N

AZWISKO

I

MIĘ

..............................

egz+zal AM

20.06. 2011/12

Zad.1

Zad.2

Zad.3

Zad.4

Zad.5

Zad.6

Zad.7

Zad.8

Zad.9

Zad.1 Korzystając z rozwinięcia w szereg Maclaurina funkcji

x

x

f

sin

)

(



   

























!

1

2

1

!

7

!

5

!

3

sin

1

2

7

5

3

n

x

x

x

x

x

x

n

n

dla

R

x



a) rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję

)

2

sin(

)

(

x

x

x

g



;

b) podać przedział zbieżności otrzymanego szeregu;
c) obliczyć wartość dwudziestej oraz dwudziestej pierwszej pochodnej funkcji g w punkcie 0;

d) obliczyć sumę szeregu











1

)!

1

2

(

)

1

(

n

n

n

.

Zad.2 Dla szeregu potęgowego











0

1

3

)

2

1

(

n

n

n

n

x

wyznaczyć

a) środek, b) współczynniki, c) promień zbieżności, d) przedział zbieżności.

Zad.3 Wyznaczyć wielomian Taylora stopnia drugiego w punkcie

)

1

,

(e

dla funkcji

)

(

3

)

,

(

y

x

y

x

f



.

zad.4 Wyznaczyć ekstrema warunkowe funkcji

xyz

z

y

x

f



)

,

,

(

przy warunku

18

3

2







z

y

x

.

Zad.5 Wyznaczyć ekstremum funkcji uwikłanej określonej równaniem



 



0

6

2

2

2

2

2









y

x

y

x

.

Zad.6 Dokonując odpowiedniej zamiany zmiennych obliczyć całkę

dxdy

y

D



3

gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi

y

x

2

2



,

y

x



2

4

,

x

y



2

,

x

y

3

2



.

zad.7 Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami

)

(

5

2

2

y

x

z





,

2

2

36

y

x

z







. Naszkicować tę bryłę.

Nazwać ograniczające ją powierzchnie.

zad.8 Wyznaczyć rozwiązanie równania

x

y

x

y

3

2

1

1









spełniające warunek początkowy

3

)

1

(



y

.

zad.9 Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania

3

7

3

5

2

3















x

e

y

y

y

.

N

AZWISKO

I

MIĘ

..............................

egz+zal AM

20.06. 2011/12

Zad.1

Zad.2

Zad.3

Zad.4

Zad.5

Zad.6

Zad.7

Zad.8

Zad.9

Zad.1 Korzystając z rozwinięcia w szereg Maclaurina funkcji

x

x

f

cos

)

(



   





















!

2

1

!

6

!

4

!

2

1

cos

2

6

4

2

n

x

x

x

x

x

n

n

dla

R

x



a) rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję

)

2

cos(

)

(

x

x

x

g



;

b) podać przedział zbieżności otrzymanego szeregu;
c) obliczyć wartość dwudziestej oraz dwudziestej pierwszej pochodnej funkcji g w punkcie 0;

d) obliczyć sumę szeregu









1

)!

2

(

)

1

(

n

n

n

.

Zad.2 Dla szeregu potęgowego











0

1

5

)

2

1

(

n

n

n

n

x

wyznaczyć

a) środek, b) współczynniki, c) promień zbieżności, d) przedział zbieżności.

Zad.3 Wyznaczyć wielomian Taylora stopnia drugiego w punkcie

)

1

,

(e

dla funkcji

)

(

2

)

,

(

y

x

y

x

f



.

zad.4 Wyznaczyć ekstrema warunkowe funkcji

xyz

z

y

x

f



)

,

,

(

przy warunku

18

3

2







z

y

x

.

Zad.5 Wyznaczyć ekstremum funkcji uwikłanej określonej równaniem









0

24

2

2

2

2

2









y

x

y

x

.

Zad.6 Dokonując odpowiedniej zamiany zmiennych obliczyć całkę

dxdy

x

D



3

gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi

y

x



2

,

y

x

4

2



,

x

y

2

2



,

x

y



2

3

.

zad.7 Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami

)

(

5

1

2

2

y

x

z





,

36

2

2

2







z

y

x

dla

.

0



z

Naszkicować

tę bryłę. Nazwać ograniczające ją powierzchnie.

zad.8 Wyznaczyć rozwiązanie równania

x

y

x

y

6

1

2

1









spełniające warunek początkowy

2

)

1

(



y

.

zad.9 Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania

x

e

y

y

y

2

7

6

2

5

3















.

N

AZWISKO

I

MIĘ

..............................

egz AM

20.06. 2011/12

Zad.I

Zad.II

Zad.III Zad.IV

Zad.V

Zad.VI

Zad.7

Zad.8

Zad.9

zad.7 Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami

)

(

5

1

2

2

y

x

z





,

36

2

2

2







z

y

x

dla

.

0



z

Naszkicować

tę bryłę. Nazwać ograniczające ją powierzchnie.

zad.8 Wyznaczyć rozwiązanie równania

x

y

x

y

3

2

1

1









spełniające warunek początkowy

3

)

1

(



y

.

zad.9 Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania

x

e

y

y

y

2

7

6

2

5

3















.

Zadania teoretyczne

I. W przedziale





1

,

1



zachodzi równość











0

1

1

n

n

x

x

. Korzystając z tej zależności i powołując się na odpowiednie

twierdzenia obliczyć sumę







1

2

n

n

nx

.

II. Korzystając z definicji rozstrzygnąć, czy funkcja

)

1

(

)

,

(

2

y

x

y

x

y

x

f







w punktach

)

,

0

(

y dla

1

0





y

osiąga

ekstremum (maksimum czy minimum) lokalne niewłaściwe.

III. Podać definicję pochodnej kierunkowej funkcji trzech zmiennych w punkcie

)

,

,

(

0

0

0

z

y

x

w kierunku wersora

)

,

,

(

c

b

a

v



gdzie

1

2

2

2







c

b

a

i jej związek z gradientem funkcji w zadanym punkcie. Jaka może być najmniejsza,

a jaka największa wartość tej pochodnej?
IV. Dla funkcji

)

,

(

y

x

f

z



klasy

)

(

2

2

R

C

sformułować i udowodnić warunek wystarczający na to by w punkcie

)

,

(

0

0

y

x

funkcja f osiągała minimum lokalne właściwe.
V. Podać związki między współrzędnymi kartezjańskimi

)

,

,

(

z

y

x

a współrzędnymi sferycznymi

)

,

,

(





R

dowolnego

punktu w

3

R . Obliczyć jakobian

)

,

,

(





R

J

.

VI. Dla równania liniowego rzędu drugiego o stałych wspólczynnikach

0











qy

y

p

y

R

q

p



,

w przypadku, gdy

0

4

2









q

p

metodą uzmienniania stałej wyznaczyć całkę szczególną równania liniowo niezależną

z całką tego równania równą

x

r

e

y

0

1



gdzie

2

0

p

r





.