Wykład 5-6

Wielorównaniowe modele ekonometryczne

Przy analizie złożonych zjawisk ekonometrycznych model jednorównaniowy tłumaczący kształtowanie się jednej zmiennej objaśnianej może być niewystarczający. Może być tak, że pojedyncze równanie jest częścią układu relacji opisywanego zespołem relacji. W takim wypadku konstruujemy model wielorównaniowy - zespół równań. Każde z równań wyjaśnia kształtowanie się jednej zmiennej objaśnianej. Ze względu na sprzężenie między wielkościami występującymi w modelu, zmienna objaśniana w jednym równaniu, może być objaśniającą w innym równaniu.

Wyróżniamy dwa podstawowe sposoby zapisu modeli wielorównaniowych. Zapis w postaci strukturalnej i zapis w postaci zredukowanej.

Postać strukturalna oddaje strukturę związków między zmiennymi. Każde równanie w tej postaci objaśnia jedną zmienną pozostałymi zmiennymi. Postać strukturalna jest „naturalną” postacią modelu.

Przypomnienie

Zmienne pojawiające się w równaniach modelu dzielimy na:

1. zmienne objaśniane, objaśniające;

2. zmienne endogeniczne, egzogeniczne;

3. zmienne bieżące, opóźnione.

Podział na zmienne objaśniane i objaśniające, to podział określany na poziomie pojedynczego równania.

Podział na zmienne endogeniczne i egzogeniczne, to podział określany na poziomie całego modelu. Zmienne endogeniczne to te, które są objaśniane modelem (w jakimś równaniu modelu). Zmienne egzogeniczne określane są poza modelem (nie są objaśniane żadnym równaniem).

W dynamicznym modelu wielorównaniowym mogą występować zmienne z różnych okresów. Endogeniczne i egzogeniczne zmienne mogą być nieopóźnione, czyli z okresu bieżącego, jak i opóźnione, czyli z okresów wcześniejszych.

Zmienne endogeniczne nieopóźnione nazywa się zmiennymi łącznie współzależnymi.

Zmienne egzogeniczne i opóźnione endogeniczne nazywamy zmiennymi z góry ustalonymi, na ich podstawie wyliczamy wartości obecne zmiennych endogennych.

Zmienne	Nieopóźnione	Opóźnione
Endogeniczne	Łącznie współzależne
Egzogeniczne		Z góry ustalone

Podział na zmienne łącznie współzależne i z góry ustalone jest ważny z względu na szacowanie parametrów modelu.

Zazwyczaj równania modelu są unormowane, czyli tak zbudowane by współczynnik przy zmiennej endogenicznej nieopóźnionej objaśnianej w danym równaniu był równy 1.

W postać zredukowanej modelu w każdym równaniu występuje tylko jedna zmienna endogeniczna nieopóźniona, ta która jest wyjaśniana równaniem, wszystkie pozostałe zmienne są z góry ustalone. Postać zredukowana jest wygodna do szacowania parametrów modelu.

Przykład 1

Rozpatrujemy model ekonometryczny dany równaniami:

C_t = ₀ + ₁·Y_t + _t (1)

Y_t = C_t + I_t + G_t (2)

Gdzie C_t - zagregowana konsumpcja,

Y_t - dochód narodowy,

_t - składnik losowy,

I_t - inwestycje,

G_t - wydatki rządowe.

Równanie (1) jest równaniem stochastycznym (uwzględniającym czynnik losowy). Opisuje wielkość zagregowanej konsumpcji przy pomocy wielkości dochodu narodowego zaburzonego czynnikiem losowym.

Równanie (2) ma charakter bilansowy. Wiąże dochód narodowy z konsumpcją, inwestycjami i wydatkami rządowymi.

Model wyjaśnia wielkości opisywane w chwili t. Nie pojawiają się żadne wielkości z innych chwil, nie ma wielkości opóźnionych.

C_t , Y_t są zmiennymi endogenicznymi nieopóźnionymi.

G_t , I_t są zmiennymi egzogenicznymi nieopóźnionymi.

W równaniu (1) C_t jest zmienną objaśnianą, Y_t zmienną objaśniającą.

W równaniu (2) Y_t jest zmienną objaśnianą, C_t , I_t , G_t zmiennymi objaśniającymi.

Zmiennymi z góry ustalonymi są nieopóźnione zmienne egzogeniczne I_t , G_t .

Przykład 2

Rozpatrujemy model ekonometryczny dany równaniami:

C_t = ₀ + ₁ · Y_t + _1t (3)

Y_t = ₀ + ₁·C_t + ₂·I_t-1 + _2t (4)

Gdzie C_t - zagregowana konsumpcja,

Y_t - dochód narodowy,

_1t , _2t - składniki losowe,

I_t - inwestycje,

Model wyjaśnia wielkości opisywane w chwili t.

Równanie (3) ma taką samą postać ja równanie (1).

Równanie (4) wiąże wielkość dochodu z konsumpcją i poziomem inwestycji w roku poprzednim. Uwzględnia wpływ czynnika losowego.

C_t , Y_t są zmiennymi endogennymi nieopóźnionymi. G_t , I_t są zmiennymi egzogennymi nieopóźnionymi, zaś I_t-1 jest zmienną egzogenną opóźnioną.

W równaniu (4) Y_t jest zmienną objaśnianą, C_t oraz zmienna opóźniona I_t-1 są zmiennymi objaśniającymi.

Jedyną zmienną z góry ustaloną w modelu jest opóźniona zmienna egzogeniczna I_t-1 .

Przykład 3

Jeślibyśmy zmodyfikowali przykład 2 uznając, że poziom dochodu Y_t objaśnia C_t-1 konsumpcja z roku ubiegłego, a nie C_t konsumpcja z roku bieżącego, to model miałby postać:

C_t = ₀ + ₁·Y_t + _1t (5)

Y_t = ₀ + ₁·C_t-1 + ₂·I_t-1 + _2t (6)

W tym modelu nieopóźnione zmienne endogeniczne są takie same jak w modelu z przykładu 2. Zbiór zmiennych z góry ustalonych tworzą zaś opóźnione o rok: konsumpcja z roku ubiegłego C_t-1 (zmienna endogeniczna) oraz inwestycje z roku ubiegłego I_t-1 (zmienna egzogeniczna).

Postać strukturalna modelu.

Oznaczmy:

y_ti - obserwacja i-tej zmiennej endogenicznej w chwili t

z_tj - obserwacja j­-tej zmiennej z góry ustalonej w chwili t;

jeśli w równaniu występują stałe, to wprowadzamy fikcyjną zmienną stale równą jeden

i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, k;

……

Przenoszą wszystkie zmienne współzależne i z góry ustalone na jedną stronę dostajemy:

……

Wprowadzając zapis macierzowy możemy postać strukturalną modelu zapisać równaniem macierzowym:

BY_t + Z_t = _t ; t = 1, 2, …

gdzie:

Przykład 4

Niech Y_t = (Y_1t , Y_2t)^T dwuwymiarowy wektor zmiennych endogenicznych oraz niech Z_t = (1 , Z_1t , Z_2t , Z_3t)^T czterowymiarowy wektor zmiennych egzogenicznych rozszerzony przez dodanie stałej do wektora trzywymiarowego.

Niech model ekonometryczny ma postać:

Y_1t = ₁₂·Y_2t + γ₁₀ + γ₁₁·Z_1t + γ₁₂·Z_2t +γ₁₃·Z_3t + _1t

Y_2t = ₂₁·Y_1t + γ₂₀ + γ₂₁·Z_1t + γ₂₂·Z_2t +γ₂₃·Z_3t + _2t

Postać powyższa jest postacią strukturalną modelu.

Przenosząc zmienne egzogeniczne zmienne współzależne i z góry ustalone na lewą stronę, możemy przedstawić model w postaci macierzowej:

B·Y_t + ·Z_t = _ (7)

To postać strukturalna modelu w zapisie macierzowym.

Postać zredukowana modelu

W postaci zredukowanej zmiennymi objaśniającymi są jedynie zmienne z góry ustalone. W postaci macierzowej:

B·Y_t + ·Z_t = _t

B^-1·B ·Y_t + B^-1··Z_t = B^-1·_t

Y_t = -B^-1··Z_t + B^-1·_t

Y_t = ·Z_t + _t

gdzie:  = -B^-1·· ; _t = B^-1·_t ;

Przykład 5

Badamy model strukturalny złożony z dwóch równań:

k_t = ₁₂ z_t + ₁₃ i_t + ₁ + _1t

z_t = ₂₁ k_t + ₂₂ p_t + ₂ + _2t

Gdzie:

k_t - wartość majątku trwałego w okresie t;

z_t - liczba zatrudnionych w okresie t;

i_t - wartość nakładów inwestycyjnych w okresie t;

p_t - wielkość produkcji w okresie t;

_jt - wielkość składnika losowego w okresie t równania j-tego.

Postać macierzowa modelu strukturalnego:

k_t - ₁₂ z_t - ₁₃ i_t - ₁ = _1t

-₂₁ k_t + z_t - ₂₂ p_t - ₂ = _2t

B·Y_t + ·Z_t = _t

Postać zredukowana: Y_t = ·Z_t + _t

 = -B^-1·· ; musimy najpierw obliczyć det (B) = 1 - ₂₁ ₁₂ ;

a więc

skąd

Klasyfikacja modeli wielorównaniowych.

Modele wielorównaniowe dzielimy na trzy rozłączne klasy ze względu na powiązania występujące między nieopóźnionymi zmiennymi endogenicznymi:

1. modele proste,

2. modele rekurencyjne,

3. modele o równaniach współzależnych.

Model jest modelem prostym jeśli zmienne endogeniczne nieopóźnione nie są ze sobą wzajemnie powiązane.

Model jest modelem rekurencyjnym jeśli powstaje łańcuch zmiennych endogenicznych nieopóźnionych. W równaniach objaśniających zmienną Y_kt pojawiają się zmienne Y_jt dla j<k, nie pojawiają się zaś dla j>k.

Model jest modelem o zmiennych współzależnych jeśli nie jest ani modelem prostym, ani rekurencyjnym. W tym modelu pojawiają się zmienne nieopóźnione endogeniczne jednocześnie od siebie zależne.

Proste metody ustalania z jakim modelem mamy do czynienia.

Metoda wykorzystująca schemat strzałkowy

Rysujemy graf zorientowany, którego wierzchołki numerujemy zmiennymi endogenicznymi nieopóźnionymi. Z wierzchołka Y­_i do wierzchołka Y_k rysujemy strzałkę skierowaną, jeśli zmienna Y_i jest zmienną objaśniającą w równaniu wyjaśniającym dla zmiennej Y_k.

Jeśli w grafie nie ma żadnych strzałek to jest to model prosty. Jeśli strzałki tworzą powiązania bez pętli, to jest to model rekurencyjny. Jeśli pojawia się przynajmniej jedna pętla to jest to model o równaniach współzależnych.

Metoda wykorzystująca kształt macierzy parametrów B.

Jeżeli możemy tak przenumerować zmienne i równania w modelu, by macierz współczynników przy nieopóźnionych zmiennych endogenicznych była:

1. diagonalna, to rozważany model jest modelem prostym,

2. trójkątna, to rozważany model jest modelem rekurencyjnym,

3. jeśli nie możemy osiągnąć ani macierzy diagonalnej, ani trójkątnej to model jest modelem o równaniach współzależnych.

Przykład 5 Rozważamy model z przykładu 2 zmieniając oznaczenia parametrów i dokonując przekształceń:

C_t = ₀ + ₁ · Y_t + _1t (3)

Y_t = ₀ + ₁·C_t + ₂·I_t-1 + _2t (4)

C_t - ₁·Y_t = ₀ + _1t (3`)

-₁·C_t + Y_t = ₀ + ₂·I_t-1 + _2t (4')

C_t + ₁₂·Y_t = γ₁₀ + _1t (3``)

₂₁·C_t + Y_t = γ₂₀ + γ₂₁·I_t-1 + _2t (4'')

Macierz współczynników B przez zmianę numeracji nie da się sprowadzić do postaci diagonalnej, ani trójkątnej. Rozważany model jest więc modelem o równaniach współzależnych.

Posługując się schematem strzałkowym dostajemy:

C_t ↔Y_t

A więc również widzimy, że jest to modelem o równaniach współzależnych.

Jest to również model dynamiczny, w równaniach pojawiają się wartości opóźnione.

Przykład 6 Rozważamy model z przykładu 3 zmieniając oznaczenia parametrów:

C_t = ₀ + ₁ · Y_t + _1t (5)

Y_t = ₀ + ₁·C_t-1 + ₂·I_t-1 + _2t (6)

C_t + ₁₂·Y_t = γ₁₀ + _1t (5`)

Y_t = γ₂₀ + γ₂₁·C_t-1 + γ₂₂·I_t-1 + _2t (6')

Macierz współczynników B jest w postaci trójkątnej. Rozważany model jest więc modelem rekurencyjnym.

Posługując się schematem strzałkowym dostajemy:

Y_t → C_t

A więc również widzimy, że jest to modelem rekurencyjny.

Jest to również model dynamiczny, w równaniach pojawiają się wartości opóźnione.

Przykład 7

Badamy model dany równaniami:

Y_1t = ₁₀ + ₁₁X_1t + ₁₂Y_2t + _1t (11)

Y_2t = ₂₀ + ₂₁X_1t + ₂₂Y_1t + _2t (12)

Wyznacz zmienne endogeniczne, egzogeniczne, objaśniane i objaśniające, z góry ustalone.

Czy w modelu występują zmienne opóźnione?

Czy to jest model dynamiczny, czy statyczny?

Jaka jest postać strukturalna tego modelu w zapisie macierzowym?

Odpowiedź:

Jaki to jest typ modelu ze względu na charakter powiązań między zmiennymi endogenicznymi nieopóźnionymi?

Odpowiedź na podstawie postaci macierzy współczynników przy zmiennych endogenicznych nieobciążonych - model o równaniach łącznie współzależnych.

Y₁ ↔ Y₂

Odpowiedź na podstawie schematu strzałowego.

Przykład 8

Badamy model dany równaniami:

Y_1t = ₁₀ + ₁₁X_1t + ₁₂Y_2,(t-1) + _1t (13)

Y_2t = ₂₁X_1t + ₂₂Y_1t + _2t (14)

Czy jest to model statyczny czy dynamiczny?

Dynamiczny. Co prawda nie występuje samodzielnie czynnik czasu, ale są zmienne opóźnione.

Czy w modelu są zmienne endogeniczne nieopóźnione?

W każdym modelu są zmienne endogeniczne nieopóźnione. W tym modelu to są: Y_1t , Y_2t .

Czy w modelu są zmienne endogeniczne opóźnione?

Jest : Y_2,(t-1) .

Czy w modelu są zmienne egzogeniczne nieopóźnione?

Są: 1 , X_1t . Komentarz: stała 1 jest traktowana jak stała zmienna egzogeniczna.

Czy w modelu są zmienne egzogeniczne opóźnione?

W tym modelu nie ma.

Jaki to jest model ze względu na charakter powiązań między zmiennymi endogenicznymi nieopoźnionymi?

To jest model o równaniach rekurencyjnych. Macierz współczynników przy zmiennych nieopóźnionych endogenicznych jest trójkątna. W schemacie strzałowym są strzałki lecz nie ma pętli.

Są dwie zmienne endogeniczne Y₁ , Y₂ . Są dwie zmienne egzogeniczne 1 , X₁ .

Estymacja parametrów modeli wielorównaniowych

W modelu jednorównaniowym, przy spełnieniu odpowiednich założeń, do estymacji parametrów strukturalnych posługujemy się metodą najmniejszych kwadratów (MNK).

W modelu wielorównaniowym niestety nie zawsze możemy tak postąpić.

Kiedy możemy? Możemy w modelu prostym. Brak tu powiązań między zmiennymi endogenicznymi nieopóźnionymi występującymi w poszczególnych równaniach modelu. Każde równanie możemy traktować tak, jakby było osobnym modelem jednorównaniowym. W każdym równaniu, jeżeli tylko spełnione są założenia MNK, szacujemy parametry strukturalne metodą najmniejszych kwadratów (MNK).

W tym wypadku mówimy o metodzie estymacji pojedynczej, po kolei estymowaliśmy parametry równanie po równaniu.

W przypadku modelu rekurencyjnego możemy postąpić następująco. Przenumerowujemy równania tak, by w pierwszym występowała tylko jedna zmienna endogeniczna nieopóźniona. W kolejnych zaś równaniach dochodziła następna zmienna endogeniczna nieopóźniona.

(a) Y_1t = ₁₀ + ₁₁·X_1t + _1t

(b) Y_2t = ₂₀ + ₂₁·X_2t + ₂₂·Y_1t + _2t

(c) Y_3t = ₃₀ + ₃₁·X_2t + ₃₂·Y_1t + ₃₃·Y_1t + _3t

Parametry równania (a) szacujemy standardowo metodą MNK.

Niech:

(a') Y^_1t = ^₁₀ + ^₁₁·X_1t

Równanie teoretyczne wyliczone na podstawie obserwacji zmiennej Y₁.

Parametry równania (b) szacując na podstawie obserwacji Y₂ i wartości teoretycznych Y^₁ (zamiast Y₁). W ten sposób omijamy trudności związane z występowaniem zmiennej Y₁ (losowość).

Analogicznie postępujemy z kolejnymi równaniami. Do estymacji parametrów kolejnego równania, pozbywamy się kolejnych zmiennych endogenicznych nieopóźnionych, wstawiając w ich miejsce ich estymaty. Tak krok po kroku dostajemy estymaty nieobciążone parametrów strukturalnych kolejnych równań.

Jak postępujemy, gdy model jest modelem o równaniach łącznie współzależnych. Sprowadzamy model do postaci zredukowanej. W postaci zredukowanej badany model jest modelem prostym. Jeśli składniki losowe z różnych równań są niezależne stosujemy do każdego z nich metodę najmniejszych kwadratów.

Przykład 8 (Nowak 46)

Badamy zależność między wydatkami na żywność (Y₁) i na odzież i obuwie (Y₂) z uwzględnieniem miesięcznych dochodów (Z). Wszystkie wielkości w tysiącach złotych na 1 osobę.

Ekonometria II Eko II W5-6.doc

4/8

---