WAHADŁO MATEMATYCZNE
Skład sekcji nr 8 :
Kwijas Grzegorz
Paździorek Jarek
Żymełka Dawid
Część teoretyczna.
Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny zawieszony na długiej, nieważkiej i nierozciągliwej nici, umieszczony w polu siły ciężkości . Układ taki nie istnieje w rzeczywistości, ale przybliżonym modelem wahadła matematycznego może być ciężkie ciało zawieszone na lekkiej nici, której długość jest znacznie większa od wymiarów tego ciała .
Przyjmujemy dla małych kątów , że stosunek wychylenia x do długości wahadła l jest równy sinα .Korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona możemy zapisać równanie ruchu w postaci:
Dla małych wychyleń (sin a ~ a ⇒ s=a*l) równanie przyjmuje postać równania harmonicznego:
Okres wahań wahadła możemy przedstwić wzorem :
Oznacza to, że dla małych wychyleń okres wahań nie zależy od amplitudy, a także masy punktu materialnego. Wzór ten pozwala wyznaczyć, dla małych wychyleń z dobrym przybliżeniem, wartość przyspieszenia ziemskiego.równania.
Stanowisko pomiarowe.
Wahadło matematyczne jest konstrukcją idealną, złożoną z punktu materialnego oraz nieskończenie długiej, nieważkiej nici. W doświadczeniu wykorzystano model wahadła składający się z ciężarka o niewielkich wymiarach, pomijalnie małych w stosunku do cienkiej i lekkiej nici, na której jest zawieszony ciężarek. Pomiarów dokonujemy za pomocą: linijki (długość wahadła), kątomierza ( wychylenie ciężarka z punktu równowagi ) oraz cyfrowego układu zliczającego czas okresu wahadła za pomocą fotoelementu.
III. Przebieg ćwiczenia.
Początkowo dokonano pomiaru okresu wahadła zwiększając jego długość od 30 cm do 140 cm (ze skokiem co 10 cm ). Następnie dla długości wahadła 0,5 m odczytano okresy drgań dla wychyleń co 5° począwszy od 5°, a kończąc na 45°.
IV. Opracowanie i analiza wyników pomiarów.
Zależność okresu wahadła od amplitudy wychyleń
Na wykresie 2, przedstawiono okres drgań wahadła w zależności od amplitudy wychyleń. Im amplituda jest większa tym większy jest okres wahadła.
Zależność okresu wahadła od długości wahadła
Seria pomiarów wykonanych dla małych amplitud ( 5° ) sugeruje liniowy wzrost wartości okresu ruchu zgodnie ze wzorem:
Obliczone metodą regresji liniowej współczynniki prostej :
a = 2.0056 * 0,0026
b = 0,0012 * 0,0024
pozwalają wykreślić prostą ilustrującą zależność między okresem ruchu wahadła, a jego długością. A więc potwierdza się fakt liniowej zależności tych wielkości dla niedużych amplitud.
Otrzymawszy wartości charakteryzujące zależność okresu ruchu od długości wahadła można określić wartość przyspieszenia ziemskiego:
Aby uprościć powyższy wzór, można przyjąć b = 0, przyspieszenie g będzie niezależne od długości l :
Błąd przyspieszenia ziemskiego wyznaczamy ze wzoru:
Przyspieszenie ziemskie przyjmuje następującą wartość:
g = 9,815 * 0,025 [m/s2]
IV. Wnioski i uwagi.
Uzyskane wyniki pomiarów wyznaczania przyspieszenia ziemskiego odbyło się z dość dużą dokładnością. Wpływ na końcowy wynik miały przede wszystkim pomiary długości nici dokonywane z dokładnością 1 cm. Wykorzystywana w doświadczeniu nić była trochę rozciągliwa, co czasami zmieniało długość wahadła. Dużą trudność stanowiło również poprawne odczytanie kąta wychylenia wahadła. Przyjęto, że kąt odczytywano z błędem 1.