Ruch drgający

Ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu, nazywamy ruchem okresowym (periodycznym). Przemieszczenie cząstki w ruchu periodycznym można wyrazić za pomocą funkcji sinus i cosinus.

Siła harmoniczna

Działającą na ciało siłę, która jest proporcjonalna do przesunięcia ciała od początku układu i która jest skierowana ku początkowi układu, nazywamy siłą harmoniczną lub siłą sprężystości. Jeżeli obierzemy oś x wzdłuż przesunięcia, to siła harmoniczna jest wyrażona równaniem F= - kx gdzie x jest przesunięciem od położenia równowagi. To równanie opisuje siłę wywieraną przez rozciągniętą sprężynę o ile tylko sprężyna nie została rozciągnięta poza granicę sprężystości. Nazywamy to prawem Hooke'a.

Jeżeli sprężyna zostanie rozciągnięta tak aby masa m (zaczepiona do sprężyny) znalazła się w położeniu x = A, a następnie w chwili t = 0 została zwolniona, to położenie masy w funkcji czasu będzie dane równaniem x = Acosωt . Z II zasady dynamiki Newtona wynika, że - kx/m = a czyli - kx/m = dv/dt wreszcie -kx/m=d²x/dt² ; 0=d²x/dt²+ kx/m ; ω²=k/m ; d²x/dt²+ω²x=0 ; dx/dt=Aωcos(ωt+ϕ) ; d²x/dt²=-Aω²cos(ωt+ϕ).

Najogólniejszym rozwiązaniem jest x=Asin(ωt+ϕ) , gdzie ϕ jest dowolną stałą fazową. Stałe A i ϕ są określone przez warunki początkowe. V=dx/dt= ωAcos(ωt+ϕ) ; a=dV/dt=d²x/dt²=-ω²Acos(ωt+ϕ) = a=-ω²x.

Wartości Maksymalne to: wychylenie x=A ; prędkość V_max=ωA ; przyśpieszenie a_max=-ω²A.

Niech T oznacza okres drgań - jest to najkrótszy czas po którym wszystkie wielkości opisujące ruch powtarzają swoje wartości. Funkcja cosωt lub sinωt powtarza się po czasie T dla którego ωT = 2π. Ta szczególna wartość czasu jest zdefiniowana jako okres T=2π /ω. Liczba drgań w czasie t jest n = t/T .Gdy podzielimy obie strony przez t, otrzymamy liczbę drgań w jednostce czasu n/t=1/T .Lewa strona równania jest z definicji częstotliwością drgań f=1/T .Dla ruchu harmonicznego ω=pierw(k/m) więc otrzymujemy T=2Π*pierw(m/k) Jest to okres drgań masy m przyczepionej do końca sprężyny o stałej sprężystości k.

Należy zwrócić uwagę że okres drgań nie zależy od amplitudy drgań A. Energia ruchu harmonicznego prostego.

E_c=E_k+E_p ; E_k=mV²/2 ; E_k=mω₀²A²/2*cos²(ωt+ϕ) ; E_px-E₀=₀∫^xkxdx ; E_ox=kx²/2=kA²/2*sin²(ωt+ϕ) ; E_c=mω²/2*A²cos²(ωt+ϕ) + kA²/2*sin²(ωt+ϕ) ; ω²=k/m ; E_c=mω_o²A²cos²(ωt+ϕ)+mω_o²A²/2*sin²(ωt+ϕ)=mω_o²A²=kA²/2

Składanie drgań harmonicznych odbywających się wzdłuż jednej prostej.

Przypuśćmy , że x=Acos(ωt+ϕ) opisuje ruch harmoniczny. Poprowadzmy oś OX (umownie nazwaną oporową) i wykreślmy wektor A_o równy liczbowo amplitudzie A skierowany z punktu O pod kątem ϕ do osi OX. Jeżeli faza początkowa ma wartość dodatnią to kąt ϕ odmierzamy od osi OX w kierunku przeciwnym do kierunku wskazówek zegara. Rzut wektora A_o na oś OX równa się wychyleniu x_o w momencie rozpoczęcia liczenia czasu (x_o=Acosϕ). ω_o1=ω_o2=ω_o ; x₁=A₁cos(ωt+ϕ) ; x₂=A₂cos(ωt+ϕ) ; x=Acos(ωt+ϕ) ; A²=A₁²+A₂²-2A₁A₂cos(180⁰-(ϕ₂-ϕ₁)) ; A²=A₁²+A₂²+2A₁A₂cos(ϕ₂-ϕ₁) ; A=pierw(A₁²+A₂²+2A₁A₂cos(ϕ₂-ϕ₁)) ; tgΦ=(A₁cosϕ₁+A₂sinϕ₂)/(A₁cosϕ₁+A₂cosϕ₂) ; I przez arctg otrzymujemy Φ ; x=AsinΦ ; Φ=ω_ot+Φ₀ ; x=pierw((A₁²+A₂²+2A₁A₂cos(ϕ₂-ϕ₁))*cos(ω_ot+Φ₀) ; |A₁-A₂|≤A≤A₁+A₂ ; 1) ϕ₁-ϕ₂=0 A=A₁+A₂ ; 2)ϕ₂-ϕ₁=Π/2 A=pierw(A₁²+A₂²) ; 3)ϕ₂-ϕ₁=Π A=|A₁-A₂| . Załóżmy, że drgania składowe zachodzą wzdłuż jednej prostej (zachodzą w tym samym kierunku) ale moją różne okresy. Dla prostych rozważań zakładamy, że amplitudy drgań są takie same. |A'₁|=|A₁|=A₁ ; x₁=A₁cos(ω_o1+ϕ) ; x₂=A₂cos(ω_o2+ϕ) ; x=Acos(ω_o+ϕ) ; A=pierw(A₁²+A₂²+2A₁A₂cos(ω_o2-ω_o1)t) ; A²=2A₁²+2A₁²cos(ω_o2-ω_o1)t ; A²=2A₁²+2A₁²cos(ω_o2-ω_o1)t ; A²=2A₁²(1+cos(ω_o2-ω_o1)t) ; A²=2A₁²*2cos²((ω_o2-ω_o1)/2)*t ; A=2A₁|cos(ω_o2-ω_o1)/2)*t| ; Φ=(Φ₂-Φ₁)/2+Φ₁ ; Φ=(ω_o2+ω_o1)t/2+ϕ ; X=2A₁|cos(ω_o2+ω_o1)t/2|cos[(ω_o2+ω_o1)t/2+ϕ] ;

Jeżeli założymy, że ω₀₁+ω_o2 mało różnią się od ω_o1 to ω=ω_o2-ω_o1 jest małe w porównaniu ω_o1+ω_o2 i drganie wypadkowe można traktować jako ruch harmoniczny prosty o częstotliwości kołowej (ω_o2+ω_o1)/2. Jednak amplituda a tego ruchu nie jest stała lecz powoli się zmienia z zależnością A=2A₁|cos(ω_o2+ω_o1)t/2| ,okres zmian τ=2Π/(ω_o2-ω_o1)

Składanie drgań wzajemni prostopadłych

Punkt materialny bierze udział w dwóch drganiach wzajemnie do siebie prostopadłych o jednakowych częstotliwości. Drgania są w osiach OX i OY. x=A₁sin(ω_ot+ϕ₁) ; y=A₂sin(ω_ot+ϕ₂). Poszukajmy toru tego punktu. x/A₁=sin(ω_ot+ϕ₁) ; y/A₂=sin(ω_ot+ϕ₂) ; x/A₁=sinω_otcosϕ₁+cosω_otsinϕ₁ ; y/A₂=sinω_otcosϕ₂₊cosω_otsinϕ₂ ; x/A₁sinϕ₂= sinω_otcosϕ₁sinϕ₂+ cosω_otsinϕ₁sinϕ₂ ; y/A₂sinϕ₁= sinω_otcosϕ₂sinϕ₁+ cosω_otsinϕ₂sinϕ₁ ; x/A₁sinϕ₂- y/A₂sinϕ₁= sinω_otcosϕ₁sinϕ₂ - sinω_otcosϕ₂sinϕ₁ ; x/A₁sinϕ₂- y/A₂sinϕ₁=sinω_ot(cosϕ₁sinϕ₂ - cosϕ₂sinϕ₁) ; x/A₁sinϕ₂- y/A₂sinϕ₁= sinω_otsin(ϕ₂-ϕ₁) ; x/A₁=sinω_otcosϕ₁+cosω_otsinϕ₁ ; y/A₂= sinω_otcosϕ₂+cosω_otsinϕ₂ ; x/A₁cosϕ₂ - y/A₂cosϕ₁ = cosω_ot(sinϕ₁cosϕ₂- sinϕ₂cosϕ₁) ; x/A₁cosϕ₂ - y/A₂cosϕ₁=-cosω_otsin(ϕ₂-ϕ₁) ; podnosimy do kwadratu ; x²/A₁²sin²ϕ₂ -2x/A₁*y/A₂sinϕ₂sinϕ₁+ y²/A₂²sin²ϕ₁=sin²(ω_ot)sin²(ϕ₂-ϕ₁) ; x²/A₁²cos²ϕ₂ -2x/A₁*y/A₂cosϕ₂cosϕ₁+ y²/A₂²cos²ϕ₁=cos²(ω_ot)sin²(ϕ₂-ϕ₁) ; dodajemy stronami ; x²/A₁²-2x/A₁*y/A₂cos(ϕ₂-ϕ₁)+ y²/A₂²= sin²(ϕ₂-ϕ₁) ; cos(ϕ₂-ϕ₁)= cosϕ₁ cosϕ+sinϕ₁sin ϕ₂ ; i otrzymujemy ogólne równanie elipsy ; 1. ϕ₁=ϕ₂=ϕ mamy y=A₂/A₁*x równanie linii prostej przechodzącej przez początek układu / ; 2. ϕ₂-ϕ₁=Π mamy y=-A₂/A₁*x , jak wyżej \ ; 3. ϕ₂-ϕ₁=Π/2 mamy x²/A₁²+y²/A₂²=1 równanie elipsy ; 4. 3/2*Π tez elipsa ; 5.A₁=A₂ ruch jest po okręgu. Jeżeli częstotliwości drgań są różne to wtedy punkt porusza się po skomplikowanym torze. Tego rodzaju tory nazywa się Lissojous'a.

Drgania tłumione

Rozważania ograniczamy do rozpatrzenia przypadku prostoliniowego drgania punktu materialnego w lepkim ośrodku. W przypadku drugim siła jest proporcjonalna do prędkości. m*d²x/dt²=-kx-fV ; d²x/dt²=-k/m -fV/m ; f/m=2β ; β=f/2m ; d²x/dt²+ω_o²x++2βdx/dt=0 ; x=ze^(-βt) ; dx/dt=dz/dt*e^(-βt)-βze^(-βt) ; d²x/dt²=d²z/dt²*e^(-βt)-β ; d²x/dt²=d²z/dt²*e^(-βt) -2β*dz/dt*e^(-βt)+β²e^(-βt)*z ; d²z/dt²*e^(-βt)+ω_o²ze^(-βt)-β²ze^(-βt)=0 ; dzielimy przez e^(-βt) ; d²z/dt²+ω_o²z-β²z=0 ; d²z/dt²+z(ω_o²-β²)=0 ; ω_o²-β²>0 ; ω_o²-β²=ω² ; d²z/dt²+zω²=0 ; z=A_osin(ωt+ϕ) ; x=z*e^(-βt) ; x=A_oe^(-βt)*sin(ωt+ϕ) ; A=A_oe^(-βt) ; x=A sin(ωt+ϕ) ; ω=pierw(ω_o²-β²) ; T=2Π/pierw(ω_o²-β²) ; Logarytmiczny dekrement tłumienia ϑ - Naturalny logarytm stosunku amplitudy dwóch kolejnych wychyleń następujących po czasie t. ϑ=lnA_n/A_n+1 ; A_n=A_oe^(-βt) ; A_n+1=A_oe^(-β(t+T)) ; ϑ=lne^βT=βT ; ϑ=βT ; Czas relaksacji - czas po którym amplituda drgania maleje n-krotnie ; A_n/A_n+1=e ; e^βτ=e^1 ; βτ=1 ; β=1/τ ; z tego wynika że współczynnik tłumienia β jest wielkością fizyczną równą odwrotności czasu τ w ciągu którego amplituda zmienia się n-razy. Czas τ nazywamy czasem relaksacji. Niech N oznacza liczbę drgań po wykonaniu, których amplituda zmniejsza się e-razy ; τ=NT ; T=ϑ/β ; ϑ=1/N ; Logarytmiczny dekrement tłumienia ϑ równa się odwrotności liczby drgań N po upływie których amplituda zmniejsza się e-ktrotnie. A=A_o*e^(-βt) ; Zgodnie z wzorem drgania zanikają w ciągu skończonego czasu, ponieważ drgania układu makroskopowego jako całości stają się niemożliwe gdy amplituda drgań ulega zmniejszeniu do wartości drgań rzędu drgań atomowych.

Drgania wymuszone

Na punkt materialny na który oprócz sił sprężystości i sił oporu działa dodatkowa siła zmienna okresowo. Niech siła ta ma postać F=F_ocos(ωt) ; m*d²x/dt²=-kx-f*dx/dt+F_ocosωt ; d²x/dt²=-kx/m-f/m*dx/dt+F_o/m*cosωt ; d²x/dt²=-ω_o²x-2βdx/dt+βcosωt ; x=Acos(ωt+ϕ) ; dx/dt=-ωAsin(ωt+ϕ) ; d²x/dt²=-ω²Acos(ωt+ϕ) ; -ω²Acos(ωt+ϕ)= Acos(ωt+ϕ)+2βωAsin(ωt+ϕ)+cosωt ; -ω²A(cosωtcosϕ-sinωtsinϕ)=-ω_o²A(cosωtcosϕ-sinωtsinϕ)+2βωA(sinωtcosϕ+cosωtsinϕ)+pcosωt ; równanie to stanie się tożsamością pod warunkiem, że współczynnik przy cosωt po lewej stronie równy będzie współczynnikowi przy cosωt po prawej stronie równania. Ten sam warunek muszą spełniać przy sinωt. ; -ω²Acosϕ=-ω_o²Acosϕ+2βωAsinϕ+p ; ω²Asinϕ=ω_o²Asinϕ+2βωAcosϕ ; (ω_o²-ω²)Acosϕ-2βωAsinϕ=p ; (ω_o²-ω²)Asinϕ-2βωAcosϕ=0 ; tgϕ=(-2βωA)/[ω_o²-ω²)A] ; tgϕ=(-2βω)/(ω_o²-ω²) ; Podnosimy do kwadratu oba równania i dodajemy stronami poczym otrzymujemy (ω_o²-ω²)²A²+4β²ω²A²=p² ; A²[(ω_o²-ω²)²+4β²ω²]=p² ; A=p/pierw[(ω_o²-ω²)²A²+4β²ω²] ; Istnieje pewna wartość częstotliwości przy której amplituda osiąga wartości max. Sytuacja w której to następuje nazywa się rezonansem drgań. ; M(ω)=(ω_o²-ω²)²+4β²ω² ; dM(ω)/dω=2(ω_o²-ω²)(-2ω)+4β²2ω=0 ; -4ω(ω_o²-ω²)+8β²ω=0 ; 4ω(ω_o²-ω²)-8β²ω=0 ; 4ω[(ω_o²-ω²-2β²]=0 ; ω_o²-ω_r²-2β²=0 ; ω_r=pierw(ω²-2β²) ; A_max=p/pierw[(ω_o²-ω_r²)+4β²ω_r²] ; A_max=p/pierw[4β⁴+4β²ω_o²-8β⁴] ; A_max=p/pierw(4β²ω_o²-4β⁴) ; A_max=p/2βpierw[ω_o²-β²] ; tgϕ=-2βpierw(ω_o²-2β²)/[ω_o²-2β²] ; tgϕ=-pierw(ω_o²-2β²)/β ; Im mniejsze tłumienie tym rezonans jest bardziej ostry.

Cząstka w studni potencjałów

Niech cząstka o masie m znajduje się w obszarze 0<x<L między dwoma nieskończonymi barierami potencjałów. W takiej sytuacji mówimy, że cząstka znajduje się w nieskończenie głębokiej studni bariery potencjałów. Jeżeli cząstka znajduje się wewnątrz studni 0<x<L to nie działa na nią żadna siła. (F=-dU/dx=0) ,a 0≤x≥L ; F=-dU/dx=∝ ; Ponieważ cząstki znajdują się tylko wewnątrz studni to na zewnątrz ψ(x)=0. Funkcja musi zachowywać ciągłość, więc musi ona znikać na granicy przedziałów. Dla x≤0 i x≥L ψ(x)=0. dla naszej sytuacji równanie Shora. Δψ=2m/h²*Eψ_s=0 ; d²ψ/dx²+2m/h²*Eψ_s=0 ; ψ_s=Ae^(ikx)+Be^(-ikx) ; k²=2m/h²*E ; k=pierw(2mE)/h. Rozwiązanie jest równaniem przedstawiającym równanie fali, która jest superpozycją dwóch fal poruszających się w kierunku przeciwnym. Korzystając z warunków brzegowych możemy znaleźć związek między A i B. x=0 ; ψ_s(0)=0 ; 0=Ae⁰+Be⁰ ; B=-A ; ψ_s=A[e^(ikx)-e^(-ikx)] ; e^ikx=coskx-isinkx ; e^-ikx=coskx+isinkx ; ψ_s=A(coskx+isinkx-coskx+isinkx) ; ψ_s=2Aisinkx ; 2Ai=c ; ψ_s=csinkx ; Skorzystamy z warunku brzegowego x=L to ψ_s(L)=0 ; 0=csinkL ; c=0 odrzucamy bo funkcja falowa w każdym punkcie przestrzeni była by równa 0 ; sinkL=0 ; kL=nΠ ; k=pierw(2mE)h ; pierw(2mE)/h*L=nΠ ||² ; 2mEL²/h²=n²Π² ; amE=n²Π²h²/L² ; E=Π²h²/2mL²*n² ; Wynika stąd, że cząstka znajdująca się w studni potencjałów może przyjmować skwantowane wartości energii. Istnienie dyskretnych poziomów energetycznych dla cząstki wynika z nałożonych dla cząstki warunków brzegowych. E_min=Π²h²/2mL² ; ΔpΔx≥h ; Δx=L ; Δp≥h/L ; E=p²/2m ; Δp≠0 ; p≠0; E≠0 ; Otrzymane wyniki nie zgadzają się z informacjami jakie można uzyskać na podstawie równań klasycznych. Zgodnie z którymi wszystkie wartości energii są dozwolone a najmniejsza jej wartość może być równa 0. ΔE/E=(E_n+1-E_n)/E_n ; Aby otrzymać funkcje ψ(x) musimy określić stałą c. ₀∫^Lsin²kxdx=1 ; c² ₀∫^Lsin²kxdx=c² ₀∫^L(1-cos2kx)/2*dx= c²/2*[ ₀∫^Ldx- ₀∫^Lcos2kxdx]=c²L/2 ; c²L/2=1 ; c=pierw(2/L) ; ψ_s=pierw(2/L)sinkx ; i ostatecznie otrzymujemy ψ_s=pierw(2/L)sin(nΠ/L*x) ; |ψ_s|²=2/L*sin²(nΠ/L*x)

Przechodzenie światła przez granicę rozdzielającą dwa dielektryki.

W naszych rozważaniach załóżmy że dielektryk nie pochłania światła, że dielektryk jest optycznie izotropowy (tzn. że właściwości tego dielektryka jeżeli chodzi o rozkładanie się fal są takie same we wszystkich kierunkach) Jeżeli światło pada na granicę między dwoma ośrodkami to należy oczekiwać dwóch zjawisk: odbicia i załamania. sinα/sinβ=n₂₁=V₁/V₂ - n₂₁- względny współczynnik załamania. ; przy przechodzeniu z próżni sinα/sinβ=c/V₁=n₁ ; V=c/pierw(μ_rε_r) ; n₂₁=V₁/V₂=c/ pierw(μ₁ε₁)* pierw(μ₂ε₂)/c= pierw[(μ₂ε₂)/(μ₁ε₁)] ; μ≈1 za wyjątkiem ferromagnetyków ; n₂₁=pierw(ε₂/ε₁) ; n₂≈√ε₂ ; n₁≈√ε₁ ; O ośrodkach mówimy, że są gęstsze optycznie w których prędkość światła jest mniejsza a wiec którego współczynnik bezwzględny załamania jest większy. Współczynnik załamania n jest funkcja częstotliwości fali n=f(ν). Gdy współczynnik bezwzględny jest dla światła o dowolnej częstotliwości jednakowy we wszystkich punktach ośrodka to taki ośrodek nazywamy jednorodnym. Promieniem świetlnym nazywa się linię styczną w każdym punkcie do wektora p gęstości strumienia energii w tym punkcie. W przypadku fali płaskiej lub kulistej rozchodzącej się w ośrodku jednorodnym promienie są prostopadłe do powierzchni falowej. Jeżeli światło przechodzi z ośrodka optycznie rzadszego do gęstszego to α>β . Przy przechodzeniu światła z ośrodka optycznie rzadszego go gęstszego i jeżeli kąt padania jest większy od granicznego to otrzymujemy zjawisko całkowitego wewnętrznego odbicia. Powierzchnia zachowuje się jak zwierciadło, kąt graniczny to taki kąt przy którym kąt załamania wynosi 90^o. Prawo padania i prawo załamania nie wyczerpują naszych informacji o sposobie zachowania się światła przy padaniu na granicę dwóch dielektryków. Nie daje informacji o zależności między amplitudami i fazami fal padającej, odbitej, załamanej. Zależności te dla płaskiej monochromatycznej fali opisują wzory Fresnela. Każdą płaską falę monochromatyczną można przedstawić w postaci dwóch fal monochromatycznych których wektory E dają wzdłuż wzajemnie prostopadłych kierunków. Wzory Fresnela podają związki między amplitudą fali padającej i odbitej.

Wzory Fresnela.

Dla fali „p” E_p^ODBtg(α-β)/tg(α+β) ; E_p^ZAL=E_p^o*2sinαcosβ/sin(α+β)cos(α-β) ; Dla prostopadłego padania (α=β=0) E_p^ODB(0)=(n₂₁-1)/(n₂₁+1)*E_p^o(0) ; E_p^ZAL(0)=2/(n₂₁+1)*E_p^o(0) l; Dla fali „s” E_s^ODP=-E_S⁰sin(α-β)/sin(α+β) ; E_S^ZAL=E_S^o2sinβcosα/sin(α+β) ; Dla prostopadłego padania (α=β=0) E_s^ODB=(n₂₁-1)/(n₂₁+1)*E_S^o(0) ; E_S^ZAL(0)=2/(n₂₁+1)*E_S^o(0) ; Z analizy wynika, że na granicy rozgraniczającej oba ośrodki faza fali padającej jest zawsze zgodna z fazą fali odbitej. Jeżeli światło pada pod kątem zwanym kątem Brisnela to E_p od równa się 0. Oznacza to, że w świetle odbitym nie obserwuje się wektora E w płaszczyźnie padania A drgania zachodzą wyłącznie prostopadłe do płaszczyzny padania. E_s^ODB=-E_S^osin(α-β)/sin(α+β). W przypadku gdy n₂₁ jest mniejsze od 1 otrzymane wyniki są słuszne kiedy kąt padania jest mniejszy od kąta granicznego. Wykonując odpowiednie obliczenia można wykazać że w przypadku padania światła liniowo spolaryzowanego pod kątem α=α_s fala odbita jest również spolaryzowana liniowo. Natomiast gdy α>α_s, to światło po odbiciu staje się spolaryzowane eliptycznie. Zjawisko odbicia od strony energetycznej charakteryzuje współczynnik odbicia R=J_ODB/J ; J_o=J_p^o+J_s^o ; J^ODB=J_p^ODB+J_s^ODB - suma natężeń fali „p” i „s” ; R=(J_p^ODB+J_s^ODB)/(J_p^o+J_p^o) ale J=pierw[(ε_rε_o)/(μ_rμ_o)]E_o²/2 Dla α=0 (prostopadłe padanie), korzystając z wzorów Fresnela otrzymujemy R=[(n₂₁-1)/(n₂₁+1)]² . Oprócz odbicia zwierciadlanego wyróżnia się odbicie od powierzchni chropowatej. Światło padające na tą powierzchnię podlega odbiciu we wszystkich kierunkach. Takie odbicie nazywa się dyfuzyjnym. Powierzchnie, które rozpraszają równomiernie we wszystkich kierunkach nazywamy matowymi. Odbicie od powierzchni zależy od wysokości H i od tego kąta padania.

Równanie Schrodingera

Postulaty deBrou pozwalają określić długość i częstotliwość fali. Witamy, że ruch cząstki zależy od częstotliwości rozproszenia. Te informacje nie wystarczają aby wyznaczyć zachowanie się cząstki. W prostym przypadku swobodnej cząstki prędkość grupowa fali de Brou równa się prędkości cząstki. Fale te ulegają silnej dypresji. W ogólnym przypadku musimy dysponować równaniem opisującym rozchodzenie się fal materii. Poszukiwane jest wobec tego równanie, które spełniłoby rolę II równania Newtona w mechanice klasycznej (II zasada dynamiki). Poszukujemy takiego równania, które pozwoliłoby określić funkcję ϕ(x,y,z,t). Podstawowe równanie mechaniki kwantowej powinno dać określenie tej funkcji. Równanie to powinno być równaniem falowym, gdyż powinno być ono rozwiązaniem z dyfrakcją cząstek. Równanie takie zostało zapostulowane w 1924r przez Schrodingera. -h/i*δψ/δt=-h²/wm*Δψ+U(x,y,z,t)ψ ; U(x,y,z,t) - energia potencjalna w polu sił w którym cząstka się porusza, i-czynnik urojony, Δ-laplacjan, m-masa cząstki ; Δ=δ²/δx²+δ²/δy²+δ²/δz². Równanie to dotyczy małych prędkości, jest to prawdziwe dla dowolnej cząstki poruszającej się z V<<c. Funckja ψ musi być: -skończona, ciągła, jednoznaczna, -pochodne, δψ/δx, δψ/δy, δψ,δz powinny być ciągłe.

Stacjonarne równanie Schrodingera

Jest podstawowym równaniem nie relatywistycznej mechaniki kwantowej V/c<<1 ; h/i*δϕ/δt=-h²/2m*Δψ+U(x,y,z,t)ψ . ψ(x,y,z,t)=ψ_s(x,y,z)ψ(t) ; -h/i*δ/δt*(ψ_sϕ)=-h²/2m*Δ(ψ_sϕ+U(x,y,z)ψ_sϕ ; -h/iϕ*δϕ/δt=-h²/2m*Δψ_s/ψ_s+U(x,y,z) ; h/iϕ*δϕ/δt=h²/2m*Δψ_s/ψ_s-U(x,y,z) ; Równość jest spełniona jeżeli obie strony równania różniczkowego są równe pewnej stałej. Oznaczmy tą stałą przez (-E) ; h/iϕ*δϕ/δt=-E ; h²/2m*Δψ_s/ψ_s-U(x,y,z)=-E ; δϕ/ϕ=-iE/h*δt ; ∫dϕ/ϕ=-ie/h*∫dt ; lnϕ=-ie/h*t+c ; Jeżeli ϕ=ϕ_o dla t=0 ; c=lnϕ_o ; lnϕ-lnϕ_o=-iE/h*t ; lnϕ/ϕ_o=-iE/h*t ; ϕ=ϕ_oe^(-iE/h*t) ; h²/2m*Δψ_s-ψ_sU(x,y,z)+εψ_s=0 ; Δψ_s+2m/h²(E-U)ψ_s=0 , Funkcje ψ_s spełniają równanie Schrodingera przy zadanym U nazywa się funkcjami własnymi. ϕ=ϕ_oe^(-iE/h*t) ; Δψ_s+2m/h²*(E-U)ψ_s=0 ; ψ(x,y,z,t)=ψ_sϕ_oe^(-iE/h*t) ; ϕ_o=1 ; ψ(x,y,z,t)=ψ_se^(-iE/h*t) ; Jaki sens fizyczny ma stała E ; Δs-1V_t²*δ²s/δt²=0 ; s=A(r)e^[i(ωt-kr)] ; k/ω=1/V_f ; s=A(r)e^[2ΠVi(t-r/V_f)] ; δs/δt=2ΠViA(r)e^[2ΠVi(t-r/V_f)] ; Δs+1/V_f²*4Π²V²A(r)e[-2ΠVi(t-r/V_f)] ; V_f=λν=hν/p=hν/mV ; Δs+m²V²/n²V²*4Π²V²s=0 ; Δs+m/(h/2Π)²*mV²s=0 ; Δs+m/h²*2E_kS=0 ; Δs+2m/h²*E_kS=0 ; E=E_k+V; Tak więc stała E w równaniu Schrodingera jest energią całkowitą poruszającej się cząstki.

Promieniowanie temperaturowe ciał

Zjawisko promieniowania ciał związane jest z emisji fal elektromagnetycznych. Ilość energii jaką posiadają cząsteczki zależą także od temperatury stąd promieniowanie cieplne. Każde ciało ogrzane do wysokiej temperatury ma zdolność świecenia, którego natężenie zależy od temp. ciała rodzaju ciała i od stanu jego powierzchnia promieniowania to określa się przez podanie widmowego rozkładu. Wielkością którą określa od strony naukowej promieniowanie to zdolność emisyjna. Zdolność emisyjna - nazywamy wielkość fizyczna, która równa jest mocy wypromieniowanej z jego powierzchni w przedziale częstotliwości o długości jednostkowej. e(ν,T)=dP_ν/dν ; dP_ν=dE/dtdS ; dP_ν- moc wypromieniowana z jednostki powierzchni tego ciała w przedziale częstotliwości ν, ν+d0; e(ν,T)=dP_ν/dλ ; dP_ν=e(ν,T)dν ; dP_ν=e(λ,T)dλ ; e(ν,T)dν=e(λ,T)dλ ; e(λ,T)=e(ν,T)|dν/dλ| ; e(λ,T)=c/λ*e(ν,T) ; Spektralna gęstość promieniowania- δ(ν,T)dν. Zdefiniowana jest jako ilość energii zawarta w jednostce objętości w przedziale częstotliwości od ν, ν+dν ; p(λ,T)dλ. Ciała także absorbują energię. Wielkością charakteryzującą rozkład widmowy jest zdolność absorbcyjna ciała zwana również współczynnikiem absorbcji monochromatyczną. Zdolność absorbcyjna - ciała określa jaką część promieniowania o częstotliwościach zawartych w przedziale ν,ν+dν zostanie pochłonięta a(ν,T)=dP/dP_a ; dP_a-moc promieniowania o częstotliwościach zawartych od ν,ν+dν ; dP- moc promieniowania o częstotliwościach zawartych ν,ν+dν padająca na powierzchnię ciała. Zgodnie z wynikami zarówno zdolność emisyjna jak i absorbcyjna zależą od: -częstotliwości ν wysyłanych i pochłanianych fal, -temperatury ciała, -składu chemicznego, -właściwości danego ciała. Problem znacznie się uprości jeżeli ograniczymy się do jednego ciała. Ciało, które będziemy rozważali będziemy ciałem doskonale czarnym. Ciało doskonale czarne- ciało, które niezależnie od temperatury i jakiej czestotliwości jest padana fala, pochłania ja całkowicie. a_c(ν,T)≡1 ; Jeżeli chodzi i widmo z zakresu widzialnego przybliżone wartości do ciała doskonale czarnego: czerń platynowa, sadza, aksamit. Najlepszym modelem ciała doskonale czarnego jest niewielki otwór zrobiony z nieprzezroczystych ścianek zamkniętego naczynia. Im mniejszy otworek to tym bardziej jest ciało podobne do ciała doskonale czarnego. Stosunek zdolności emisyjnej do zdolności absorbcyjnej nie zależy od materiału ciała i jest równy zdolności emisyjnej ciała doskonale czarnego a wiec jest funkcją ν i T. e(ν,T)/a(ν,T)=e_c(ν,T). Można wnioskować że: jeżeli ciało nie pochłania promieniowania w pewnym przedziale częstotliwości to nie może w temp. T promieniować w tym paśmie ; z faktu, że dla danego ciała a(ν,T)≈1 nie wynika, że e(ν,T) jest duże, zależy to również od zdolności emisyjnej ciała doskonale czarnego ; z faktu, że a(ν,T)≤1 wynika, że zdolnośc emisyjna ciała jest e(ν,T)≤e_c(ν,T). Ciało szare to jest takie, którego zdolność absorbcyjna jest niezależna od częstotliwości ν i zależy od temperatury, składu chemicznego i właściwości powierzchni a_s=a_s(T). Często potrzeba jest znajomości całkowitej zdolności promieniowania cieplnego wysyłanej z jednostki powierzchni w przedziale częstotliwości od 0;∝. E(T)=∫e(ν,T)dν ; E(T)=∫e(ν,T)e_c(ν,T)dν ; E_s(T)=∫a_s(T)e_c(ν,T)dν=a_s(T)∫e_x(ν,T)dν ; a ∫e_x(ν,T)dν=E_c(T) wiec cotrzymujemy E_s(T)/a_s(T)=E_c(T) -prawo Kirchoffa dla Ciała szarego.

Prawo promieniowania cieplnego ciała doskonale czarnego

Stosunkowo łatwo jest znaleźć zależność zdolności emisyjnej ciała czarnego od T i ν w sposób doświadczalny. Natomiast nie można było w ramach fizyki klasycznej zinterpretować tego przebiegu. Proste okazało się zinterpretowanie w zależności od temperatury całkowitej zdolności emisyjnej E_c=σT⁴ prawo Stefana-Boltzman'a. Wnioski: -ciało doskonale czarne nie emituje promieniowania dla małych i dużych częstotliwości; -w miarę wzrasta T odpowiadającej funkcji Kirchoffa, e_c(ν,T) przesuwa się w kierunku większej częstotliwości. Zależność otrzymana przez Wiena e_c(ν,T)=ν³f(ν/T) zgodna była tylko dla dużych ν a poza tym nie udało mu się ustalić funkcji f(ν/t). Mimo tych trudności otrzymuje prawo Stefana-Boltzmana oraz prawo przesunięć, które podaje związek między ν a λ odpowiada maksimum zdolności emisyjnej od temperatury ν_m/T=b_n ; λ_mT=b -prawo Wiena. Wynik tego jest zgodny z promieniowaniem o małej częstotliwości. Niemożliwość zinterpretowania zdolności emisyjnej dla dużych częstotliwości nazwano katastrofą ultrafioletową. Zagadnieniem tym zajął się Max Planck. Wyjaśnienie teoretyczne zagadnienia podał Max Planca w 1900r, aby otrzymać wyrażenie na zdolność emisyjną zgodną z doświadczeniem Planca zakłada: -energia drgań wysyłanych w procesie promieniowania jest zawsze całkowitą wielokrotnością energii proporcjonalnej do ν. ε=nε_o ; ε_o~0; ε_o=hν ; e(ν,T)=2πν²/c²*hν/[e^hν/kT-1] - i jest to wzor Planca.

Praca pochodzi z serwisu www.e-sciagi.pl

---