wypadkowa dwóch dowolnie wybra-
nych sił była w równowadze z wypadkową dwóch pozostałych sił nierównole-
głych. Obie wypadkowe leżą na prostej Culmana łączącej punkty przecięcia
pierwszej i drugiej dwójki sił nierównoległych.
Przykład 6
P2 P3 P4
Wyznaczyć graficznie metodą Culmana wartości sił , , , które pozostają
P1
w równowadze ze znaną siłą .
P1 P2 P3 P4
Dane: Wartość, kierunek i zwrot siły , kierunki sił , ,
RozwiÄ…zanie
1. znajdujemy odcinek prostej Culmana MN łączący punkt przecięcia prostej
P1 P2
działania znanej siły oraz kierunku nieznanej siły (punkt M) oraz
P3 P4
punkt przecięcia prostych działania nieznanych sił i (punkt N), Rys.
32a,
W1,2
P2
2. znajdujemy wykreślnie siłę oraz wypadkową takie, że spełnione
P1 + P2 = W1,2 , a W1,2 leży na prostej Culmana,
jest równanie:
3. znajdziemy wypadkową W korzystając z równania W + W3,4 = 0 ,
3,4 1,2
W3,4 P3 P4
4. rozkładamy wypadkową na kierunki działania sił i zgodnie
z równaniem W3,4 = P3 + P4 .
P3 P4
5. Znajdujemy wykreślnie wartości sił i .
Wyznaczone siły spełniają równanie:
P1 + P2 + P3 + P4 = 0
a)
Rys. 32. Graficzne rozwiązanie zagadnienia równowagi
płaskiego dowolnego układu czterech sił metodą Culmana:
a) rozwiązanie z wykorzystaniem pomocniczej siły wypadkowej
Opracowali: J. Felis H. Jaworowski
Dynamika Mechanizmów. Analiza kinetostatyczna Strona 34
Na Rys. 32b przedstawiono rozwiązanie tego samego zadania przyjmując, że
w punktach M i N mamy dwa środkowe układy sił pozostające
w równowadze:
P1 + P2 + CNM = 0
(P6.1)
CMN + P3 + P4 = 0
(P6.2)
siły leżące na prostej Culmana pozostają w równowadze CNM + CMN = 0 .
b)
Rys. 33. Graficzne rozwiązanie zagadnienia równowagi płaskiego dowolnego układu
czterech sił metodą Culmana:
b) rozwiązanie z wykorzystaniem dwóch środkowych układów sił.
CNM i P2
Rozwiązując wykreślnie równanie (P6.1) otrzymamy wartości
P3 P4
a następnie rozwiązując równanie (P6.2) otrzymamy wartości i . Wy-
znaczone siły spełniają warunek równowagi :
P1 + P2 + P3 + P4 = 0
(P6.3)
Należy zwrócić uwagę, że w obydwu rozważanych rozwiązaniach zadania
wartości sił leżących na prostej Culmana są identyczne lecz różnią się
CNM = -W1,2 CMN = -W3,4
zwrotem tzn. , .
Opracowali: J. Felis H. Jaworowski
Dynamika Mechanizmów. Analiza kinetostatyczna Strona 35
Przykład 7. Analiza statyczna metodą Culmana grupy strukturalnej
suwak  dz
wignia.
GrupÄ™ strukturalnÄ… suwak-dz
wignia, w której występują pary kinematyczne:
postępowa, i dwie obrotowe zapiszemy symbolicznie jako grupę P-O-O.
Należy przeprowadzić analizę statyczną grupy strukturalnej P-O-O poka-
zanej na Rys. 34 stosując metodę Culmana rozkładu siły na trzy kierunki.
P2
Dane: siła , wymiary członów. Wyznaczyć reakcje w punktach A i C oraz
Pr1
siłę równoważącą bez uwzględnienia tarcia.
Rys. 34. Grupa strukturalna P-O-O
RozwiÄ…zanie
W rozwiązaniu stosujemy wariant B uwolnienia od więzów w parze kinema-
tycznej prowadnica  suwak (Rys. 10). Układ sił zewnętrznych powoduje,
iż reakcje normalne w parze postępowej występują w punktach A i C.
Zadanie można rozwiązać dla dwóch położeń prostej Culmana. W przykła-
dzie zastanie pokazane jedno z nich.
Opracowali: J. Felis H. Jaworowski
Dynamika Mechanizmów. Analiza kinetostatyczna Strona 36
Wyznaczymy prostą Culmana przechodzącą przez punkty przecięcia: kie-
A
P2 R01
runku działania znanej siły i kierunku reakcji (punkt N) oraz kierun-
C
R01 Pr1
ków reakcji i siły równoważącej (punkt M).
A
P2 + R01 + CMN = 0
C
CNM + R01 + Pr1 = 0
a) b)
A C
P2 + R01 + R01 + Pr1 = 0
Rys. 35. Analiza statyczna grupy strukturalnej P-O-O
z wykorzystaniem prostej Culmana
a) wyznaczanie prostej Culmana,
b) plany sił grupy strukturalnej P-O-O
A
P2 R01
Rozkładamy znaną siłę na kierunek i kierunek NM prostej Culmana
A
P2 R01 CNM
 c . Siły , i tworzą układ środkowy w punkcie N i spełniają
A
P2 + R01 + CMN = 0
równanie: (P7.1)
CNM
W etapie drugim rozkładamy leżącą na prostej Culmana siłę na kie-
C
R01 Pr1
runki oraz . Siły te również tworzą układ środkowy w punkcie M
C
i spełniają równanie: CNM + R01 + Pr1 = 0 (P7.2)
CMN = -CNM , po dodaniu równań (P7.1) i (P7.2) otrzymamy
Ponieważ
równanie równowagi sił działających na suwak 1 postaci:
A C
P2 + R01 + R01 + Pr1 = 0
(P7.3)
Opracowali: J. Felis H. Jaworowski
Dynamika Mechanizmów. Analiza kinetostatyczna Strona 37
Przykład 8. Mechanizm krzywkowy. Analiza statyczna metodą
Culmana.
Przeprowadzić analizę statyczną mechanizmu krzywkowego Rys. 36a me-
todÄ… Culmana.
P2
Dane: siła , wymiary geometryczne mechanizmu. Tarcie w parach nale-
ży pominąć. Wyznaczyć reakcje w punktach C, B i F oraz moment
Mr1
równoważący .
a) b)
Rys. 36. Analiza siłowa mechanizmu krzywkowego
a) mechanizm krzywkowy z popychaczem ostrzowym,
b) uwalnianie od więzów członów mechanizmu krzywkowego
RozwiÄ…zanie
Wyznaczamy prostą Culmana  c , która przechodzi przez punkty przecięcia
F C
P2 R02 R12 R02
znanej siły i reakcji (punkt M) oraz reakcji i (punkt N),
co przedstawiono na Rys. 36b.
Opracowali: J. Felis H. Jaworowski
Dynamika Mechanizmów. Analiza kinetostatyczna Strona 38
F
P2 R02
W etapie pierwszym rozkładamy znaną siłę na siły oraz CNM
F
P2 + R02 + CNM = 0
zgodnie z równaniem: (P8.1)
CMN
W etapie drugim rozkładamy siłę na siły oraz zgodnie z równaniem:
C
CMN + R12 + R02 = 0
(P8.2)
Po dodaniu stronami równań (P8.1) i (P8.2) otrzymamy równanie równowagi
F C
P2 + R02 + R12 + R02 = 0
sił działających na popychacz 2 w postaci:
(P8.3)
b)
F
P2 + R02 + CNM = 0
Podziałka sił
C
CMN + R12 + R02 = 0
F C
P2 + R02 + R12 + R02 = 0
c)
Rys. 37. Analiza siłowa mechanizmu krzywkowego
b) uwalnianie od więzów członów mechanizmu krzywkowego,
c) plany sił popychacza mechanizmu krzywkowego
Równanie równowagi sił działających na krzywkę 1 ma postać:
R01 + R21 = 0 R01 = - R21
stÄ…d: (P8.4)
Moment równoważący przyłożony do krzywki wyznaczamy z warunku
równowagi momentu względem punktu A:
MiA(1) = 0
" Mr1 - R21h1 = 0
; (P8.5)
Mr1 = R21h1
ostatecznie: (P8.6)
Opracowali: J. Felis H. Jaworowski
Dynamika Mechanizmów. Analiza kinetostatyczna Strona 39
METODA MOCY CHWILOWYCH
Zasada mocy chwilowych. Jeżeli mechanizm złożony z członów
sztywnych połączonych ze sobą więzami dwustronnymi jest w równowadze
dynamicznej pod działaniem sił zewnętrznych: czynnych, biernych, ciężkości
i bezwładności, to suma mocy chwilowych tych sił jest równa zeru,
co zapisujemy:
n
Nchw i = 0
"
(28)
i =1
n
(Pi Å"vi + Bi Å"vi + MPi Å"Éi + MBi Å"Éi ) = 0
"
lub (29)
i =1
Zasada mocy chwilowych wyrażona równaniem (28) stanowi podstawę me-
tody obliczeniowej nazywanej dalej metodÄ… mocy chwilowych, pozwalajÄ…cej
wyznaczyć uogólnioną siłę równoważącą działającą na mechanizm bez ko-
nieczności wyznaczania reakcji w parach kinematycznych.
Przykład 9. Metoda mocy chwilowych w zastosowaniu do mechanizmu
jarzmowego
Mr1
Wyznaczyć metodą mocy chwilowych moment równoważący dla mechani-
zmu jarzmowego dla danych jak w Przykładzie 7.
RozwiÄ…zanie
Aby zapisać równanie mocy chwilowych dla mechanizmu, obciążamy go wszyst-
kimi obliczonymi siłami zewnętrznymi a do członu napędzającego przykładamy
Mr1
dodatkowo moment równoważący . W celu obliczenia mocy wszystkich uogól-
nionych sił konieczne jest zaznaczenie prędkości liniowych wszystkich punktów
przyłożenia sił oraz prędkości kątowych wszystkich członów mechanizmu zgodnie
z planem prędkości dla tego mechanizmu. Rys. 38.
a) b)
Rys. 38. Schemat obliczeniowy mechanizmu jarzmowego metodÄ… mocy chwilowych
a) mechanizm jarzmowy obciążony siłami zewnętrznymi i momentem równoważącym,
b) plan prędkości punktów przyłożenia siły.
Opracowali: J. Felis H. Jaworowski
Dynamika Mechanizmów. Analiza kinetostatyczna Strona 40
Równanie mocy chwilowych (28) ma dla powyższego mechanizmu postać:
Mr1 Å"É1 + B1 Å" vS1 + B2 Å" vS2 + MB2 Å"É2 + P2 Å" vD = 0
(P9.1)
Po rozpisaniu w (P9.1) iloczynów skalarnych mamy:
Mr1É1 cos "(Mr1, É1 ) + B1vS1 cosÄ…1 + B2vS2 cosÄ…2 +
(P9.2)
+ MB2É2 cos "(MB2 , É2 ) + P2vD cosÄ…3 = 0
"(Mr1, É1 ) = 0o ,
Na podstawie Rys. 38 odczytujemy wartości kątów:
"(MB2 , É2 ) = 0o , Ä…1 = 90o Ä…2 = 147° =180o
, ,Ä…3 .
Ostatecznie poszukiwany moment równoważący wynosi:
-B2vS2 cosÄ…2 - MB2É2 - P2vD cos Ä…3
Mr1 =
(P9.3)
É1
a)
Rys. 38. Schemat obliczeniowy mechanizmu jarzmowego metodÄ… mocy chwilowych
a) mechanizm jarzmowy obciążony siłami zewnętrznymi i momentem równoważącym,
Mr1
Wyznaczony metodą mocy chwilowych moment równoważący winien
być identyczny z momentem obliczonym metodą analizy kinetostatycznej,
W równaniu mocy chwilowych zakłada się, że uogólniona siła równoważąca
ma zwrot zgodny z uogólnionym przemieszczeniem członu napędzającego.
Mr1
W rozpatrywanym przykładzie (równanie (P9.1)) założono, że moment
É1
ma zwrot zgodny z i otrzymany wynik obliczeń potwierdzi to w ten sposób,
że otrzymamy dodatnią wartość obliczanego momentu po podstawieniu war-
Ä…1 Ä…2 Ä…3
tości liczbowych kątów , , . Jeżeli w wyniku obliczeń uzyskamy
ujemną wartość uogólnionej siły równoważącej oznacza to, że zwrot tej siły
jest przeciwny do zwrotu uogólnionego przemieszczenia członu napędzają-
cego. Mamy wtedy przypadek siły hamującej lub momentu hamującego.
Opracowali: J. Felis H. Jaworowski