ANALIZA MATEMATYCZNA
Wielomiany
wielomian1 x^3 2 x y 3 xz;
PolynomialQ wielomian1, y
False
wielomian2 x^5 6 x x^3 x^2 5;
Variables wielomian2
x
Length wielomian2
5
CoefficientList wielomian2, x
5, 6, 1, 1, 0, 1
Coefficient wielomian2, x, 2
1
Zadanie 1
Zdefiniowac "pure function", ktora dla danego a,b,n,c,d,m
2 analiza matem.pdf
Zadanie 1
Zdefiniowac "pure function", ktora dla danego a,b,n,c,d,m
tworzy wielomiany postaci (ax+b)^n oraz (cx+d)^m.Oba
wielomiany wyswietla na ekran w standardowej postaci
(wymnozone i podniesione do potegi).Pierwszemu wielomianowi
przyporzadkowuje zmienna wiel1,a drugiemu wiel2.
Nastepnie opcjonalnie:
- opcja 1: sprawdza czy n jest wieksze od m, jesli tak
wyswietla na ekran czesc calkowita dzielenia odpowiednich
wielomianow oraz reszte z dzielenia podanych wielomianow
(wyniki prezentuje w najprostrzej formie), jesli nie
dokonamy analogicznej operacji dobierajac odpowiednie
wielomiany,
-opcja 2: stworzy dwie listy, lista1: wspolczynniki
wystepujace przy wiel1 i lista2: wspolczynniki wystepujace
przy wiel2. Z obu list wyszuka najwieksze elementy, a
nastepnie wyswietli na ekran wartosc ich najwiekszego
wielomianow oraz reszte z dzielenia podanych wielomianow
(wyniki prezentuje w najprostrzej formie), jesli nie
dokonamy analogicznej operacji dobierajac odpowiednie
wielomiany,
analiza matem.pdf 3
-opcja 2: stworzy dwie listy, lista1: wspolczynniki
wystepujace przy wiel1 i lista2: wspolczynniki wystepujace
przy wiel2. Z obu list wyszuka najwieksze elementy, a
nastepnie wyswietli na ekran wartosc ich najwiekszego
wspolnego dzielnika,
-opcja 3: wyswietli na ekran forme wiel1 i wiel2 po
rozlozeniu ich na dwa wielomiany.
fun Function a, b, n, c, d, m, z , Print
In[2]:=
"Pierwszy wielomian ma forme ma nastepujaca forme",
wiel1 Expand a b x ^n ,
". Drugi wielomian ma forme ",
wiel2 Expand c d x ^m ,
If z 1, If n m, Print "Wielomian ",
wiel1, " dzieli wilomian", wiel2,
". Po podzieleniu ich przez siebie otrzymujemy",
Simplify PolynomialQuotient wiel1, wiel2, x ,
,
4 analiza matem.pdf
" z reszta, ktora wynosi ",
PolynomialRemainder wiel1, wiel2, x ,
Print " Wielomian ", wiel2, " dzieli wilomian ", wiel1,
". Po podzieleniu ich przez siebie otrzymujemy",
Simplify PolynomialQuotient wiel2, wiel1, x ,
" z reszta, ktora wynosi ",
PolynomialRemainder wiel2, wiel1, x , If z 2,
Print " Wspolczynniki wystepuj ce przy kolejnych
potegach wielomianu pierwszego maja formR
",
lista1 CoefficientList wiel1, x , " a drugiego ",
lista2 CoefficientList wiel2, x ,
" Najwieksza warto wspolczynika
w pierwszym wielomiane to ",
m1 Max lista1 , " a w drugim to ", m2 Max lista2 ,
" ich najwiR
kszy wspolny dzielnik to ", GCD m1, m2 ,
Print "Pierwszy wielomian jako z! ozenie dwoch
wielomianow ma forme", ,
analiza matem.pdf 5
wielomianow ma forme", Decompose wiel1, x ,
"drugi wielomian jako zlozenie dwoch wielomianow
ma forme", Decompose wiel2, x ;
fun 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1
In[3]:=
Pierwszy wielomian ma forme ma nastepujaca forme
1 6x 12x2 8x3. Drugi wielomian ma forme
4096 30720x 96000x2 160000x3 150000x4 75000x5 15625x6
Wielomian
4096 30720x 96000x2 160000x3 150000x4 75000x5 15625x6
dzieli wilomian 1 6x 12x2 8x3
. Po podzieleniu ich przez siebie otrzymujemy
625
179 390x 330x2 100x3
32
19197 8505x 30375x2
z reszta, ktora wynosi
32 4 16
6 analiza matem.pdf
wielomian3 x^8 11 x^7 43 x^6
59 x^5 35 x^4 151 x^3 63 x^2 81 x 54;
Factor wielomian3
2 2
1 x 1 x 2 x 3 x 3
FactorList wielomian3
1, 1 , 1 x, 2 , 1 x, 2 , 2 x, 1 , 3 x, 3
In[1]:=
Rozne przeksztalcenia
Zadanie 2
Zdefiniowac "pure function", ktora dla danych a, b, n, c, d,
m tworzy wielomian postaci ( (ax + b)^n (x - a))/((x + b ) (bx
+ c) ^ m) + (1/(x - a)). Sprowadzi podane wyrazenie do wspol-
nego mianownika. Nastepnie opcjonalnie dokonuje nastepujacych
operacji
opcja 1 : wyswietla na ekran wartosc licznika i mianownika,
opcja 2 : zapisze podany wielomian w standardowej postaci
(wymnozy i podniesie do potegi),
opcja 3 : w mianowniku pogrupuje wspo! czynniki wzgledem poteg
x.
m tworzy wielomian postaci ( (ax + b)^n (x - a))/((x + b ) (bx
+ c) ^ m) + (1/(x - a)). Sprowadzi podane wyrazenie do wspol-
nego mianownika. Nastepnie opcjonalnie dokonuje nastepujacych
operacji
opcja 1 : wyswietla na ekran wartosc licznika i mianownika,
analiza matem.pdf 7
opcja 2 : zapisze podany wielomian w standardowej postaci
(wymnozy i podniesie do potegi),
opcja 3 : w mianowniku pogrupuje wspo! czynniki wzgledem poteg
x.
fun Function a, b, n, c, d, m, z ,
Print "Wielomian ma postac", ww a x b ^n x a
x b b x c ^m 1 x a ,
"po sprowadzeniu do wspolnego mianownika mamy ",
dd Together ww ,
If z 1, Print "Licznik ", Numerator dd , "Mianownik",
Denominator dd , If z 2, Print ExpandAll dd ,
Print Collect Denominator dd , x ;
fun 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3
1 1 x 1 x
Wielomian ma postac
1 x
2 x 3
9 11x 5x2 2x3
po sprowadzeniu do wspolnego mianownika mamy
1 x 2 x 3
8 4x 6x2 5x3 x4
Zadanie 3
Zdefiniowac "pure function", ktora ulamek niewlasciwy zamienia
na sume czesci calkowitej i ulamka \wlasciwego np.
ulamek[11/5] = 2 i 1/5.
8 analiza matem.pdf
Zadanie 3
Zdefiniowac "pure function", ktora ulamek niewlasciwy zamienia
na sume czesci calkowitej i ulamka \wlasciwego np.
ulamek[11/5] = 2 i 1/5.
ulamek
In[23]:=
Function x , If Abs Numerator x Abs Denominator x ,
Print "ulamek ", x, " ", x ,
If x 0, Print "ulamek ", x, " ", Floor x ,
Numerator x Denominator x Floor x Denominator
x , Print "ulamek ", x, " ", Floor Abs x ,
Numerator Abs x Denominator Abs x
Floor Abs x Denominator Abs x ;
ulamek 21 4
In[25]:=
ulamek 21 51
4 4
analiza matem.pdf 9
Przeksztalceniatrygonometryczne
TrigExpand Sin 2x Cos 2y
2
2Cos x Cos y Sin x 2Cos x Sin x Sin y 2
TrigFactor
 
4Cos x Sin x Sin y Sin y
4 4
TrigReduce
1
Sin 2x 2y Sin 2x 2y
2
TrigExpand Tanh x y
Cosh y Sinh x
Cosh x Cosh y Sinh x Sinh y
Cosh x Sinh y
Cosh x Cosh y Sinh x Sinh y
10 analiza matem.pdf
Sin x ^2 Cos x
Sin x Tan x
TrigFactorList
1, 1 , Sin x , 2 , Cos x , 1
TrigToExp Tan x
x x
x x
Simplify Sin x ^2 Cos x ^2
1
Rozwiazywanierownan
analiza matem.pdf 11
sol Solve x^2 y^2 1, x y a , x, y
1 1
x a 2 a2 , y a 2 a2 ,
2 2
a 2 a2 , y 1
x a 2 a2
2 2 2
x .sol
1 a 2 a2
a 2 a2 ,
2 2 2
x y, x^2 y^2 . sol FullSimplify
2 a2, a 2 a2 , 2 a2, a 2 a2
Solve x^4 2 x 1 0, x 3
1 3
1 1 3 1
x 1 3 17 3 33
1 3
3 6
3 17 3 33
12 analiza matem.pdf
Solve x^4 4, x
x 2 , x 2 , x 2 , x 2
Reduce x^4 4, x
x 2 x 2 x 2 x 2
Reduce x^4 4, x, Reals
x 2 x 2
Zadanie 4
Zdefiniowac "pure function", ktora dla dowolnego ukladu rownan
z dwoma niewiadomymi pierwszego stopnia podanego w formie maci-
erzowej (macierz*wektor=wektor) opcjonalnie dokona nastepuja-
cych operacji
opcja 1: rozwiaze uklad rownan metoda wyznacznikow (okresli
czy podany uklad ma rozwiazanie, nieskonczenie wiele rozwiazan
czy zadnego),
opcja 2: rozwiazne podany uklad rownan stosujac odpowiednia
funkcje
opcja 3: przedstawi rozwiazanie w formie graficznej.
erzowej (macierz*wektor=wektor) opcjonalnie dokona nastepuja-
cych operacji
opcja 1: rozwiaze uklad rownan metoda wyznacznikow (okresli
czy podany uklad ma rozwiazanie, nieskonczenie wiele rozwiazan
czy zadnego),
analiza matem.pdf 13
opcja 2: rozwiazne podany uklad rownan stosujac odpowiednia
funkcje
opcja 3: przedstawi rozwiazanie w formie graficznej.
fun Function A, b, z ,
r1 b 1 , A 1, 2 , b 2 , A 2, 2 ,
r2 A 1, 1 , b 1 , A 2, 1 , b 2 ,
Print "Nasz uklad rownan:", A MatrixForm,
x, y MatrixForm, " ", b MatrixForm ,
If z 1, If A 1, 1 A 1, 1 A 1, 2 A 1, 2 0&&
A 2, 1 A 2, 1 A 2, 2 A 2, 2 0,
If Det A 0, Print "Wyznacznik ma jedno
rozwiazanie, kt re jest rowne , x ",
Det r1 Det A , "a y ", Det r2 Det A ,
If Det A 00&&Det r1 0&&Det r2 0, Print
"Podany uk! ad ma nieskonczenie wiele rozwiazan" ,
Print "Brak rozwiazania" ,
Print "Nie jest to uk! ad rowan" ,
If z 2, Print Solve A 1, 1 x A 1, 2 y b 1 ,
, ,
14 analiza matem.pdf
A 2, 1 x A 2, 2 y b 2 , x, y ,
Print "Graficzne rozwiazanie", Plot Flatten Solve
A 1, 1 x A 1, 2 y b 1 , y 1, 2 ,
Flatten Solve A 2, 1 x A 2, 2 y b 2 ,
y 1, 2 , x, 5, 5 ;
fun 1, 2 , 2, 1 , 3, 4 , 3
1 2 x 3
Nasz uklad rownan:
2 1 y 4
10
5
Graficzne rozwiazanie
4 2 2 4
5
analiza matem.pdf 15
NSolve x^2 y^2 1, 2 x 3 y 4 , x, y
x 0.615385 0.399704 , y 0.923077 0.266469 ,
x 0.615385 0.399704 , y 0.923077 0.266469
NSolve x^2 y^2 1&&y 2 x^2 3 2 0, x, y
x 0.587785, y 0.809017 , x 0.951057, y 0.309017 ,
x 0.587785, y 0.809017 , x 0.951057, y 0.309017
16 analiza matem.pdf
ContourPlot x^2 y^2 1, y 2 x^2 3 2 0 ,
x, 1.5, 1.5 , y, 1.5, 1.5 ,
Epilog Red, PointSize Medium , Point x, y . pts
1.5
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
Przyklad
analiza matem.pdf 17
f x^7 2 x^5 x^4 5 x^3 4 x^2 12 x 5;
g x^7 9 x^5 x^4 17 x^3 7 x^2 6 x 3;
d PolynomialGCD f, g
1 2x x3
x .Solve d 0, x
1 1
1, 1 5 , 1 5
2 2
Intersection x .Solve f 0, x , x . Solve g 0, x
1 1
1, 1 5 , 1 5
2 2
Suma i iloczyn
Sum x^i i, i, 1, 7
x2 x3 x4 x5 x6 x7
x
2 3 4 5 6 7
18 analiza matem.pdf
Sum i^2, i, 1, n
1
n 1 n 1 2n
6
Sum 1 i^6, i, 1, Infinity
6
945
Sum Sin i n ^21 n, i, 0, n
1
Csc 1 Sin 2 1 Sin 1 2nSin 1
4n n n n n
.n 10.^8
0.272676
Product i^2, i, 1, n
n 2
Product 2^ j i , i, 1, p , j, 1, i
1
p 1 p 2
2
2
analiza matem.pdf 19
NProduct 1 1 i^2 , i, 1,
3.67608
NSum 5 ^i i , i, 0,
0.00673795
Przyklad
Sum Exp i^3 , i, 1, Infinity
i3
i 1
N
0.368215
NSum Exp i^3 , i, 1, Infinity
0.368215
RSolve a n 1 a n n&&a 0 0, a n , n
1
a n 1 n n
2
20 analiza matem.pdf
Sum i, i, 0, n 1
1
1 n n
2
Sum x^i i , i, 0, Infinity
x
Series , x, 0, 5
x2 x3 x4 x5 O x 6
1 x
2 6 24 120