10 UE egz maj 2012 NE dz zad


dr Tadeusz Janaszak (Wrocław tel. 601 566200) EGZAMINY NA UNIWERSYTECIE EKONOMICZNYM WE WROCŁAWIU Odcinek 1 (10) zapraszam na konsultacje.

EGZAMIN; MAJ 2012

WYDZIAŁ NAUK EKONIMICZNYCH

STUDIA DZIENNE

ZADANIA 1 - 3

0x08 graphic

W tym odcinku przedstawimy rozwiązania trzech zadań z egzaminu w sesji letniej 2012; pierwsze zadanie dotyczy wyznaczania macierzy przekształcenia liniowego, drugie to znajdowanie ekstremum warunkowego funkcji trzech zmiennych, trzecie - całka podwójna; egzamin obejmował sześć zadań zarówno z algebry liniowej, jak i analizy matematycznej.

Zadanie 1: Dane jest przekształcenie liniowe 0x01 graphic
takie, że 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
. Znaleźć postać 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
.

Rozwiązanie: Zauważmy, że wektory 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
są liniowo niezależne, bowiem wyznacznik utworzony z ich współrzędnych jest bowiem różny od zera:

  1. 0x01 graphic
    ;

oznacza to, że zadanie ma jednoznaczne rozwiązanie.

Aby znaleźć postać 0x01 graphic
należy podać cztery liczby a, b, c, d takie, by

  1. 0x01 graphic
    ;

w zapisie macierzowym możemy to zapisać w formie:

  1. 0x01 graphic
    ;

symbol T we wzorze (3) oznacza transpozycję.

Do wyznaczenia jest zatem macierz 0x01 graphic
. Z treści zadania wiemy, że mają miejsce dwie równości:

  1. 0x01 graphic
    oraz 0x01 graphic
    ;

obie równości (4) możemy zapisać w formie równanie macierzowego:

  1. 0x01 graphic
    .

Aby wyliczyć macierz 0x01 graphic
wystarczy przemnożyć równanie (5) z prawej strony przez macierz odwrotną do macierzy 0x01 graphic
. Z łatwością obliczamy tę macierz odwrotną:

  1. 0x01 graphic
    ;

teraz możemy zapisać wynik:

  1. 0x01 graphic
    , czyli 0x01 graphic
    ;

można zatem zapisać odpowiedź w taki sposób, jak we wzorze (2)

  1. 0x01 graphic
    .

Aby odpowiedzieć na drugie pytanie zapiszmy

  1. 0x01 graphic
    ,

czyli w zapisie macierzowym:

  1. 0x01 graphic
    .

Macierz 0x01 graphic
jest macierzą odwrotną do macierzy 0x01 graphic
; wyznaczamy ją z łatwością:

  1. 0x01 graphic
    ,

A więc odpowiedź na drugie pytanie brzmi:

  1. 0x01 graphic

Wzory (8) i (12) są odpowiedzią.

Zadanie 2: Znaleźć ekstrema funkcji 0x01 graphic
, przy warunku 0x01 graphic
.

Rozwiązanie: Z równania określającego warunek wyznaczamy zmienną z:

  1. 0x01 graphic

Zależność (13) wstawiamy do funkcji podanej w treści zadania; otrzymujemy funkcję dwu zmiennych x i y:

  1. 0x01 graphic

skąd

  1. 0x01 graphic
    ,

a więc

  1. 0x01 graphic
    ;

w dalszym ciągu będziemy postępowali tak, jak w zadaniach na obliczanie ekstremum bezwarunkowego funkcji dwu zmiennych: najpierw policzymy pochodne cząstkowe:

  1. 0x01 graphic
    oraz 0x01 graphic
    .

Teraz obie pochodne cząstkowe przyrównujemy do zera i rozwiązujemy układ równań:

  1. 0x01 graphic
    .

Układ rozwiążemy metodą wyznaczników: wyznacznik główny wynosi 9, dalej mamy:

  1. 0x01 graphic
    oraz 0x01 graphic
    ,

tak więc mamy:

  1. 0x01 graphic
    oraz 0x01 graphic
    .

Z wzorów (17) obliczamy pochodne cząstkowe drugiego rzędu:

  1. 0x01 graphic
    ; 0x01 graphic
    oraz 0x01 graphic
    ;

otrzymane rezultaty układamy w macierz drugiej pochodnej:

  1. 0x01 graphic

Macierz (22) ma dodatni wyznacznik, a na głównej przekątnej stoją liczby dodatnie; zgodnie z algorytmem funkcja (16) ma w tym punkcie minimum. Teraz wystarczy ze wzoru (13) obliczyć trzecią współrzędną punktu, w którym jest minimum; obliczamy

  1. 0x01 graphic
    , a więc 0x01 graphic
    .

Ostatecznie uzyskaliśmy odpowiedź: Funkcja 0x01 graphic
ma przy warunku 0x01 graphic
minimum w punkcie 0x01 graphic
.

Komentarz: Zadanie to można rozwiązać metodami geometrii analitycznej; dla ciekawych rozwiązanie takie podamy w którymś z dalszych odcinków.

Zadanie 3: Obliczyć 0x01 graphic
, gdzie obszar D wyznaczony jest przez proste o równaniach 0x01 graphic
; 0x01 graphic
; 0x01 graphic
.

Rozwiązanie: Zaczniemy od narysowania obszaru całkowania:

0x08 graphic

Punkt P będący przecięciem obu prostych ma współrzędne: 0x01 graphic
.

Zamieniamy całkę podwójną na iterowaną; przy czym wprowadzimy symbol V na oznaczenie wartości całki podwójnej, ułatwi to nam redakcję dalszego tekstu:

  1. 0x01 graphic
    .

Obliczamy całkę wewnętrzną:

  1. 0x01 graphic
    ;

pozbędziemy się znaku minus przez zmianę granic całkowania:

  1. 0x01 graphic

stąd mamy

  1. 0x01 graphic
    ;

ponieważ 0x01 graphic
, więc dostajemy

  1. 0x01 graphic
    , czyli 0x01 graphic
    ,

a więc ostatecznie

  1. 0x01 graphic
    , czyli 0x01 graphic

Odpowiedź brzmi: 0x01 graphic
.

Na tym odcinek się kończy. Pozostałe zadania w następnym odcinku.

1

x

y

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

x = y

Rys. 1.

P



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
45 UE egz 06 2012 FIR dz zad 1 układ równ Gauss
47 UE egz 06 2012 FIR dz zad
Dot pyt 70 maj 2012
Maj 2012
Budownictwo opracowane pytania na egz z wykładów (2012)
SPRAWOZDANIE NR 2 CHEMIA BUDOWLANA SPOIWA WAPIENNE MAJ 2012, Studia budownictwo pierwszy rok, Chemia
Budownictwo opracowane pytania na egz z wykładów (2012)
Pytania z kolosów i egz, Egz fizjo 2012- pyt rozw, 1)
Pytania z kolosów i egz, Egz fizjo 2012- pyt rozw, 1)
Egz algebra 2012
maj 2012
egz lato 2012 id 151206 Nieznany
Zagadnienia do egz. - kosm.2012, Kosmetologia, GWSH, Biofizyka
egz fizjologia 2012, Fizjoterapia CM UMK, Fizjologia
Zjazd Budda Purnima Maj 2012 rok
zadanie maj 2012 2, egzamin na rzeczoznawcę majątkowego, maj 2012

więcej podobnych podstron