PRZYGOTOWANIE DO SPRAWDZIANU - FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE

• POZIOM ROZSZERZONY

DOPUSZCZAJĄCY

1. Na rysunkach znajdują się trójkąty prostokątne. Oblicz wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych

wyróżnionego kąta ostrego.

1. b)

2. Drzewo rzuca cień długości 12 m. Promienie słoneczne padają pod kątem
. Oblicz wysokość drzewa.

3. Wyznacz z definicji wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta, którego końcowe ramię

przechodzi przez punkt
, zaś początkowe ramię zawiera się w dodatniej półosi osi OX.

4. a) Określ znak każdej z liczb
wiedząc, że
.

b) W której ćwiartce znajduje się końcowe ramię kąta o mierze
, jeśli
i
?

Odpowiedź uzasadnij.

5. Oblicz wartość wyrażenia : a)
b)
.

Wynik podaj w najprostszej postaci.

6. Wiadomo, że
jest kątem ostrym i
. Oblicz wartość wyrażenia
.

7. Sprowadź wyrażenie do najprostszej postaci : a)

b)
c)
d)
.

8. Naprzeciw kątów
trójkąta leżą boki o długościach odpowiednio a, b, c.

a) oblicz a jeśli
oraz
i

b) oblicz
i R - promień okręgu opisanego na danym trójkącie, jeśli b = 4, c =

oraz

c) oblicz a jeśli
oraz
i c = 5

d) oblicz
jeśli
, b = 2 i c = 3

DOSTATECZNY

1. Punkt A leży na jednym ramieniu kąta o mierze 30, w odległości 1 dm od drugiego ramienia tego kąta.

Oblicz odległość punktu A od wierzchołka tego kąta.

2. Oblicz długość odcinka x, uwzględniając dane przedstawione na rysunku:

3. Oblicz miarę kąta ostrego, wiedząc, że : a)
b)
.

4. a) Zbuduj kąt o mierze
takiej, że
.

b) Zbuduj kąt o mierze
takiej, że
i
.

5. Oblicz pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych, wiedząc, że :

a)
b)
i
.

6. Oblicz stosując wzory redukcyjne : a)
b) tg30  tg40  tg50

c) cos²40 + cos²50 + cos²60

7. Wiadomo, że
i
. Oblicz wartość wyrażenia
.

8. Wiadomo, że
. Oblicz wartość wyrażenia
.

9. Sprawdź, czy podane równości są tożsamościami trygonometrycznymi :

a)
b)
.

10. W trójkącie ABC mamy dane :
,
i
. Oblicz cosinusy dwóch pozostałych

kątów.

11. W trójkącie dane są długości boków a, b, c. Rozstrzygnij, czy jest to trójkąt ostrokątny, prostokątny

czy rozwartokątny. a) a = 8 b = 7 c = 5 b) a = 10 b = 11 c = 4

12. Na trójkącie opisano okrąg o promieniu 10. Jeden z kątów trójkąta jest pięć razy większy od sumy

dwóch pozostałych kątów tego trójkąta. Oblicz długość najdłuższego boku trójkąta.

DOBRY

1. Zbuduj kąt o mierze
takiej, że : a)
b)
i
.

2. Oblicz pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych, wiedząc, że :

a)
; b)
i
.

3. Sprawdź, czy podane równości są tożsamościami trygonometrycznymi :

a)
b)
.

4. Oblicz stosując wzory redukcyjne
.

5. Suma sinusów kątów ostrych w pewnym trójkącie prostokątnym jest równa
. Oblicz :

a) iloczyn sinusów tych kątów b) iloczyn cosinusów tych kątów

6. Uzasadnij, że jeśli
i
, to
.

7. Wykaż, że jeśli α jest kątem ostrym, to: tg²(180° + α) + tg²(90° + α) ≥ 2.

8. Obwód trójkąta ABC jest równy 50. Odcinki BE i EC, na które dwusieczna kąta A dzieli bok BC,

mają odpowiednio długości 6 i 10. Oblicz długości boków AB i AC.

9. Podstawa AB trójkąta równoramiennego ABC ma długość 8 oraz
. Oblicz długość

środkowej AD tego trójkąta.

BARDZO DOBRY

1. Wiedząc, że
i
, oblicz wartość liczbową wyrażenia
.

2. Sprawdź, czy podane równości są tożsamościami trygonometrycznymi :

a)
b)
.

3. Wykaż, że jeśli α ∈ (270°, 360°), to wartość wyrażenia
jest stała.

4. Wiadomo, że α ∈ (270°, 360°) oraz
= -4ctg α. Oblicz wartości wszystkich funkcji

trygonometrycznych kąta α.

5. Wiedząc, że
jest miarą kąta rozwartego i
, wyznacz liczbę m, dla której

.

6. Z punktu A znajdującego się w odległości 2r
od środka okręgu
poprowadzono sieczną,

która przecięła okrąg w punktach C i D tak, że
. Wyznacz cosinus kąta
, jaki tworzy

ta styczna z sieczną AO.

7. Oblicz miary kątów trójkąta ABC, w którym wysokość i środkowa poprowadzone z jednego wierzchołka

dzielą kąt przy tym wierzchołku na trzy równe części.

---