MATEMATYKA – WYKŁADY.

Wykład z 16.10.2010 r.

FUNKCJA.

1.Miejsce zerowe funkcji.

Miejscem zerowym funkcji f nazywamy taki argument X₀ należący do dziedziny tej funkcji dla którego funkcja f przyjmuje wartość równą zero.

Obrazowo mając dany wykres funkcji można odczytać jako punkty przecięcia z osią OX.

2.Parzystość (nieparzystość) funkcji.

Funkcję f odwzorowującą zbiór XY nazywać będziemy funkcją parzystą wtedy i tylko wtedy, gdy spełnimy warunek:

( - x ϵ D_f Ʌ f (-x) = f (x) )

x ϵ D_f

Na przykład taką funkcją jest funkcja kwadratowa.

Obrazowo wykres funkcji parzystej jest symetralny względem osi OY .

Np:

f(x) = x²

g(x) = x² – 1

Funkcję f nazywamy nieparzystą wtedy i tylko wtedy, gdy zostanie spełniony warunek:

( - x ϵ D_f Ʌ f (-x) = - f (x) )

x ϵ D_f

Na przykład taką funkcją jest:

1. funkcja liniowa : f(x) = x

1. Funkcja potęgowa : f(x) = x³

Obrazowo wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych.

Nieparzystość funkcji f(x) = x³ można udowodnić algebraicznie .

3.Monotoniczność funkcji.

Funkcje mogą być:

- ściśle monotoniczne – rosnące , malejące , stałe,

- słabo monotoniczne – niemalejące , nierosnące .

Funkcja rosnąca .

Funkcja f jest rosnąca na zbiorze A będącym podzbiorem dziedziny (ewentualnie na całej dziedzinie funkcji) wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek :

x₁ < x₂ f (x₁) < f (x₂)

X₁ ,x₂ ϵ A

Obrazowo wykres funkcji rosnącej wznosi się do góry .

Przykładowymi funkcjami rosnącymi w całej swojej dziedzinie są:

- funkcja kwadratowa f (x) = x²

Natomiast funkcja f(x) = (x-1)(x-3) , rośnie w przedziale (2; +∞)

Funkcja malejąca.

Funkcja f jest malejącą gdy zostanie spełniony warunek:

x₁ < x₂ f (x₁) > f (x₂)

Obrazowo wykres funkcji malejącej maleje w dół

Przykładową funkcją malejącą w całej swojej dziedzinie jest funkcja liniowa: f(x) = -x – 1 .

Funkcja niemalejąca.

Funkcja niemalejąca jest inaczej rosnącą lub stałą.

Funkcja f odwzorowująca jest niemalejącą (w dziedzinie funkcji f) wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek:

(x₁ > x₂ f (x₁) ≥ f (x₂) )

x₁, x₂ ϵ A , (ew. x_1, x₂ ϵ D_f)

4.Funkcja różnowartościowa.

f: X ^1-1→ Y

Funkcja f odwzorowująca zbiór XY jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy , gdy spełniony jest warunek:

(x₁ + x₂ f (x₁) f (x₂)

x₁, x₂ ϵ D_f

Obrazowo funkcja f jest różnowartościowa na zbiorze A (na całej dziedzinie funkcji) , gdy każda prosta równoległa do osi OX przecina wykres funkcji w co najwyżej jednym punkcie.

Np.:

f (x) = -x – 1

g (x) = x² – 4 nie jest różnowartościowa

Prawo kontrapozycji.

( ͠ p => q) ( q => p)

Stosując prawo kontrapozycji warunek różnowartościowości funkcji f można zapisać w sposób równoważny następująco:

(f (x₁) = f(x₂) => x₁ = x₂)

x_1, x₂ ϵ A

Ten sposób jest wygodniejszy gdy chcemy zbadać różnowartościowość funkcji metodami algebraicznymi.

Np.:

f(x) = x² – 4 f: R → R

Chcąc zbadać czy funkcja jest różnowartościowa f (x₁) = f (x₂) założymy prawdziwość poprzednika dla dowolnych argumentów z dziedziny np.:

x² – 4 = x² – 4 np.:

x₁² = x₂² x₁ = 1 x₂ = -1

x₁ = x₂ V x₁ = - x₂ f(1) = f(-1)

x₁ x₂

ta funkcja nie jest różnowartościowa.

5.Przegląd ważniejszych funkcji elementarnych.

Funkcja:

1. Liniowa

f (x) = ax ,przechodzi przez 1,3 ćwiartkę

2,4

a > 0

x₀ = 0

D_f = R

W_f = R

f ↗ rosnąca

1 – 1 (różnowartościowa)

Funkcja nieparzysta

a < 0

x₀ = 0

D_f = R

W_f = R

f ↙ malejąca

1 -1 (różnowartościowa)

Funkcja nieparzysta

1. Kwadratowa

f (x) = ax² + bx + c

wykres – parabola

∆ > 0

a < 0

f ↗ ( -∞; p)

f ↙ (p; +∞)

1. nie jest

W_f = (-∞; q>

D_f = R

∆ < 0

a > 0

W_f = <q; +∞)

D_f = R

1. funkcja moduł

f(x) = IxI

X₀ = 0

1-1 nie jest

D_f = R

W_f = <0 ;+∞)

Funkcja parzysta

1. wykładnicza

f (x) = a^x

a > 1 f(x) = 2^x

D_f = R

W_f = ( 0; +∞)

Funkcja rosnąca

X₀ = brak

1-1

D_f = R

Funkcja malejąca

1-1

X₀ = brak

1. logarytmiczna

f(x) = log _a X

a > 0 i a1

x > 0

log _a b = c a ^c = b

a > 1

x₀ = 1

różnowartościowa 1-1

funkcja rosnąca

0 < a < 1

Funkcja malejąca

1. potęgowa

f (x) = x ^m

m – parzyste

m – nieparzyste

Funkcja rosnąca

1-1

Funkcja nieparzysta

m = - n n – parzyste

f (x) = x^-2

D_f = R

W_f = ( 0; +∞)

X₀ = brak

funkcja parzysta

m = -n n – nieparzyste

f (x) = x^-1

funkcja nieparzysta

W_f = R

X₀ = brak

1-1

m =

n – ułamek w postaci gdzie n jest parzyste

f (x) =
D_f = < 0; +∞)

W_f = < 0; +∞)

Zadanie przykładowe:

Sporządź wykres.

f (x) = ()^x-1 , gdy x ≤ 1

( 2^x + 1) , gdy x ϵ ( -1; 3>

(x² – 1) , gdy x ϵ (3;5)

log _0,5 (x-1) , gdy x ≥ 5

1. f(x) = - I x-1I + 2

2. f(x) = x² – 1 , dla x < 1

, dla x ≥ 1

Ad. A)

f₁(x) = IxI u^→ [1,0]

f₂(x) = I x – 1I

f₃(x) = -Ix – 1I

f₄(x) = -Ix – 1I + 2

w^→ = [0,2]

1. – nie jest

Funkcja rosnąca (-1;1)

x₀ = 3 V x₀ = 1

ad. B)

f₂(x) =

D_f = R

W_f = (-1; +∞)

x₀ = -1 , x₀ = 1

f ↙ = (-∞; 0)

f ↗ = (0; + ∞)

1. nie jest

f (x-1) , w^→ = [1,0]

f (x) + 1 , w^→ = [0,1]

-f (x) – odbicie symetryczne

Zadanie 1:

W pewnym przedsiębiorstwie dzienna produkcja x ton towarów opisana jest za pomocą funkcji przychodu i kosztu . Przy jakiej wielkości produkcji x przedstawia osiągany zysk? Przy jakiej zysk jest maksymalny?

z (x) = 10x – x² – 2x – 7

z (x) = -x² +8x – 7

z (x) > 0

x₁= 7

x₂ = 1

x ϵ (1,7) – przedsiębiorstwo osiąga maksymalny zysk przy produkcji 4 ton.

Zadanie 2:

Przedsiębiorstwo wytwarzające produkt ponosi koszt całkowity produkcji. Dany wzorem :

k (q) = 0,1q² + 10 q + 20

q – wielkość produkcji

cena po jakiej przedsiębiorstwo sprzedaje jednostkę produkcji wynosi 14 jednostek pieniężnych zakładamy , że cała produkcja może być sprzedana . Wyznacz wielkość produkcji przynoszących maksymalny zysk.

P (q) = 14 q

Z (q) = P (q) – (q)

6.Funkcja odwrotna do danej.

Niech funkcja f odwzorowuje zbiór X różnowartościowo na zbiór Y.

Funkcją odwrotną do f nazywamy funkcję oznaczoną symbolem f^-1 : Y → X i spełniającą warunek :

f^-1 (y) = x f (x) = y

np.:

Wyznacz o ile to możliwe funkcję odwrotną do f.

1. f: R → R

f (x) = 2x + 3

W_f = R

Aby funkcje f posiadały odwrotną do siebie muszą być różnowartościowe i „na” .

Dana jest wzorem:

f^-1 : R → R

f^-1 (x) = x -

1. f: R → R

f (x) = x² – 1

1. f: <0; +∞) → R

f (x) = x² – 1

ad.b)

1. nie jest na zbiorze R

to nie jest funkcja odwrotna

ad.c)

jest 1-1 na zbiorze <0; +∞)

f^-1 : <-1; +∞) → <0; +∞)

y = x² – 1

y + 1 = x²

dla y ϵ <-1; +∞)

y + 1 ϵ <0; +∞)

x ϵ <0; +∞)

= x

x =

f^-1 (x) =

Wykres danej funkcji i do niej odwrotnej są do siebie symetryczne względem prostej o równaniu y = x .

7.Składanie funkcji.

Niech f: X → Y i funkcja g: Z → W i niech przy tym W_f D_y złożeniem funkcji g z f nazywamy funkcję

gf: X → W określoną wzorem:

(g f) (x) = g (f(x))

Gdzie f – funkcja zewnętrzna

g - funkcja wewnętrzna

(g f)(x) = g (f(x))

Np.:

Rozważmy funkcję:

f (x) = 2x² + 3x + 1

g (x) = 2^x

Wyznacz o ile możliwe:

gf , fg , f f , g g

gf

W_f D_g

Złożenie funkcji g z f tylko wtedy, gdy zbiór wartości funkcji f zawiera się w dziedzinie funkcji g.

p = - x₁ = -1

q = - x₂= -

p = -

q = -

f: R → <-; +∞)

g: R → (0; +∞)

W_f D_g

<-; + ∞) R

(g f)(x) = g(f(x)) = g(2x² + 3x + 1) = 2 ^{2x2 + 3x + 1}

W_g D_f

Złożenie zbioru wartości funkcji g z dziedziną funkcji f jest możliwe gdy zbiór wartości funkcji f zawiera się w dziedzinie funkcji g.

(f g)(x) = f(g(x)) = f(g(x)) = f (2^x)² + 3 (2^x) + 1

f f : W_f D_f

<-;+∞) R fg : R → <-;+∞)

g f : R → (0; +∞)

ff (x) f (f(x) = f(2x² + 3x +1) = 2(2x + 3x + 1)² + 3 (2x² + 3x + 1)

Zad. 1

Następującą funkcję złożoną przedstaw w postaci mnożenia dwóch funkcji elementarnych.

1. h(x) = sin³x

=(sin x)³

Zewn. f(x) = x³

Wewn. g(x) = sin x

h (x) = (f g)(x) = f(g(x)) = f(sin x) = sin x

W_wewn. D _zewn.

W_g D_f

<-1;1> R

1. h(x) =

zewn. f(x) =

wewn. g(x) = x² – 3x + 2

1. h(x) = 5^{3x + 1}

zewn. f(x) = 5^x

wewn. g(x) = 3x + 2

1. h(x) = log_0.5(x² + 7)

zewn. f(x) = log₂ x

wewn. g(x) = x² + 7