FUNKCJA KWADRATOWA - PRZYGOTOWANIE DO SPRAWDZIANU ( II )
POZIOM ROZSZERZONY
DOPUSZCZAJĄCY
1. Zbadaj, czy podane równania mają pierwiastki rzeczywiste. Jeśli tak to nie obliczając tych miejsc
zerowych określ ich znaki.
a)
b)
c)
.
2. Dla jakich wartości parametru m
równanie
ma dwa różne rozwiązania
rzeczywiste ? ODP :
3. Dla jakich wartości parametru m
równanie
ma tylko jedno rozwiązanie
rzeczywiste ? ODP :
4. Dla jakich wartości parametru m
równanie
nie ma rozwiązań
rzeczywistych ? ODP :
5. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których nierówność
jest prawdziwa
dla każdego
. ODP :
6. Rozwiąż równanie : a)
b)
c)
.
7. Rozwiąż nierówność a)
b)
.
8. Naszkicuj wykres funkcji : a)
b)
DOSTATECZNY
1. Bez obliczania pierwiastków
,
równania a)
oblicz sumę ich kwadratów.
b)
oblicz
.
c)
oblicz
.
2. W trójmianie kwadratowym
suma pierwiastków jest równa 2,
a ich iloczyn (- 15). Wyznacz b i c.
3. Dla jakich wartości parametru m
równanie
ma dwa różne
rozwiązania rzeczywiste ? ODP :
4. Dla jakich wartości parametru m
równanie
ma tylko jedno
rozwiązanie rzeczywiste ? ODP :
5. Dla jakich wartości parametru m
równanie
nie ma rozwiązań
rzeczywistych ? ODP :
6. Zbadaj liczbę rozwiązań równania
ze względu na wartość parametru k
.
Napisz wzór i narysuj wykres funkcji
, która każdej wartości parametru k przyporządkowuje
liczbę rozwiązań równania.
ODP : 0 rozwiązań
1 rozwiązanie
2 rozwiązania
7. Dla jakich wartości parametru m
równanie
ma dwa pierwiastki
różnych znaków ? ODP :
8. Dla jakich wartości parametru m
równanie
ma dwa pierwiastki
ujemne ? ODP :
9. Wyznacz wszystkie wartości parametru m
, dla których nierówność
jest spełniona dla każdego
. ODP :
10. Rozwiąż równanie
.
11. Naszkicuj wykres funkcji
DOBRY
1. Ułóż równanie kwadratowe takie, aby suma pierwiastków równania była równa 4,
suma odwrotności pierwiastków wynosiła (- 5).
2. Wyznacz równanie krzywej, jaką opisuje wierzchołek paraboli o równaniu
.
3. Zbadaj liczbę rozwiązań równania
ze względu na wartość parametru k
. Napisz wzór i narysuj wykres funkcji
, która każdej wartości parametru k
przyporządkowuje liczbę rozwiązań równania.
ODP : 0 rozwiązań
1 rozwiązanie
2 rozwiązania
4. Dla jakich wartości parametru m
równanie
ma dwa pierwiastki
tych samych znaków ? ODP :
5. Dla jakich wartości parametru m
równanie
ma dwa pierwiastki
dodatnie ? ODP :
6. Dla jakich wartości parametru t suma kwadratów pierwiastków równania
jest równa 1 ?
ODP :
7. Dla jakich wartości parametru t suma kwadratów pierwiastków równania
jest
najmniejsza ? ODP :
8. Dla jakich wartości parametru m równanie
ma dwa różne rozwiązania mniejsze od 2 ?
ODP :
9. Wyznacz wszystkie wartości parametru t, dla których równanie
ma dwa pierwiastki
takie, że liczba 5 znajduje się między nimi. ODP :
10. Wyznacz wszystkie wartości parametru t, dla których równanie
ma dwa
pierwiastki, których suma odwrotności jest ujemna. ODP :
11. Wyznacz te wartości parametru m, dla których funkcja
ma dwa różne miejsca
zerowe
oraz
spełniające warunek
. ODP :
12. Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji
jest zbiór liczb R.
ODP :
13. Wyznacz wszystkie wartości parametru k, dla których równanie
ma dwa
różne pierwiastki większe od (- 1). ODP :
14. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie
ma dwa
różne rozwiązania. ODP :
15. Rozwiąż równanie : a)
b)
.
16. Rozwiąż nierówność
.
17. Naszkicuj wykres funkcji
.
18. Zbadaj liczbę rozwiązań równania
w zależności od wartości parametru m.
ODP : 0 rozw.
2 rozw.
3 rozw.
4 rozw.
BARDZO DOBRY
1. Wyznacz wszystkie wartości parametru t, dla których równanie
ma dwa
pierwiastki, których kwadrat różnicy jest równy 9. ODP :
2. Dla jakich wartości parametru m funkcja
ma dwa różne miejsca zerowe
takie, że
? ODP :
3. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie
ma dwa pierwiastki,
które są sinusem i kosinusem tego samego kąta ostrego. ODP :
4. Wyznacz wszystkie wartości parametru k, dla których równanie
ma dwa
pierwiastki takie, że liczba 1 znajduje się między nimi. ODP :
5 Wyznacz wszystkie wartości parametru k, dla których pierwiastki równania
należą do przedziału
. ODP :
6 Wyznacz wszystkie wartości parametru m
, dla których nierówność
jest spełniona dla każdego
. ODP :
7 Wyznacz takie wartości parametru m, dla których pierwiastki równania
są liczbami dodatnimi i spełniają jeden z nich jest dwa razy większy od drugiego.
ODP : m = 16
8 Dane jest równanie
.Wyznacz takie wartości parametru m, dla których jeden
z pierwiastków rzeczywistych tego równania jest mniejszy od 1, a drugi większy od 1.
ODP :
9 Dany jest układ równań
. Wiedząc, że para (x, y) jest rozwiązaniem tego układu,
znajdź najmniejszą wartość wyrażenia y2 - 4x. Dla jakiej wartości parametru m (m ∈ R)
jest ona osiągana ? ODP :
gdzie
10. Rozwiąż równanie
.
11. Wyznacz wszystkie wartości parametru m (m ∈ R), dla których zbiór rozwiązań nierówności
(x - m - 1)(x + 2m) ≤ 0 zawiera się w przedziale <-3, 5). ODP :
12. Naszkicuj wykres funkcji
.
13. Napisz wzór i naszkicuj wykres funkcji
, która każdej liczbie rzeczywistej m
przyporządkowuje największą wartość funkcji kwadratowej
w przedziale
14. Zbadaj liczbę rozwiązań równania
w zależności od wartości parametru m.
ODP : 0 rozw.
2 rozw.
3 rozw.
4 rozw.
15. Naszkicuj wykres funkcji y = |x2 - 2|x| - 3|, a następnie, korzystając z tego wykresu, określ liczbę
rozwiązań równania | x2 - 2|x| - 3| = |m| - 1 w zależności od wartości parametru m (m ∈ R).
Naszkicuj wykres funkcji y = g(m) wyrażającej liczbę rozwiązań tego równania w zależności
od wartości parametru m.
ODP :
0 rozwiązań, jeśli |m| < 1
m
(−1,1)
2 rozwiązania, jeśli |m|- 1 = 0 lub |m| - 1 > 4
m
4 rozwiązania, jeśli |m| - 1
(0,3) lub |m| - 1 = 4
5 rozwiązań, jeśli |m| - 1 = 3
m
{−4,4}
6 rozwiązań, jeśli |m| - 1
(3, 4)
m
(−5,−4)
(4, 5)
16. Wyznacz te wartości parametru m
, dla których równanie
ma więcej
rozwiązań ujemnych niż dodatnich. ODP :
17. Dla jakich wartości parametru m równanie
nie ma rozwiązań ?
ODP :
18. Dane jest równanie
z niewiadomą x. Wyznacz zbiór wszystkich wartości
parametru m
, dla których równanie ma cztery różne rozwiązania, w tym dokładnie
dwa ujemne. ODP :
19. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie
ma trzy
różne rozwiązania, z których dwa są ujemne. ODP :