PRZYGOTOWANIE DO SPRAWDZIANU - WIELOMIANY -

POZIOM ROZSZERZONY

DOPUSZCZAJĄCY

1. a) Podaj przykład jednomianu podobnego do jednomianu
;

b) Czy wielomiany
i
są równe ?

Odpowiedź uzasadnij !

2. a) Wypisz wszystkie współczynniki wielomianu
i określ jego stopień.

b) Sprawdź, które spośród liczb
są pierwiastkami wielomianu
.

3. Z postaci iloczynowej wielomianu odczytaj krotność poszczególnych jego pierwiastków

.

4. Dane są wielomiany
,
i

Wykonaj działania ( wynik uporządkuj według malejących potęg zmiennej x ) :

a)
b)
c)

5 a) Wyznacz wartość parametru a tak, aby liczba 2 była pierwiastkiem wielomianu

.

b) Wyznacz zbiór liczb wymiernych , które mogą być pierwiastkami wielomianu

.

6. Rozłóż na czynniki wielomiany, wyłączając wspólny czynnik poza nawias :

a)
b)

7. Rozłóż na czynniki wielomiany, stosując wzory skróconego mnożenia :

a)
b)
c)
d)

8. Rozwiąż równania wielomianowe : a)
b)

9. Rozwiąż nierówności wielomianowe : a)
b)

c)

DOSTATECZNY

1. Dane są wielomiany
,
,

,

Wykonaj działania ( wynik uporządkuj według malejących potęg zmiennej x ) :

a)
b)
c)

2. Sprawdź, które spośród liczb
są pierwiastkami wielomianu

3. Wielomian W(x) przy dzieleniu przez
daje resztę 4, a przy dzieleniu przez
daje

resztę ( - 1 ). Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielomian
.

4. Dla jakich wartości parametru m reszta z dzielenia wielomianu

przez dwumian x + 2 jest równa ( - 8 ) ?

5. Dla jakich wartości parametru m reszta z dzielenia wielomianu

przez dwumian x - 2 jest większa niż ( - 2 ) ?

6. Wykaż, że liczba ( - 2 ) jest jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu
.

7. Liczba ( - 2 ) jest pierwiastkiem wielomianu
.

Znajdź pozostałe pierwiastki tego wielomianu.

8. Rozłóż na czynniki wielomiany, wyłączając wspólny czynnik poza nawias :

a)
b)

c)
d)

9. Rozłóż na czynniki wielomian
, stosując wzory skróconego mnożenia .

10. Rozłóż na czynniki wielomiany, stosując grupowanie wyrazów :

a)
b)

11. Rozwiąż równania wielomianowe : a)
b)

13. Rozwiąż nierówności wielomianowe : a)

b)

c)

d)

DOBRY

1. Wyznacz wartości a, b, c dla których wielomiany
i

są równe.

2. Wykonaj dzielenie oraz sprawdzenie za pomocą mnożenia :

a)
b)
c)

3. Wielomian
przy dzieleniu przez
daje resztę 2, a przy dzieleniu przez

daje resztę 3. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu
przez wielomian
.

4. Liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu
. Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez

wielomian
jeśli wiadomo, że w wyniku dzielenia
przez dwumian

otrzymujemy resztę 3.

5. Reszta z dzielenia wielomianu
przez trójmian
jest równa
.

Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez dwumian
.

6. Dla jakich wartości parametru a i b reszta z dzielenia wielomianu
przez

wielomian
jest równa
?

7. Dla jakich wartości parametru a i b wielomian
jest podzielny przez

wielomian
?

8. Wyznacz takie wartości a, dla których wielomian
jest

podzielny przez wielomian
?

9. Wyznacz takie wartości parametru a i b, aby liczby (- 1) i (- 3) były pierwiastkami

wielomianu
.

10. Wykaż, że liczba
jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu
.

11. Wykaż, że liczba 1 jest trzykrotnym pierwiastkiem wielomianu
.

12. Sprawdź, czy liczba (- 1 ) jest pierwiastkiem wielomianu
.

Jeśli tak, określ krotność tego pierwiastka.

13. Liczby 1 i 2 są pierwiastkami wielomianu
. Znajdź jego trzeci pierwiastek.

14. Rozbijając jeden ze składników wielomianu
, rozłóż go na czynniki według

przykładu :

.

15. Rozwiąż równania wielomianowe : a)
b)

c)

16. Rozwiąż nierówności wielomianowe : a)
b)

17. Suma sześcianów trzech kolejnych liczb całkowitych nieparzystych równa się (- 153 ). Wyznacz te liczby.

18. Określ stopień wielomianu W(x) w zależności od wartości parametru m (m ∈ R), jeśli
W(x) = (||m - 4| + 1|- 2)x³ + (m³ + 5m² - 9m - 45)x² + (m² + 2m - 15)x + 1.

19. Wyznacz wszystkie wartości parametrów m i n oraz rozwiązania x₁, x₂, x₃ równania
x³ - 5x² + mx + n = 0, wiedząc, że x₂ = -2x₁ oraz x₃ = x₂ + 2.

20. Na rysunku poniżej przedstawiony jest wykres funkcji y = W(x), gdzie W(x) jest wielomianem i st.W(x) = 3.

1. Zapisz wzór funkcji y = W(x).

2. Wykres funkcji y = W(x) przesunięto najpierw o wektor
   = [-1, -2], a następnie przekształcono przez

symetrię względem osi OY. W wyniku tych przekształceń otrzymano wykres funkcji wielomianowej y = W₂(x).

Wyznacz wielomian W₂(x).

BARDZO DOBRY

1. Wyznacz wartości a, b, c, d, dla których wielomiany
i
są równe

1. 
   i
   .

2. 
   i
   

2. Wielomian W(x) przy dzieleniu przez dwumiany
,
,
daje reszty

odpowiednio 1, 2, 3. Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielomian
.

3. Jaka jest reszta z dzielenia wielomianu
przez dwumian
, jeśli wiadomo, że z dzielenia

wielomianu
przez wielomian
otrzymano resztę
?

4. Reszta z dzielenia wielomianu
przez wielomian
jest trójmianem

kwadratowym
. Znajdź resztę z dzielenia wielomianu
przez dwumian
.

5. Wyznacz takie wartości m i n, dla których wielomian
jest

kwadratem innego wielomianu.

6. Dla jakich wartości parametru a i b liczba (- 2 ) jest dwukrotnym pierwiastkiem

wielomianu
?

7. Dla jakich wartości parametru a, b i c liczba 1 jest trzykrotnym pierwiastkiem

wielomianu
?

8. Dana jest funkcja f postaci

Wyznacz wszystkie wartości parametrów a, b, m, n dla których istnieje funkcja kwadratowa g

równa funkcji f.

9. Wykonaj dzielenie oraz sprawdzenie za pomocą mnożenia :

a)
; b)
.

10. Rozłóż na czynniki wielomiany : a)
b)
c)

d)

11. Rozwiąż równania wielomianowe : a)
b)

c)
d)

12. Rozwiąż nierówności wielomianowe : a)
b)

c)

13. Rozwiąż układ nierówności :
.

14. Dla jakich wartości parametru m równanie
ma tylko

jeden pierwiastek rzeczywisty ?

15. Dla jakich wartości parametru m równanie
ma

trzy pierwiastki, w tym dwa różnych znaków ?

16. Wyznacz takie wartości a, dla których równanie
ma trzy różne pierwiastki.

17. Wykaż, że nierówność
jest spełniona przez każdą

liczbę rzeczywistą.

18. Wyznacz brakujące współczynniki wielomianu W(x) = ax³ + bx² + cx - 4, wiedząc, że suma wszystkich

współczynników tego wielomianu jest równa 4, suma współczynników przy wyrazach stojących na miejscach

parzystych jest równa sumie współczynników przy wyrazach stojących na miejscach nieparzystych i wielomian

ten przy dzieleniu przez dwumian (x - 2) daje resztę 36. Przedstaw wielomian W(x) w postaci iloczynu czynników

liniowych.

19. Oblicz, dla jakich wartości parametrów m i n wielomian W(x) = 8x³ + mx² - nx + 125 ma pierwiastek trzykrotny.

Wyznacz ten pierwiastek.

20. Dany jest wielomian W(x) = x³ - 2px² + (p + 8)x - 2p, gdzie parametr p jest liczbą pierwszą. Dla jakiej liczby p

wielomian W(x) ma co najmniej jeden pierwiastek będący liczbą pierwszą? Dla obliczonej wartości p wyznacz

tylko te pierwiastki wielomianu W(x), które są liczbami pierwszymi.

21. Dla jakich wartości parametru k równanie (x - 2)[kx² + (k + 1)x + 1] = 0 ma dwa różne rozwiązania?

---