Optymalizacja programu produkcji betoniarni

Zadanie:

Betoniarnia produkuje dwa rodzaje pustaków: zwykły i z gryzem marmurowym. Każdego dnia do dyspozycji ma 800 pustych form metalowych. Sprzedaż każdego zwykłego pustaka przynosi zysk 2,20 zł, pustaka z gryzem marmurowym 2,25 zł. Aby wyprodukować jeden zwykły pustak, potrzeba 0,5 kg cementu, z gryzem marmurowym 0,4 kg cementu. Cementownia jest w stanie dostarczyć do betoniarni 50 ton cementu dziennie. Dodatkowo do wyprodukowania pustaka z gryzem marmurowym potrzeba 0,2 kg tego gryzu. Kamieniołom jest w stanie dziennie dostarczyć go do betoniarni w ilości 50 kg. Należy tak ustawić produkcję, aby osiągnąć maksymalny zysk dzienny.

INTERPRETACJA MATEMATYCZNA

Na podstawie treści problemu wyodrębniono poszczególne elementy modelu:

Zmienne decyzyjne:

x₁ - liczba zwykłych pustaków,

x₂ - liczba pustaków z gryzem marmurowym.

Współczynniki funkcji celu:

zysk na wyprodukowanym pustaku

2,20 dla x₁,

2,25 dla x₂.

Funkcja celu przyjmuje więc postać:

f (x₁, x₂) = 2,20 x₁ + 2,25 x₂ → max

Dodatkowo wyodrębniono

Warunki ograniczające:

• x₁ + x₂ < 800 ze względu na liczbę form metalowych,

• 0,5x₁ + 0,4x₂ < 50 000 ze względu na ilość cementu,

• 0,2 x₂ < 50 ze względu na ilość gryzu marmurowego.

oraz oczywiście:

• x₁ > 0 i

• x₂ > 0.

Dwa ostatnie warunki są bardzo ważne z tego powodu, że funkcja Solver „poszłaby na łatwiznę'' i maksymalizowałaby zysk, przyjmując wartości ujemne dla zmiennych decyzyjnych, a nam przecież nie o to chodzi.

Przeniesienie wyżej przedstawionych elementów do arkusza Excela pozwoli sprawnie wykorzystać narzędzie Solver do rozwiązania problemu. Widok arkusza przedstawia poniższy rysunek.

Funkcja celu	Zysk jednostkowy	Ilość	Wartość	Zużycie cementu	Zużycie gryzu
Pustaki zwykłe	2,20 zł	1	2,20 zł	0,5	0
Pustaki z gryzem	2,25 zł	1	2,25 zł	0,4	0,2
	RAZEM	2	4,45 zł	0,9	0,2
Ograniczenia
Ilość form metalowych	800
Dysponowany cement	50 000
Dysponowany gryz	50

Dane w kolumnach Wartość, Zużycie cementu oraz Zużycie gryzu są wyliczane. W dolnym wierszu arkusza są one zsumowane (D4:G4). W kolumnę Ilość zawierającą zmienne decyzyjne x₁, x₂ wpisano tymczasowo wartości 1.

Funkcja celu, zapisana jako suma wartości zysku dla obu asortymentów, znajduje się w komórce D4. Poniżej głównej tabeli umieszczono tabelkę z ograniczeniami. Kolorami zaznaczono odniesienia ograniczeń do wyliczonych wartości w tabeli głównej. I tak np. Ilość form metalowych (komórka B6) ogranicza sumę liczby możliwych do wyprodukowania pustaków (C4). Tak przygotowane dane poddano obróbce za pomocą narzędzia Solver.

Zaznaczono komórkę D4 zawierającą funkcję celu, którą chcemy zmaksymalizować, i uruchomiono narzędzie Solver.

Parametry niezbędne do rozwiązania niniejszego przykładu muszą zostać wprowadzone tak, jak pokazano na poniższym rysunku.

W oknie Solver uruchom parametry obliczenia przyciskiem Rozwiąż. W kolejnym oknie, Solver — Wyniki, należy wybrać opcję Przechowaj rozwiązanie i kliknąć przycisk OK. Wyniki przedstawiono na rysunku poniżej. Były one oczywiście intuicyjnie oczekiwane. Z uwagi na prostotę proponujemy wykonać samodzielnie ćwiczenie, nieznacznie modyfikując dane z tego przykładu.

Funkcja celu	Zysk jednostkowy	Ilość	Wartość	Zużycie cementu	Zużycie gryzu
Pustaki zwykłe	2,20 zł	550	1 210,00 zł	275	0
Pustaki z gryzem	2,25 zł	250	562,50 zł	100	50
	RAZEM	800	1 772,50 zł	375	50
Ograniczenia
Ilość form metalowych	800
Dysponowany cement	50 000
Dysponowany gryz	50

---