dr Tadeusz Janaszak (Wrocław tel. 601 566200) EGZAMINY NA UNIWERSYTECIE EKONOMICZNYM WE WROCŁAWIU Odcinek 1 (10) zapraszam na konsultacje.
EGZAMIN; MAJ 2012
WYDZIAŁ NAUK EKONIMICZNYCH
STUDIA DZIENNE
ZADANIA 1 - 3
W tym odcinku przedstawimy rozwiązania trzech zadań z egzaminu w sesji letniej 2012; pierwsze zadanie dotyczy wyznaczania macierzy przekształcenia liniowego, drugie to znajdowanie ekstremum warunkowego funkcji trzech zmiennych, trzecie - całka podwójna; egzamin obejmował sześć zadań zarówno z algebry liniowej, jak i analizy matematycznej.
Zadanie 1: Dane jest przekształcenie liniowe
takie, że
oraz
. Znaleźć postać
oraz
.
Rozwiązanie: Zauważmy, że wektory
oraz
są liniowo niezależne, bowiem wyznacznik utworzony z ich współrzędnych jest bowiem różny od zera:
;
oznacza to, że zadanie ma jednoznaczne rozwiązanie.
Aby znaleźć postać
należy podać cztery liczby a, b, c, d takie, by
;
w zapisie macierzowym możemy to zapisać w formie:
;
symbol T we wzorze (3) oznacza transpozycję.
Do wyznaczenia jest zatem macierz
. Z treści zadania wiemy, że mają miejsce dwie równości:
oraz
;
obie równości (4) możemy zapisać w formie równanie macierzowego:
.
Aby wyliczyć macierz
wystarczy przemnożyć równanie (5) z prawej strony przez macierz odwrotną do macierzy
. Z łatwością obliczamy tę macierz odwrotną:
;
teraz możemy zapisać wynik:
, czyli
;
można zatem zapisać odpowiedź w taki sposób, jak we wzorze (2)
.
Aby odpowiedzieć na drugie pytanie zapiszmy
,
czyli w zapisie macierzowym:
.
Macierz
jest macierzą odwrotną do macierzy
; wyznaczamy ją z łatwością:
,
A więc odpowiedź na drugie pytanie brzmi:
Wzory (8) i (12) są odpowiedzią.
Zadanie 2: Znaleźć ekstrema funkcji
, przy warunku
.
Rozwiązanie: Z równania określającego warunek wyznaczamy zmienną z:
Zależność (13) wstawiamy do funkcji podanej w treści zadania; otrzymujemy funkcję dwu zmiennych x i y:
skąd
,
a więc
;
w dalszym ciągu będziemy postępowali tak, jak w zadaniach na obliczanie ekstremum bezwarunkowego funkcji dwu zmiennych: najpierw policzymy pochodne cząstkowe:
oraz
.
Teraz obie pochodne cząstkowe przyrównujemy do zera i rozwiązujemy układ równań:
.
Układ rozwiążemy metodą wyznaczników: wyznacznik główny wynosi 9, dalej mamy:
oraz
,
tak więc mamy:
oraz
.
Z wzorów (17) obliczamy pochodne cząstkowe drugiego rzędu:
;
oraz
;
otrzymane rezultaty układamy w macierz drugiej pochodnej:
Macierz (22) ma dodatni wyznacznik, a na głównej przekątnej stoją liczby dodatnie; zgodnie z algorytmem funkcja (16) ma w tym punkcie minimum. Teraz wystarczy ze wzoru (13) obliczyć trzecią współrzędną punktu, w którym jest minimum; obliczamy
, a więc
.
Ostatecznie uzyskaliśmy odpowiedź: Funkcja
ma przy warunku
minimum w punkcie
.
Komentarz: Zadanie to można rozwiązać metodami geometrii analitycznej; dla ciekawych rozwiązanie takie podamy w którymś z dalszych odcinków.
Zadanie 3: Obliczyć
, gdzie obszar D wyznaczony jest przez proste o równaniach
;
;
.
Rozwiązanie: Zaczniemy od narysowania obszaru całkowania:
Punkt P będący przecięciem obu prostych ma współrzędne:
.
Zamieniamy całkę podwójną na iterowaną; przy czym wprowadzimy symbol V na oznaczenie wartości całki podwójnej, ułatwi to nam redakcję dalszego tekstu:
.
Obliczamy całkę wewnętrzną:
;
pozbędziemy się znaku minus przez zmianę granic całkowania:
stąd mamy
;
ponieważ
, więc dostajemy
, czyli
,
a więc ostatecznie
, czyli
Odpowiedź brzmi:
.
Na tym odcinek się kończy. Pozostałe zadania w następnym odcinku.
1
x
y
x = y
Rys. 1.
P