1. Odległość dwóch punktów

A(x₁,y₁)

B(x₂,y₂)

Przykład:

A(3,1)

B(7,5)

2. Współrzędne środka odcinka AB:
   

3. Proste na płaszczyźnie:

1. równanie prostej:

• postać ogólna -
  

• postać kierunkowa -
  

2. równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty A(x_A, y_A) oraz B(x_B, y_B):

prosta AB :

3. proste
   oraz
   są:

• równoległe, wtedy i tylko wtedy, gdy:
  

• prostopadłe, wtedy i tylko wtedy, gdy:
  

Podstawowe figury na płaszczyźnie:

1. okręgiem o środku w punkcie S i promieniu długości r nazywamy zbiór punktów płaszczyzny, których odległość od punktu S jest równa r. Jeżeli S(a,b), to okrąg ma równanie:
   

2. kołem o środku w punkcie S i promieniu długości r nazywamy zbiór punktów płaszczyzny, których odległość od punktu S jest niewiększa od r.
   Jeżeli S(a,b), to punkty te spełniają równanie:
   

3. elipsą nazywamy krzywą określoną wzorem:
   . Osiami symetrii tej elipsy są osie układu współrzędnych

4. hiperbolą nazywamy krzywą określoną wzorem:
   . Osiami symetrii tej hiperboli są osie układu współrzędnych

5. prostą nazywamy styczną do okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy prosta ta ma z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny. Prosta jest styczna do okręgu, gdy odległość środka okręgu od prostej jest równa długości promienia.

Przykład:

Dla jakich wartości x prosta jest styczna do okręgu, jeżeli długość promienia tego okręgu r=4x+2, a odległość środka od prostej jest równa 2x+3

6. 
   odległość punktu P(x_p, y_p) od prostej l danej równaniem Ax+By+C=0 określamy wzorem:

7. odległość prostej k o równaniu Ax+By+C=0 od prostej l danej równaniem Ax+By+C'=0 określamy wzorem:

Zadania

1. Napisz równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty:

1. A(3,5); B(1,-3)

2. A(2,3); B(2,7)

3. A(4,1); B(7,1)

Wykonaj to dwoma sposobami. Wykorzystując gotowy wzór (3b) oraz bez jego wykorzystania.

2. Dane są punkty A(1,1); B(5,4); C(-2,-5). Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt C i równoległej do prostej AB.

3. Napisz równanie prostej prostopadłej do prostej k: 2x-3y-7=0 przechodzącej przez punkt P(-1,-4)

4. Dany jest trójkąt ABC A(-2,1), B(2,-1), C(1,4). Napisz równanie:

1. jednego z boków

2. wysokości poprowadzonej do tego boku

3. symetralnej.

4. środkowej.

5. Dany jest trójkąt ABC A(-3,2), B(4,-1), C(2,5). Napisz równanie:

1. jednego z boków

2. wysokości poprowadzonej do tego boku

3. symetralnej.

4. środkowej.

6. Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach A(-1,-1), B(3,2), C(2,-4).

7. Koniec A odcinka |AB| ma współrzędne (2,3), a środek odcinka M(-1,3). Znaleźć współrzędne punktu B.

8. Obliczyć pole trójkąta ograniczonego osiami układu i prostą x+2y-6=0.

9. Jaką krzywą opisuje dane równanie? Naszkicuj tę krzywą.

1. x²+y²=9

2. 4x²+9y²=36

3. 2x²+3y²=6

4. x²+y²=5

10. Naszkicuj okręgi o równaniach:

1. (x-1)²+(y+2)²=9

2. (x-3)²+(y-3)²=5

3. x²+y²=2x

11. Napisz równanie okręgu o środku S(1,-3) przechodzącego przez punkt A(3,5).

12. Napisz równanie okręgu przechodzącego przez punkt P(8,9) i stycznego do obu osi układu.

13. Wyznacz współrzędne środka okręgu opisanego na trójkącie o wierzchołkach A(2,3), B(-1,3), C(3,1).

14. Napisz równania stycznych do okręgu x²+y²=4 przechodzących przez punkt P(0,4).

15. Dla jakich wartości parametru c prosta 3x+4y-8 jest styczna do okręgu

x²+y²-2x+10y+c=0.

16. Punkty wspólne okręgu (x-3)²+(y-5)²=4 i prostej x+y=10 są wierzchołkami trójkąta, którego trzeci wierzchołek znajduje się w punkcie O(0,0). Wyznacz pole trójkąta.

Podstawowe pojęcia planimetrii

O

A

B

P(x_p, y_p)

Długość:

S

Długość:

K

l

k

L

C

---