Zadanie 1.

Liczba 
 jest jedynym miejscem zerowym funkcji 
. Wyznacz miejsca zerowe funkcji: 
.

Jeżeli 
 jest jedynym miejscem zerowym funkcji 
, to

Funkcja ta ma więc dokładnie jedno miejsce zerowe 
.

Zadanie 2.

Dana jest funkcja 
 dla 
. Zbadaj na podstawie definicji monotoniczność tej funkcji w przedziale 
.

Ponieważ 
 obydwa nawiasy są dodatnie.

Odpowiedź: Funkcja jest rosnąca.

Zadanie 3.

• Narysuj wykresy funkcji 
   oraz 
  , gdzie 
  

Aby narysować wykres pierwszej funkcji startujemy od prostej 
 i odbijamy część pod osią 
 do góry, otrzymujemy w ten sposób 
. Teraz przesuwamy ten wykres o 2 jednostki w dół (mamy 
) i ponownie odbijamy część poniżej osi 
 do góry.

Aby naszkicować drugi wykres, rozpoczynamy od prostej 
 i odbijamy część poniżej osi 
 do góry, otrzymujemy w ten sposób wykres funkcji 
. Na koniec odbijamy cały wykres względem osi 
.

• Wyznacz te wartości parametru 
  , dla których

równanie 
 ma dokładnie dwa rozwiązania.

czyli pierwszy wykres stoi w miejscu, a drugi przesuwamy wzdłuż osi 
. Jeżeli 
 to oba wykresy są rozłączne, a jeżeli 
 to mają dokładnie jeden punkt wspólny. Jeżeli 
 zaczyna być dodatnie, to wykresy mają dwa punkty wspólne, z wyjątkiem wartości 
, kiedy to kawałki wykresów się pokrywają i dane równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań. Zatem

Odpowiedź: 

Zadanie 3.

Wyznacz 
 jeżeli 
.

Mamy wzór na 
. Jak z niego dostać wzór na 
? - wystarczy zamiast 
 podstawić 
:

Odpowiedź:

Zadanie 4.

Funkcja 
 każdej liczbie naturalnej dodatniej 
 przyporządkowuje liczbę wszystkich liczb naturalnych należących do zbioru rozwiązań nierówności 
 z niewiadomą 
. Napisz wzór funkcji 
 i narysuj jej wykres dla 
.

Zacznijmy od rozwiązania podanej nierówności kwadratowej

Ile jest liczb naturalnych w tym przedziale? Pierwsza to 
, a ostatnia to

Jest ich więc 
. Zatem 
 .

 dla 

Zadanie 5*.

Narysuj linię o równaniu 
 i oblicz jej długość.

W zależności od znaków wyrażeń 
 i 
, podane równanie przyjmuje postać

W każdym z przypadków łatwo zamienić warunek na 
 na odpowidający warunek na 
, np. w pierwszym przypadku

Postępując w podobny sposób w pozostałych przypadkach, równanie przyjmuje postać.

Teraz bez trudu rysujemy tę krzywą - wyjdzie kwadrat o wierzchołkach

Bok tego kwadratu ma długość 
, zatem ma on obwód 
.

Odpowiedź: Obwód: 

Zadanie 6.

Wykres funkcji 
 przekształcono w symetrii względem prostej 
 i otrzymano wykres funkcji 
. Wyznacz wzór funkcji 
.

Zadanie byłoby proste, gdybyśmy odbijali względem osi 
.
Aby doprowadzić do takiej sytuacji, możemy przesunąć wykres funkcji 
 o jedną jednostkę w prawo (tak, aby prosta 
 przeszła na prostą 
), potem odbijemy względem prostej
, a na koniec przesuniemy otrzymany wykres z powrotem, czyli o jedną jednostkę w lewo. O całej operacji można myśleć jak o wyborze innego układu współrzędnych, w którym prosta 
 jest osią 
.

Po przesunięciu o 1 jednostkę w prawo otrzymamy funkcję

Teraz odbijamy względem osi 

Na koniec przesuwamy o 1 jednostkę w lewo

Na koniec, dla ciekawskich, wykresy funkcji 
 i 
.

Odpowiedź: 

Zadanie 7.

Wykres funkcji 
 przekształcono w symetrii względem prostej 
 i otrzymano wykres funkcji 
. Wyznacz wzór funkcji 
.

Odpowiedź: 

Egzamin maturalny z matematyki.

Funkcje - poziom rozszerzony.

Witek

---