Matematyka

07.05.2002

Wykład 10

WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE

Definicja

Niech ƒ - przekształcenie liniowe przestrzeni wektorowej E w siebie. Jeżeli istnieje liczba λ i x ≠ 0, wektor x∈E, takie że:

f(x) = λx

to liczbę λ nazywamy wartością własną przekształcenia ƒ, a wektor x - wektorem własnym przekształcenia ƒ odpowiadającym wartości własnej λ.

Twierdzenie 1.

Kombinacja liniowa wektorów własnych x, y odp. wartości własnej λ i nie będąca wektorem zerowym jest też wektorem własnym odp. λ.

Twierdzenie 2.

Wektory własne odp. parami różnym wartościom własnym są liniowo niezależne.

Uwaga 1.

Wszystkie wektory własne odp. jednej wartości własnej λ rozpinają podprzestrzeń wektorów własnych nazywaną podprzestrzenią własną odp. λ.

Przykład 1.

Niech ƒ=α⋅id_E i ƒ(x)=α⋅x to α jest jedyną wartością własną.

Podprzestrzeń własna = E odp. α

Przykład 2.

Obrót płaszczyzny o kąt β∈(0,π) wokół (0,0) nie ma wartości własnych

Obrót płaszczyzny o kąt β=π jest symetrią środkową α = -1

Definicja

Niech a₁, a₂, ..., a_n - wektory ortogonalne i unormowane z E (i w jest E ustalona baza). (a_i a_j) = δ_ij to macierz

nazywamy macierzą ortogonalną. Wówczas U^T⋅U=I_n ; i na odwrót, jeśli U^T⋅U=I_n ⇒ kolumny = układ wektorów ortogonalny.

Dla macierzy ortogonalnej

U^-1=U^T

Przykład 3.

Macierz obrotu płaszczyzny względem (0,0) o kąt α jest ortogonalna

Twierdzenie 3.

Macierz ortogonalna przekształca wektory ortogonalne w wektory ortogonalne.

Twierdzenie 4.

Jeżeli macierz przekształca bazę ortogonalną i unormowaną, w bazę ortogonalną i unormowaną, to macierz jest ortogonalna.

Wniosek

Macierz ortogonalna może mieć tylko dwie wartości własne 1 lub -1. Odpowiadające im wektory własne są ortogonalne.

Postać diagonalna.

Ax = λx     x ≠ 0

(A - λI)x = 0

Definicja

Ten układ równań ma rozwiązania nietrywialne WTW gdy:

det(A- λI) = 0

to równanie nazywamy równaniem charakterystycznym macierzy A.

Uwaga

Wartości własne przekształcenia nie powinny zależeć od bazy. W innej bazie macierz równa A ma postać:

P^-1AP,

gdzie P jest nieosobliwą macierzą przejścia

det(P^-1AP-λI) = det(A-λI)

Obliczając wyznacznik w równaniu charakterystycznym otrzymamy warunek:

b_nλⁿ+b_n-1λ^n-1+...+bλ+b₀=0,

gdzie współczynniki b_i wielomianu charakterystycznego wyrażają się przez elementy macierzy A.

Tzn.

b_n=(-1)ⁿ

b_n-1=(-1)^n-1trA=(-1)^n-1(a₁₁+a₂₂+...+a_nn)

...

b₀= detA

Definicja

b₀, b₁, b₂, ..., b_n są niezmiennikami, czyli nie zależą od wyboru bazy.

własności : tr(A+B) = trA+trB

stA=stB= n to tr(A⋅B) = tr(B⋅A)

Wniosek 3.

Macierz stopnia n ma co najwyżej n wartości własnych.

Twierdzenie 5.

Macierz w bazie wektorów własnych ma postać diagonalną.

Definicja

Macierz A stopnia n mającą n niezależnych wektorów własnych nazywamy macierzą prostej struktury.

Twierdzenie 6.

Tylko macierze prostej struktury i tylko w bazie wektorów własnych mają postać diagonalną.

Twierdzenie 7.

Jeżeli macierz jest symetryczna A = A^T to wektory własne odp. różnym wartościom własnym są ortogonalne.

Twierdzenie 8.

Jeżeli macierz A ma n ortogonalnych i unormowanych wektorów własnych w₁, w₂, ..., w_n którym odp. wartości własne λ₁, λ₂, ..., λ_n (niekoniecznie różne) oraz gdy U jest macierzą ortogonalną utworzoną z kolumn odp. tym wektorom własnym, to macierz U^-1AU jest macierzą diagonalną, a na jej głównej przekątnej znajdują się wartości własne A.

Wniosek

Dla macierzy symetrycznej istnieje baza ortogonalna złożona z wektorów własnych tej macierzy. W tej bazie macierz ma postać diagonalną.

Przykład 4.

Niech

a + b = trA ; ab - c² = detA ; λ²-(trA)λ + detA = 0

Δ = (trA)² - 4detA = (a-b)² + 4c² ≥ 0

wektory własne

dla λ=λ₁=1:

dla λ=λ₂=6:

Biorąc

Zadanie 1.

Znaleźć wartość własną, wektory własne macierzy:

Zadanie 2.

Wyznaczyć wartości własne i wektory własne przekształcenia liniowego, które przeprowadza wektory

na wektory
odpowiednio.

Zadanie 3.

Sprowadzić macierze:

a)

b)

do postaci diagonalnej i wyznaczyć odpowiednią macierz ortogonalną w tym przekształceniu.

Praca pochodzi z serwisu www.e-sciagi.pl

---