FUNKCJA KWADRATOWA - PRZYGOTOWANIE DO SPRAWDZIANU ( II )

POZIOM ROZSZERZONY

DOPUSZCZAJĄCY

1. Zbadaj, czy podane równania mają pierwiastki rzeczywiste. Jeśli tak to nie obliczając tych miejsc

zerowych określ ich znaki.

a)
b)
c)
.

2. Dla jakich wartości parametru m
równanie
ma dwa różne rozwiązania

rzeczywiste ? ODP :

3. Dla jakich wartości parametru m
równanie
ma tylko jedno rozwiązanie

rzeczywiste ? ODP :

4. Dla jakich wartości parametru m
równanie
nie ma rozwiązań

rzeczywistych ? ODP :

5. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których nierówność
jest prawdziwa

dla każdego
. ODP :

6. Rozwiąż równanie : a)
b)
c)
.

7. Rozwiąż nierówność a)
b)
.

8. Naszkicuj wykres funkcji : a)
b)

DOSTATECZNY

1. Bez obliczania pierwiastków
,
równania a)
oblicz sumę ich kwadratów.

b)
oblicz
.

c)
oblicz
.

2. W trójmianie kwadratowym
suma pierwiastków jest równa 2,

a ich iloczyn (- 15). Wyznacz b i c.

3. Dla jakich wartości parametru m
równanie
ma dwa różne

rozwiązania rzeczywiste ? ODP :

4. Dla jakich wartości parametru m
równanie
ma tylko jedno

rozwiązanie rzeczywiste ? ODP :

5. Dla jakich wartości parametru m
równanie
nie ma rozwiązań

rzeczywistych ? ODP :

6. Zbadaj liczbę rozwiązań równania
ze względu na wartość parametru k
.

Napisz wzór i narysuj wykres funkcji
, która każdej wartości parametru k przyporządkowuje

liczbę rozwiązań równania.

ODP : 0 rozwiązań
1 rozwiązanie

2 rozwiązania

7. Dla jakich wartości parametru m
równanie
ma dwa pierwiastki

różnych znaków ? ODP :

8. Dla jakich wartości parametru m
równanie
ma dwa pierwiastki

ujemne ? ODP :

9. Wyznacz wszystkie wartości parametru m
, dla których nierówność

jest spełniona dla każdego
. ODP :

10. Rozwiąż równanie
.

11. Naszkicuj wykres funkcji

DOBRY

1. Ułóż równanie kwadratowe takie, aby suma pierwiastków równania była równa 4,

suma odwrotności pierwiastków wynosiła (- 5).

2. Wyznacz równanie krzywej, jaką opisuje wierzchołek paraboli o równaniu
.

3. Zbadaj liczbę rozwiązań równania
ze względu na wartość parametru k

. Napisz wzór i narysuj wykres funkcji
, która każdej wartości parametru k

przyporządkowuje liczbę rozwiązań równania.

ODP : 0 rozwiązań
1 rozwiązanie

2 rozwiązania

4. Dla jakich wartości parametru m
równanie
ma dwa pierwiastki

tych samych znaków ? ODP :

5. Dla jakich wartości parametru m
równanie
ma dwa pierwiastki

dodatnie ? ODP :

6. Dla jakich wartości parametru t suma kwadratów pierwiastków równania
jest równa 1 ?

ODP :

7. Dla jakich wartości parametru t suma kwadratów pierwiastków równania
jest

najmniejsza ? ODP :

8. Dla jakich wartości parametru m równanie
ma dwa różne rozwiązania mniejsze od 2 ?

ODP :

9. Wyznacz wszystkie wartości parametru t, dla których równanie
ma dwa pierwiastki

takie, że liczba 5 znajduje się między nimi. ODP :

10. Wyznacz wszystkie wartości parametru t, dla których równanie
ma dwa

pierwiastki, których suma odwrotności jest ujemna. ODP :

11. Wyznacz te wartości parametru m, dla których funkcja
ma dwa różne miejsca

zerowe
oraz
spełniające warunek
. ODP :

12. Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji
jest zbiór liczb R.

ODP :

13. Wyznacz wszystkie wartości parametru k, dla których równanie
ma dwa

różne pierwiastki większe od (- 1). ODP :

14. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie
ma dwa

różne rozwiązania. ODP :

15. Rozwiąż równanie : a)
b)
.

16. Rozwiąż nierówność
.

17. Naszkicuj wykres funkcji
.

18. Zbadaj liczbę rozwiązań równania
w zależności od wartości parametru m.

ODP : 0 rozw.
2 rozw.

3 rozw.
4 rozw.

BARDZO DOBRY

1. Wyznacz wszystkie wartości parametru t, dla których równanie
ma dwa

pierwiastki, których kwadrat różnicy jest równy 9. ODP :

2. Dla jakich wartości parametru m funkcja
ma dwa różne miejsca zerowe

takie, że
? ODP :

3. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie
ma dwa pierwiastki,

które są sinusem i kosinusem tego samego kąta ostrego. ODP :

4. Wyznacz wszystkie wartości parametru k, dla których równanie
ma dwa

pierwiastki takie, że liczba 1 znajduje się między nimi. ODP :

5 Wyznacz wszystkie wartości parametru k, dla których pierwiastki równania

należą do przedziału
. ODP :

6 Wyznacz wszystkie wartości parametru m
, dla których nierówność

jest spełniona dla każdego
. ODP :

7 Wyznacz takie wartości parametru m, dla których pierwiastki równania

są liczbami dodatnimi i spełniają jeden z nich jest dwa razy większy od drugiego.

ODP : m = 16

8 Dane jest równanie
.Wyznacz takie wartości parametru m, dla których jeden

z pierwiastków rzeczywistych tego równania jest mniejszy od 1, a drugi większy od 1.

ODP :

9 Dany jest układ równań
. Wiedząc, że para (x, y) jest rozwiązaniem tego układu,

znajdź najmniejszą wartość wyrażenia y² - 4x. Dla jakiej wartości parametru m  (m ∈ R)

jest ona osiągana ? ODP :
gdzie

10. Rozwiąż równanie
.

11. Wyznacz wszystkie wartości parametru m (m ∈ R), dla których zbiór rozwiązań nierówności
(x - m - 1)(x + 2m) ≤ 0 zawiera się w przedziale <-3, 5). ODP :

12. Naszkicuj wykres funkcji
.

13. Napisz wzór i naszkicuj wykres funkcji
, która każdej liczbie rzeczywistej m

przyporządkowuje największą wartość funkcji kwadratowej

w przedziale

14. Zbadaj liczbę rozwiązań równania
w zależności od wartości parametru m.

ODP : 0 rozw.
2 rozw.

3 rozw.
4 rozw.

15. Naszkicuj wykres funkcji y = |x² - 2|x| - 3|, a następnie, korzystając z tego wykresu, określ liczbę

rozwiązań równania | x² - 2|x| - 3| = |m| - 1 w zależności od wartości parametru m  (m ∈ R).

Naszkicuj wykres funkcji y = g(m) wyrażającej liczbę rozwiązań tego równania w  zależności

od wartości parametru m.

ODP :

0 rozwiązań, jeśli |m| < 1
m
(−1,1)

2 rozwiązania, jeśli |m|- 1 = 0 lub |m| - 1 > 4
m

4 rozwiązania, jeśli |m| - 1
(0,3) lub |m| - 1 = 4

5 rozwiązań, jeśli |m| - 1 = 3
m
{−4,4}

6 rozwiązań, jeśli |m| - 1
(3, 4)
m
(−5,−4)
(4, 5)

16. Wyznacz te wartości parametru m
, dla których równanie
ma więcej

rozwiązań ujemnych niż dodatnich. ODP :

17. Dla jakich wartości parametru m równanie
nie ma rozwiązań ?

ODP :

18. Dane jest równanie
z niewiadomą x. Wyznacz zbiór wszystkich wartości

parametru m
, dla których równanie ma cztery różne rozwiązania, w tym dokładnie

dwa ujemne. ODP :

19. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie
ma trzy

różne rozwiązania, z których dwa są ujemne. ODP :