dr Tadeusz Janaszak (Wrocław tel. [phone]) EGZAMINY NA UNIWERSYTECIE EKONOMICZNYM WE WROCŁAWIU Odcinek 1 (10) zapraszam na konsultacje.

EGZAMIN; MAJ 2012

WYDZIAŁ NAUK EKONIMICZNYCH

STUDIA DZIENNE

ZADANIA 1 - 3

W tym odcinku przedstawimy rozwiązania trzech zadań z egzaminu w sesji letniej 2012; pierwsze zadanie dotyczy wyznaczania macierzy przekształcenia liniowego, drugie to znajdowanie ekstremum warunkowego funkcji trzech zmiennych, trzecie - całka podwójna; egzamin obejmował sześć zadań zarówno z algebry liniowej, jak i analizy matematycznej.

Zadanie 1: Dane jest przekształcenie liniowe
takie, że
oraz
. Znaleźć postać
oraz
.

Rozwiązanie: Zauważmy, że wektory
oraz
są liniowo niezależne, bowiem wyznacznik utworzony z ich współrzędnych jest bowiem różny od zera:

1. 
   ;

oznacza to, że zadanie ma jednoznaczne rozwiązanie.

Aby znaleźć postać
należy podać cztery liczby a, b, c, d takie, by

2. 
   ;

w zapisie macierzowym możemy to zapisać w formie:

3. 
   ;

symbol T we wzorze (3) oznacza transpozycję.

Do wyznaczenia jest zatem macierz
. Z treści zadania wiemy, że mają miejsce dwie równości:

4. 
   oraz
   ;

obie równości (4) możemy zapisać w formie równanie macierzowego:

5. 
   .

Aby wyliczyć macierz
wystarczy przemnożyć równanie (5) z prawej strony przez macierz odwrotną do macierzy
. Z łatwością obliczamy tę macierz odwrotną:

6. 
   ;

teraz możemy zapisać wynik:

7. 
   , czyli
   ;

można zatem zapisać odpowiedź w taki sposób, jak we wzorze (2)

8. 
   .

Aby odpowiedzieć na drugie pytanie zapiszmy

9. 
   ,

czyli w zapisie macierzowym:

10. 
    .

Macierz
jest macierzą odwrotną do macierzy
; wyznaczamy ją z łatwością:

11. 
    ,

A więc odpowiedź na drugie pytanie brzmi:

12. 
    

Wzory (8) i (12) są odpowiedzią.

Zadanie 2: Znaleźć ekstrema funkcji
, przy warunku
.

Rozwiązanie: Z równania określającego warunek wyznaczamy zmienną z:

13. 
    

Zależność (13) wstawiamy do funkcji podanej w treści zadania; otrzymujemy funkcję dwu zmiennych x i y:

14. 
    

skąd

15. 
    ,

a więc

16. 
    ;

w dalszym ciągu będziemy postępowali tak, jak w zadaniach na obliczanie ekstremum bezwarunkowego funkcji dwu zmiennych: najpierw policzymy pochodne cząstkowe:

17. 
    oraz
    .

Teraz obie pochodne cząstkowe przyrównujemy do zera i rozwiązujemy układ równań:

18. 
    .

Układ rozwiążemy metodą wyznaczników: wyznacznik główny wynosi 9, dalej mamy:

19. 
    oraz
    ,

tak więc mamy:

20. 
    oraz
    .

Z wzorów (17) obliczamy pochodne cząstkowe drugiego rzędu:

21. 
    ;
    oraz
    ;

otrzymane rezultaty układamy w macierz drugiej pochodnej:

22. 
    

Macierz (22) ma dodatni wyznacznik, a na głównej przekątnej stoją liczby dodatnie; zgodnie z algorytmem funkcja (16) ma w tym punkcie minimum. Teraz wystarczy ze wzoru (13) obliczyć trzecią współrzędną punktu, w którym jest minimum; obliczamy

23. 
    , a więc
    .

Ostatecznie uzyskaliśmy odpowiedź: Funkcja
ma przy warunku
minimum w punkcie
.

Komentarz: Zadanie to można rozwiązać metodami geometrii analitycznej; dla ciekawych rozwiązanie takie podamy w którymś z dalszych odcinków.

Zadanie 3: Obliczyć
, gdzie obszar D wyznaczony jest przez proste o równaniach
;
;
.

Rozwiązanie: Zaczniemy od narysowania obszaru całkowania:

Punkt P będący przecięciem obu prostych ma współrzędne:
.

Zamieniamy całkę podwójną na iterowaną; przy czym wprowadzimy symbol V na oznaczenie wartości całki podwójnej, ułatwi to nam redakcję dalszego tekstu:

24. 
    .

Obliczamy całkę wewnętrzną:

25. 
    ;

pozbędziemy się znaku minus przez zmianę granic całkowania:

26. 
    

stąd mamy

27. 
    ;

ponieważ
, więc dostajemy

28. 
    , czyli
    ,

a więc ostatecznie

29. 
    , czyli
    

Odpowiedź brzmi:
.

Na tym odcinek się kończy. Pozostałe zadania w następnym odcinku.

1

x

y

x = y

Rys. 1.

P