POLA FIZYCZNE WEKTOROWE I SKALARNE. W wielu sytuacjach punktowi przestrzeni można przyporządkować jakąś wielkość fizyczną. Zależność F=F(r,v,t) mówi nam, że każdemu pkt. można przypisać wektor siły. Jeżeli taki jest to w tej przestrzeni istnieje wektor siły. md²r/dt²=F(r(t),dr/dt,t) ; md²x/dt²=F_x(x,y,z,dx/dt,dy/dt,dz/dt,t) i tak dla y i z. Są to dynamiczne równania ruchu. F=F_xi+F_yj+F_zk , _ro(t)∫^r(t)dr= _to∫^toVdt , V=∫adt. W ogólnym przypadku jeżeli F zależy od v(t) i zależy od dr/dt, to rozwiązanie takie może być nieosiągalne. F=F(r) , F=F(r)*ri. Wynika stąd, że całkowanie po czasie w takiej sytuacji nie powoduje określenia parametrów ruchu cząstki. Należy zatem poszukać innej metody. Należy zastąpić całkowanie po czasie, całkowaniem po drodze. Takie podejście jest źródłem nowych pojęć fizycznych .

Praca - z drugiej zasady dynamiki F=dp/dt , Fdr=dp/dt*dr , Fdr=W , W-praca siły F przy przesunięciu dr, W=Fdr=Fds*cosα=F_sds W-praca elementarna. [W]=1J i jest to praca jaką wykona siła o wartości 1N na drodze 1m działając równolegle do przemieszczenia. (rys) W­_A-B=_r(to)∫^r(t)Fdr=_A∫^BFsds , Całka ta wyrażająca pracę siły F na drodze s określonej równaniem r=r(t) w przedziale czasu od t₀ do t między punktami A - B jest całką krzywoliniową. W ogólnym przypadku całka ta zależy od kształtu drogi między pkt. A i B. Aby rozwiązać tę całkę należy znać zależność F=F(s) i r=r(s) uwzględniając że F=F_xi+F_yj+F_zk i dr=dxi+dyj+dzk . Jeżeli na cząstkę działa wiele sił to: W=∑F_idr=(∑Fi)dr suma ta jest siłą wypadkową, wynika to z niezależności działania sił.

Moc - Mocą chwilową lub mocą P nazywamy wielkością fizyczną zdefiniowaną jak stosunek elementarnej pracy δW wykonanej przez siłę F do czasu dt, w którym ta praca została wykonana. p=δW/dt , p=Fdr/dt=F*dr/dt=F*v. Jeżeli znamy zależną P=P(t) to można zapisać W=_to∫­^tP(t)dt [W]=Wat , jeden wat to taka moc, przy której praca 1J jest wykonywana w czasie 1s.

Używa się także pojęcia mocy średniej w przedziale czasu od t₀ do t. P=<P>=ΔW/Δt

Energia kinetyczna - Korzystając z zależności W=dp/dt*dr i dla v<<c czyli dla m=const. otrzymujemy dp/dt*dr=mdV/dt*dr=mdV*dr/dt=mV*dV ; d(V²)=2VdV VdV=d(V²/2) ; W=d(mV²/2)

Wielkością fizyczną, która wyraża się mV²/2 nazywa energią kinetyczną cząstki (pkt. materialnego) i oznacza się symbolem E_K=mV²/2=p²/2m (V<<c). Przyrost energii kinetycznej ΔE_K cząstki w przedziale czasu d t₀ do t jest równy pracy W jaką wykonuje siła F na drodze s przebytej przez cząstkę w tym przedziale czasu od pkt. początkowego A do końcowego B. Ponieważ P=W/dt=F*r=dE_K/dt=d/dt(mV²/2) to pochodna energii kinetycznej względem czasu dE_K/dt jest równa mocy P siły F działającej na cząstkę.

Energia potencjalna - Z doświadczenia wynika, że istnieje duża i bardzo ważna klasa sił, dla których można obliczyć pracę W wykonując, całkowanie względem drogi bez znajomości ruchu cząstki czyli r=r(t). Siły te noszą nazwę sił zachowawczych.

Siła jest siłą zachowawczą , jeżeli jest ona funkcją jedynie położenia (wektora wodzącego r) cząstki F=F(r) taką, że pracę tej siły przy przesunięciu o wektor dr można wyrazić dW=F*dr=-dE_p gdzie E_p jest jednoznaczną funkcją skalarną położenia r ciągłą i mającą ciągłe pochodne, niezależna od czasu E_p=E_p(r). Wielkość fizyczną E_p(r) nazywa się energią potencjalną cząstki w położeniu r w polu zachowawczym siły F(r). Z faktu, że dW=-dEp wynika, że energię potencjalną wyraża się w dżulach. Całkując zależność dW=F*dr wzdłuż drogi od pkt A do pkt B otrzymujemy W=_A∫^BFdr=-_A∫^BdEp=-(E_pB-E_pA)=-ΔE_p , W=-ΔE_p . Praca wykonana przez siłę zachowawczą F na drodze s między dwoma punktami przestrzeni A i B nie zależy od kształtu drogi przejścia między nimi. Jeżeli A=B to -(E_pB­-E_pA)=-ΔE_p=0 => W=0 , W_o=∫Fdr=0 - definicja siły zachowawczej ∫Fdr - krążenie wektora F wzdłuż krzywej zamkniętej.

Z zależności W=E_pA-E_pB E_pB=-W+E_pA widać, że praca przesunięcia z A do B przy ustalonym pkt. A jest funkcją położenia pkt. B, czyli zależy od r_B . Oznacza to także że energia potencjalna w pkt. B zależy od energii potencjalnej w pkt. A czyli od wyboru pkt. początkowego, np. wybierając położenie początkowe w pkt. C zamiast w A można zapisać. W_cs=_c∫^BFdr= _C∫^AFdr+ _A∫^BFdr , W=-(E_pA-E_pC)-(E_pB-E_pA)=-E_pA+E_pC-E_pB+E_pA=-E_pB+E_pC. , E_pB=-W+const., gdzie const. wynosi E_pA albo E_pC w zależności od wyboru pkt. początkowego. Wynika stąd, że energia potencjalna jest zawsze określona z dokładnością do pewnej stałej zależnej od wyboru pkt. odnoszenia E_p(r)=-_ro∫^rFdr+E_p(r_o) , E_p(r)=-_ro∫^rFdr+const.

Ściśle biorąc energię potencjalna E_p zależy nie tylko od położenia r rozpatrywanej cząsteczki, ale również od położenia wszystkich pozostałych cząstek, ale również od położenia wszystkich pozostałych cząstek wszechświata, które na nią działają. Nasze rozważania dotyczyły sytuacji, w których położenie cząstek są ustalone i nie zmieniają się w wyniku oddziaływania z rozpatrywaną cząstką w zależności dW=-dE_p oraz dW=F_sds otrzymujemy F_sds=-dE_p => F_s=-dE_p/ds.

Znając więc energie potencjalną E_p(r) możemy znaleźć składową siły F w dowolnym kierunku danym przez wersor i_s, obliczając wielkość -dE_p/ds. równą zmianę energii potencjalnej E_p na jednostkę długości w kierunku i wziętej ze znakiem minus. dE_p/ds - nazywamy pochodna fun. E_p w kierunku i_s lub pochodna kierunkową. Wektor o takiej właściwości, że jego składowa w dowolnym kierunku i_s jest równa pochodnej kierunkowej E_p w tym kierunku, nosi nazwę gradientu funkcji E_p i jest oznaczony symbolem grad. F=-gradE_p , oznacza to że, siła zachowawcza F(r) jest równa ujemnemu gradientowi energii potencjalne E_p(r).

Pole sił centralnych Siła centralna to taka siła, której wartość zależy od odległości od centrum i skierowana jest do centrum (lub też od centrum). Przykładem takich siły może być pole elektrostatyczne.

Praca siły centralnej po dowolnej krzywej nie zależy od drogi, zależy jedynie od położenia pkt. początkowego i końcowego. Widać więc że pole centralne jest polem zachowawczym. Pole centralne ma jeszcze jedną ważną własność, moment sił centralnych działających na ciało w polu centralnym jest równy zero. M=rxF r||F M=0, Moment pędu L=FxmV, z drugiej zasady dynamiki M=dL/dt, więc jeżeli działają siły centralne na cząstki w tym polu (dL/dt=0, L=const.) to moment pędu nie ulega zmianie. Ponieważ moment pędu jest stały, na ciało działają siły centralne to ruch odbywa się w jednej płaszczyźnie. Moment pędu pozostaje stały dla ciała poruszającego się w polu centralnym a w związku z tym ruch jest ruchem płaskim (odbywa się w jednej płaszczyźnie)

Przykłady pola centralnego:

Siła sprężystości F(r)=-kr, gdzie k-wsp. sprężystości, r-odległość od centrum. Możemy policzyć E_p ciała, na które działa ta siła. E_p(r)=-∫F(r)dr+const.=-∫(-kr)dr+const. Otrzymujemy E_p=kr²/2+const. Jeżeli założymy, że r=0 E'_p=0 =>const.=0, przy takim założeniu otrzymujemy E_p=kr²/2.

Siły typu grawitacyjna i elektrostatyczna F(r)=-H/r²*r/r , F(r)=-H/r² , E_p=-∫H/r²*dr+const i po scałkowaniu E_p=-H/r + const. Przyjmujemy pkt w którym E_p=0, jest to w nieskończoności gdy r⇒∝ to E_p⇒0 to const.=0 i wtedy E_p=-H/r. Siła grawitacyjna: F_g=-GMm/r² , E_p=-GMm/r ; Siła elektrostatyczna: F_e=1/4Πε*Qq/r² , E_p=-1/4Πε*Qq/r

Siły nie zachowawcze to takie siły dla których spełniona jest zależność ∫Fdr≠0 - całka okrężna po krzywej zamkniętej z iloczynu Fdr jest równa zero, przykładem takich sił są siły tarcia. Tarcie dzielimy na a)zewnętrzne- to występowanie sił oporu przeciwdziałających zmianie wzajemnego położenia stykających się ciał. b)wewnętrzne - to występowanie sił oporu przeciwdziałających ruchowi jednej warstwy względem drugiej tego samego ciała (inaczej jest to lepkość). Tarcie dzielimy na statyczne i kinetyczne.

Statyczne - gdy chcemy przemieścić jedną warstwę względem drugiej. Tarcie statyczne zależy od składowej siły, prostopadłej do powierzchni styku i od rodzaju powierzchni. T_MAX~F_N , F_N- siła dociskająca decyduje o tarciu. T=μ_sF_N, gdzie μ_s to współczynnik tarcia statycznego, zmienia się od 0 do wartości 1, w momencie gdy tarcie statyczne zmienia się w kinetyczne. Jeżeli zadziałamy taką siłą, że ciało zacznie się przemieszczać to wtedy mamy do czynienia z tarciem poślizgowym (kinetycznym). T=μ_KF_N μ_K<μ_s .

Dla tarcia poślizgowego słuszne są następujące prawa: - siły tarcia między dwoma ciałami nie zależą od pola powierzchni makroskopowej styku (zależy od mikroskopowej), wygładzanie jest dobre do momentu kiedy nie wystąpią siły docisku między powierzchniami. - siła tarcia między dwoma ciałami jest wprost proporcjonalna do siły docisku. -współ. tarcia kinetycznego posiada stałą wartość nie zależną od prędkości. Słuszne jest to jedynie wtedy gdy prędkości nie są zbyt duże.

Toczenie swobodne- to takie gdy w miejscu styku z podłożem siły styczne do powierzchni są bardzo małe. Podczas toczenia występują odkształcenia powierzchni i obiektu toczonego po niej.

Siły tarcia związana jest z poślizgiem i ze stratą energii. Miara tarcia jest wtedy moment siły. M=μ_tF_N , M=rF_t => F_tr=μ_tF_N => F_t=μ_t/r*F_N

Mechanika relatywistyczna oparta na założeniach teorii względności, którą opracował Albert Einstein, opisuje zjawiska dla prędkości zbliżonych do c≈3*10⁸ m/s.

Transformacje Galieusza (Mechanika klasyczna) Rozpatrzmy dwa inercjalne układy odniesienia: x,y,z, który będziemy uwaali za nieruchomy oraz układ x',y',z' poruszający się względem ukłądu poprzedniego ruchem postępowym z prędkością u=const. Przyjmijmy, że w chwili t=0 początki O i O' obu układów współrzędnych oraz ich odpowiednie osie są przystające. (rys. ukł. współ. S i S', w S' wektor do pkt. M i wekt. u przedłużenie wektora r_o (O;O'), wektor r (O;M). Wektor określający położenie środków ukłądu ruchowego wzg. układu nieruchomego opisuje zależność: r_o=u*t. Położenie dowolnego pkt. mat. M w nieruchomym i ruchomym układzie odniesienia można określić przez podanie wektorów odpowiednio r i r', przy czym: r=r_o+r' oraz r=ut+r' , r'=r-ut. Każde z tych ostatnich dwóch równań wektorowych odpowiada 3 równaniom skalarnym dla każdego z kierunków. Nazywamy je transformacjami Galieusza: x=x'+u_xt, x'=x-u_xt , y=y'+u_yt .... t=t'- w mechanice klasycznej zostało to przyjęte za fakt oczywisty. Wykonując różniczkowanie względem czasu równania na r otrzymujemy związek między prędkościami: v=u+v', gdzie v- prędkośc pkt. M wzg. układu nieruchomego zwana prędkością bezwzględną albo absolutną, v'- prędkość pkt.M wzg. układu ruchomego określana jako prędkość względna. Różniczkując wzg. czasu równanie na zależność prędkości otrzymujemy, że a=a' gdzyż du/dt=0 bp du=const. Wynika z tego że F=F', czyli że siły działające w obu inercjalnych układach mają tę samą wartość, więc masa m=const. Na podstawie analizy transformacji Galileusza można wnioskować, że równania Newtona dla pkt. materialnego lub dla dowolnego pkt. materialnego są jednakowe we wszystkich inercjalnych układach odniesienia - są niezmiennicze wzg. przekształceń Galileusza. Jest to tzw. mechaniczna zasada względności Galileusza.

Transformacje Lorenza. Rozważmy 2 inercjalne układy odniesienia S i S'. Niech układ S' porusza się względem układu S z prędkością u. Niech osie x i x' będą zgodne z wektorem u, a osie y i y' oraz z i z' parami równoległe. (rys.) Z zasady względności wynika, że układu S i S' są równoprawne. Korzystając z jednorodności przestrzeni i czasu oraz z postulatów Einsteina można wykazać, że transformacje współrzędnych i czasu przyjmują postać: x'=(x-ut)/pierw.(1-u²/c²)=(x-βct)/pierw.(1-β²) , t'=(t-βx/c)/pierw.(1-β²), x=(x'-βct')/pierw.(1-β²) , t=(t'-βx'/c)/pierw.(1-β²). Wzory te nazywają się transformacjami albo przekształceniami Lorenza.

Skrócenie długości. Niech pręt spoczywa w ukł. S' i leży równolegle wzgl. osi x'. Długość pręta w tym układzie wynosi l_o=x'₂-x'₁, które są współrzędnymi w ukł. S'. Natomiast w układzie S porusza się z prędkością V=u. Chcąc określić długość pręta w tym układzie należy znaleźć współrzędne x₁ i x₂ jego końców w tej samej chwili t₁=t₂=t. Długość w układzie S będzie wtedy wynosiła l=x₁-x₂. Związek między l i l_o można ustalić korzystając z przekształceń Lorenza. l₀=x'₂-x'₁=(x₂-vt)/pierw.(1-β²)-(x₁-vt)/pierw.(1-β²)=(x₂-x₁)/ pierw.(1-β²)=l₀/ pierw.(1-β²). Oznacza to, że l=l₀*pierw.(1-β²) i l<l₀. W powyższych wzorów można wywnioskować, e w układzie odniesienia, w którym pręt porusza się jest on krótszy w kierunku ruchu, natomiast w kierunku osi y i z rozmiary pręta nie ulegają zmianie, gdyż z=z' i y=y'. Efektu skrócenia nie można zobaczyć, gdyż dla ciała rozciągłego sygnały odebrane w tym samym momencie, zostały wysłane w różnych chwilach z różnych jego elementów. Sygnały świetlne pochodzące od elementów ciała położonych dalej musiały zostać wysłane wcześniej.

Dylatacja (wydłużenie) czasu. Załóżmy, ze w tym samym punkcie ukłądu S' zachodzą dwa zdarzenia. Korzystając z przekształceń Lorenza t₁=(t'₁-βx'/c)/pierw.(1-β²) i t₂=(t'₂-βx'/c)/pierw.(1-β²) oraz oznaczając Δt=t₂-t₁ i Δt'=t'₂-t'₁ otrzymujemy Δt=Δt'/pierw.(1-β²). Z tych zależności wynika, że obserwator spoczywający w układzie S' zmierzy na swoim zegarze czas Δt'- krótszy w porównaniu z czasem Δt, jaki wskaże zegar nieruchomy w układzie S, ale poruszający się względem punktu, w którym zachodzą oba zdarzenia. Czas mierzony na zegarze, który jest nieruchomy względem obiektu związanego ze zdarzeniami jest czasem najkrótszym i nazywa się czasem własnym. W naszej sytuacji Δt'=Δt/pierw.(1-β²), (Δt'<Δt) - zegar poruszający się chodzi wolniej od zegara spoczywającego. Efekt ten nazywa się dylatacją (wydłużeniem) czasu.

Masa i pęd. Korzystając z prawa zachowania pędu, na przykład analizując zderzenie kul sprężystych w dwóch inercjalnych układach odniesienia i stosując transformację Lorentza można wykazać że iloczyn m*pierw.(1-β²) nie zalezy od prędkości kuli , czyli jest const.. Można więc zapisać że m* pierw.(1-β²)=m_o* pierw.(1-V_o²/c) , gdzie m₀ to masa kuli o prędkości V_o=0. Oznacza to że m_o=m pierw.(1-β²) => m=m_o/pierw.(1-β²). Analizując to widać że gdy v→c to m→∞. Oznacza to również, że ciało którego masa spoczynkowa jest różna od zera nie może osiągnąć prędkości światła w próżni, gdyż siły działające na to ciało powinny osiągać wtedy wartości nieskończenie duże, a to nie jest realne. Cząstki, które nie mają masy spoczynkowej, na przykład fotony albo neutrina poruszają się w próżni z prędk. V=c. Można więc powiedzieć że prędkością graniczną z jaką mogą się poruszać obiekty fizyczne jest prędkość c. Biorąc wzór na masę m i wzór na pęd p=mV otrzymujemy p=m_oV/ pierw.(1-β²).

Energia- Poszukując wyrażenia na energię w mechanice relatywistycznej można wykorzystać wcześniej poznane związki: dW=dE_k ,gdzie dW=F*dr=dp/dt*dr=v*dp=v*d(mv) - elementarna praca siły działającej na pkt.materialny, dE_k—infinitezymalna zmiana energii kinetyczne tego pkt. wywołana wykonywaną pracą siły F. Tak więc można zapisać, że dE_k­=V*d(mV) i E_k=₀∫^VV*d(mV) , całkując to przez części otrzymujemy E_k=V*mV-₀∫^VmVdV=mV²-₀∫^Vm_oVdV/pierw.(1-V²/c²). Aby obliczyć ostatnią całkę korzystamy z podstawień i otrzymujemy E_k=mV²+moc2[pierw.(1-V²/c²)-1]=mV²+m₀c²* pierw.(1-V²/c²)-m₀c²=m₀V²/ pierw.(1-V²/c²)+m₀c²pierw.(1-V²/c²)-m₀c²=mc²-m₀c² ; Tak więc E_k=mc²-m₀c² i mc²=E_k+m_oc². Oznaczamy : E₀=mc² - energia spoczynkowa, E_k- energia kinetyczna, E=mc²- energia całkowita. i wtedy E=E_k+E_o.

Pęd cząsteczki i jej energia. W celu uzyskania tego związku należy skorzystać na pęd relatywistyczny cząstki dokonując następujących operacji: p=m₀V/pierw.(1-V²/c²) ||*c pc=m₀V*c/pierw.(1-V²/c²). Podnosząc obie stronny do kwadratu, dodając m₀²c⁴ i skracając otrzymujemy p²c²+m_o²c⁴=[m_oc²/pierw.(1-V²/c²)]² widzimy wiec ze wyrażenie w nawiasie pod kwadratem określa całkowitą energię relatywistyczną cząstki. W związku z tym zachodzą zależności: E²=p²c²+m₀²c⁴ E=pierw.(p²c²+m₀²c⁴) oraz E_k= pierw.(p²c²+m₀²c⁴)-m₀c².

Postulaty Szczególnej Teorii Względności: 1. jednostajny i prostolinowy ruch odosobnionego układu ciał jako całości nie wpływa na prawo opisujące dowolne zjawiska (chodzi o ruch względem układu inercjalnego). 2.Prędkość światła w próżni nie zależy od prędkości źródła światła i jest jednakowa we wszystkich inercjalnych układach odniesienia. Pierwszy postulat można wyrazić inaczej: za pomocą żadnego doświadczenia przeprowadzonego w odosobnionym układzie ciał nie można stwierdzić czy układ ten spoczywa czy porusza się jednostajnie prostoliniowo. Jeżeli chodzi o drugi postulat to jak dotąd wszystkie eksperymenty go potwierdzają.

Siły bezwładności. Równanie ruchu w ukł. nieinercjalnym wygląda następująco F'=ma_w. Chcąc ustalić jaki zwiąek ma siła F' z siłą jaka obserwowana jest w ukł.inercjalnym przemnażamy równanie przez masę: ma=ma_u+ma_c+ma_w , ma_w=ma+-ma_u-ma_c , F'=F+F_b , F_b=-ma_u-ma_c. Oprócz sił obserwowanych w ukł., należy dodać właśnie pewną siłę F_b która jest siłą bezwładności. Tak więc w ukł. nieinercjalnym oprócz siły wypadkowej F jaka jest obserwowana w ukł. inercjalnym z jaką to działa reszta świata na punkt m działa jeszcze dodatkowa siła. F_b=-ma_u-ma_c - nazywamy siła bezwładności. Ma ona zupełnie innych sens niż siła F. Niema bowiem ciała, które działa taką siłą na pkt.M. Siła ta jest więc siłą nierzeczywistą zwaną siłą d'Alemberta. Siły te występują tylko w układach nieinercjalnych. Siły te zostały wprowadzone po to aby można było stosować zasady dynamiki w ukł. nieinercjalnych. F_o=-ma_o -siła bezwładności związana z ruchem postępowym ukł. inercjalnego. F_s=-m(εxr') -siła bezwładności związana z przyśpieszeniem stycznym ruchu obrotowego układu. F_od=-mω(ωxr') -odśrodkowa siła związana z przyśpieszeniem dośrodkowym ukł. nieinercjalnego, F_c=-m2ωxV_w=2m(V_wxω)- siła Coriolisa. W układach nieinercjanych zawsze występują siły zewnętrzne (bezwładnościowe). Wobec tego w takich układach nie

mają zastosowania zasady zachowania pędu, momentu pędu i zasady zachowania energii. Rozpatrzmy taki przykład: Układ porusza się ruchem postępowym względem ukł. inercjalnego z przyśpieszenie a_o. W ukł. inercjalnym-względem ziemi: a=(F_N+Q)/m , F_N=m(a+g). W ukł. nieinercjalnym - w windzie: F_N+F_b+Q=0, F_N-F_b-Q=0, F_N=m(a+g).

Siła odśrodkowa powoduje to że istnieje różnica między ciężarem a siłą grawitacyjną. Q²=F_g²+F_b²-2F_gF_b*cosϕ. Dla ciał znajdujących się na półkuli północnej siła bezwładności jest prostopadła do osi i skierowana w prawo. Na półkuli północnej siła Coriolisa działa zawsze w prawo. Na półkuli południowej w lewo (działa ona na ciała poruszające się po powierzchni). Ciała spadające na powierzchnię ziemi odchylają się na wschód.

---