POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA
KATEDRA FIZYKI
Ćwiczenie nr 10
Temat: Wyznaczanie współczynnika
przewodnictwa temperaturowego ciał stałych.
Wykonali:
I. Wstęp teoretyczny.
1.Makroskopowy opis przewodnictwa cieplnego.
Ciało stałe posiadające różne temperatury w różnych punktach , odizolowane od wpływu otoczenia dąży do wyrównania temperatur. Szybkość
wyrównywania się temperatur zależy od ich różnicy i rodzaju ciała. Każde ciało charakteryzuje tzw. współczynnik przewodnictwa temperaturowego zwany również współczynnikiem dyfuzji cieplnej .Wyrównywanie się temperatur spowodowane jest przepływem ciepła z obszarów o wyższej temperaturze do obszaru o temperaturze niższej. Zdolność przewodzenia ciepła przez ciało charakteryzuje współczynnik przewodnictwa cieplnego H .Oba współczynniki powiązane są relacją K=H /ρcgdzie: ρ - gęstość ciała,
c - ciepło właściwe ciała.
2.Mikroskopowy opis przewodnictwa cieplnego.
2.1 Dielektryki.
W mechanice kwantowej ruch cząsteczek wiąże się z rozchodzeniem fal i
przeciwnie rozchodzenie się fal w dowolnym ośrodku można powiązać
formalnie z ruchem pewnego zbioru cząstek .W tym sensie można falom
sprężystym związanym z drganiami atomów sieci przypisać zbiór cząstek
zwanych fononami , których energia wynosi ℏΩ zaś pęd ℏk .W temperaturze
zera bezwzględnego fonony nie istnieją , zaś ze wzrostem temperatury liczba ich
rośnie. Można sobie wyobrazić ciało stałe ożywione ruchem cieplnym jako
pudło wypełnione gazem fononowym , przy czym gęstość tego gazu rośnie ze
wzrostem temperatury .Z fizyki statystycznej przewodnictwo cieplne gazu
wyraża się wzorem H =
Podstawiając do wzoru gaz fononowy mamy:
c - ciepło właściwe substancji ,
l - średnia droga fononów pomiędzy dwoma zderzeniami ,
u - prędkość fononu.
Zderzenia fonon-fonon mogą być dwojakiego rodzaju. Mogą zachodzić tzw.
procesy N (normalne) - są to zderzenia , w których zachowany jest pęd
fononów.
W wyniku takiego zderzenia wypadkowy pęd dwóch oddziaływujących
fononów przechodzi całkowicie w pęd nowopowstałego fononu.
Przewodnictwo cieplne kryształów dielektrycznych (wartość skończona i w
wysokich temperaturach całkiem mała) ograniczają procesy U(Umklapp).W
procesie tym wypadkowy pęd zderzających się fononów nie jest zachowany
gdzie G jest wektorem sieci odwrotnej .Zderzenia Umklapp
mogą „zawracać” fonony przenosząc energię cieplną i w ten sposób
przewodnictwo cieplne ograniczają.
Średnia droga swobodna będzie zależała od liczby fononów. Liczba fononów
przy T < θ rośnie z temperaturą proporcjonalnie do , a dla T > θ już tylko
jak T. Droga swobodna , a z nią przewodnictwo cieplne zachowują się
odwrotnie .Dla T < θ maleje dość szybko , dla T > θ maleje nadal , lecz wolniej
jak . W bardzo niskich temperaturach przewodnictwo cieplne zależy tylko
od ciepła właściwego , które w niskich temperaturach maleje do zera jak ,
a w wysokich jest niezależna od temperatury.
2.2 Metale.
Metale różnią się od dielektryków tym , że oprócz gazu fonowego nośnikami
ciepła są elektrony swobodne tworzące tzw. Gaz elektronowy. Dzięki temu
przewodnictwo cieplne metali jest średnio 100 razy większe od przewodnictwa
cieplnego dielektryków.
Przewodnictwo cieplne metalu
H =H l + H e gdzie H l < < H e
H l - przewodnictwo cieplne sieci krystalicznej
H e - przewodnictwo cieplne elektronów
Dla temperatur T < θ charakter zależności H (T) dla metali jest podobny do
zależności dielektryków , chociaż wzrost ( H T )i spadek (H)
jest nieco inny , ponieważ w przewodnictwie biorą udział elektrony.
W temperaturze wyższej przewodzą prawie wyłącznie elektrony (udział
fononów do pominięcia).Przewodnictwo w tym zakresie jest stałe ponieważ
wzrost energii przenoszonej przez elektrony o wyższej temperaturze jest
kompensowany zmniejszaniem się średniej drogi swobodnej.
2.3 Półprzewodniki.
Półprzewodniki o bardzo małej koncentracji elektronów w paśmie
przewodnictwa mają przewodnictwo cieplne podobne do przewodnictwa
izolatorów , natomiast półprzewodniki o dużej ilości elektronów w paśmie
przewodnictwa są bliższe pod tym względem metalom.
2.4 Szkła , ciała amorficzne i polikrystaliczne.
Całkiem odmiennie zmienia się z temperaturą przewodnictwo cieplne w
ciałach polikrystalicznych , w których krystality są małe w porównaniu ze
średnią drogą swobodną fononów , a także w ciałach amorficznych , które
można traktować jak ciała polikrystaliczne z krystalitami o rozmiarach
atomów .W ciałach takich przewodnictwo cieplne w bardzo niskich
temperaturach powinno rosnąć z temperaturą tak jak ciepło właściwe
(H ) , a następnie ponieważ ani c , ani l nie zależą od temperatury
przewodnictwo cieplne pozostaje stałe.
3.Zasady pomiaru współczynnika przewodnictwa temperaturowego.
Rozpatrujemy zjawisko stygnięcia lub ogrzewania ciała o objętości V
ograniczonego powierzchnią Σ. Niech temperaturę tego ciała opisuje
funkcja T(x,y,z,t).W chwili początkowej (t = 0) rozkład temperatury
wewnątrz ciała jest ustalony , choć dowolny i opisany funkcją ϕ (x,y,z)
T(x,y,z,0) = ϕ (x,y,z)
Zakładamy , że temperatura na powierzchni ciała jest stała w czasie i równa
zeru ( T Σ = 0 ).W ten sposób sprowadziliśmy problem do równania dyfuzji
/ (1)
Spełniając warunek brzegowy (T Σ = 0 ) i rozdzielając zmienne
otrzymujemy dwa równania (2) - zależne od współrzędnych przestrzennych i
(3) - zależne tylko od czasu.
(2)
=
(3)
Równanie (3) nazywa się zagadnieniem na wartości własne.
Ponieważ rozwiązanie równania (1) ma postać
Ta postać rozwiązania równania (1) jest dogodna dla badania zjawiska przy
dużych t.
Dla t >> 0 (4)
Logarytmując równanie (4) stronami otrzymujemy:
(5)
Wykres tej funkcji ( ln T = f(t) ) , jest od pewnego momentu linią prostą o
współczynniku kątowym -Kλ. Mierząc temperaturę w dowolnym punkcie
wewnątrz ciała w funkcji czasu i znając , zależną od kształtu
próbki , możemy znaleźć współczynnik przewodnictwa temperaturowego K.
II. Tabele pomiarowe.
Lp. |
Temperatura |
STEM |
STEM |
|
Lp. |
Temperatura |
STEM |
STEM |
||
|
[0C] |
[K] |
[dz.] |
[mV] |
|
|
[0C] |
[K] |
[dz.] |
[mV] |
1 |
22 |
295 |
1 |
0,03 |
|
8 |
36 |
311 |
24,5 |
0,735 |
2 |
24 |
297 |
5 |
0,15 |
|
9 |
38 |
313 |
29 |
0,87 |
3 |
26 |
299 |
7,5 |
0,225 |
|
10 |
40 |
315 |
33 |
0,99 |
4 |
28 |
301 |
10,5 |
0,315 |
|
11 |
42 |
317 |
36 |
1,08 |
5 |
30 |
303 |
14 |
0,42 |
|
12 |
44 |
319 |
40,5 |
1,215 |
6 |
32 |
305 |
17 |
0,51 |
|
13 |
46 |
321 |
44 |
1,32 |
7 |
34 |
307 |
21,5 |
0,645 |
|
14 |
48 |
323 |
47,5 |
1,425 |
Lp. |
STEM |
STEM |
ΔT=T0-Tp |
czas |
lnΔT |
- |
[dz.] |
[mV] |
[K] |
[min] |
- |
1 |
48 |
1,44 |
65,6 |
0 |
4,18 |
2 |
47,5 |
1,425 |
64,71 |
3 |
4,16 |
3 |
46 |
1,38 |
62,02 |
6 |
4,12 |
4 |
41,5 |
1,245 |
53,98 |
9 |
3,98 |
5 |
36 |
1,08 |
44,14 |
12 |
3,78 |
6 |
31,5 |
0,945 |
36,1 |
15 |
3,58 |
7 |
27 |
0,81 |
28,05 |
18 |
3,33 |
8 |
23,5 |
0,705 |
21,79 |
21 |
3,08 |
9 |
20,5 |
0,615 |
16,43 |
24 |
2,79 |
10 |
18 |
0,54 |
11,96 |
27 |
2,48 |
11 |
15,5 |
0,465 |
7,49 |
30 |
2,01 |
12 |
14 |
0,42 |
4,81 |
33 |
1,57 |
13 |
12,5 |
0,375 |
2,13 |
36 |
0,75 |
14 |
11 |
0,33 |
-0,55 |
39 |
- |
15 |
10 |
0,3 |
-2,34 |
42 |
- |
IV. Wykresy.
V. Obliczenia.
Na podstawie danych z tabeli I i sporządzonego na ich podstawie wykresu zależności STEM=f(T) oraz korzystając z danych zamieszczonych w tabeli II otrzymujemy wykres lnΔT=f(t).Z otrzymanego wykresu, a dokładnie z części liniowej wyznaczamy tangens kąta α , oraz kąt α.
o
W oparciu o wzór obliczam promień walca równy
z - wysokość walca równa -[3 [m]
= 2.40 m,n,l = 9962.3 [m2]
Obliczam wartość współczynnika przewodnictwa temperaturowego ciał stałych
. ,
V. Wnioski i uwagi.
Celem ćwiczenia było wyznaczenie współczynnika przewodnictwa temperaturowego ciał stałych , który w naszym przypadku wynosi
-
Pierwsza część ćwiczenia (cechowanie termopary) była nam potrzebna w celu prawidłowego przeprowadzenia części drugiej, czyli wyznaczenia szukanego współczynnika .Stała α była odczytana z pierwszej charakterystyki.
Mając do dyspozycji charakterystykę lnΔT=f(t), odnajdujemy tgα, który podstawiając do wzoru na K daje nam wartość szukanego współczynnika.
Podczas przebiegu ćwiczenia należy zwracać uwagę na prawidłowe ustawienie temperatury w termostacie, oraz na właściwe odczytywanie wskazań galwanometru, gdyż od tych wartości zależy dokładność pomiarów, a co za tym idzie błąd z jakim obliczymy wartość współczynnika K.