MATEMATYKA – WYKŁADY.

Wykład z dnia 27.11.2010 r.

Liczbę g nazywamy granicą funkcji w + ∞ ( - ∞) wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego ciągu X_n mającego granicę w + ∞ (- ∞) odpowiadającym ciąg wartości ma granicę równą g .

Mówimy , że granica funkcji f w + ∞ (- ∞) jest niewłaściwa równa + ∞ (- ∞) wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego ciągu X_n w + ∞ (- ∞) odpowiadającym mu ciąg wartości f(x) ma granice niewłaściwą w + ∞ (- ∞).

Np.:

lim (3 + x²)

1. p + ∞ = ∞

wtedy, gdy p jest dowolną liczbą rzeczywistą lub jest równą + ∞

p jest dowolną liczbą rzeczywistą

1. p^∞ = 0

gdy p^∞ = 0 0 < p < 1

1. p ∙ ∞ = + ∞

p ∙ ∞ = - ∞

0⁺ - liczby dowolnie małe ale większe od zera

Np.:

p > 0

Wyrażenia nieoznaczone.

1. ∞ - ∞

2. 0 ∙ ∞

5. 1^∞

6. ∞⁰

7. 0⁰

Funkcje ciągłe.

Funkcje elementarne.

W zastosowaniach ekonomicznych zdecydowana większość rozważanych funkcji to tzw. funkcje elementarne. Są nimi:

• Wielomianowe

Np.:

f(x) = x³ + 3x² – 7

f(x) = 2x² + 3x – 1

f(x) = x – 1

f(x) = 5

• Niewymierne

Np:

f(x) =

• Trygonometryczne

Np:

f(x) = sinx

• Wykładnicze

Np:

f(x) = 2^x

f(x) = (^x

• Logarytmiczne

Np:

f(x) = log₂ x

f(x) = ln x

• Sumy, różnicy, iloczyny, ilorazy, złożenia funkcji elementarnych są funkcjami elementarnymi

Funkcję f określoną w pewnym otoczonym punkcie X₀ nazywamy ciągłą w punkcie X₀ wtedy i tylko wtedy gdy funkcja f ma granicę w tym punkcie oraz ta granica jest równa wartości funkcji w tym punkcie .

1. Istnieje granica funkcji f w punkcie X₀

Funkcję f nazywamy ciągłą w zbiorze A (dziedzinie) wtedy i tylko wtedy gdy jest ciągłą w każdym punkcie tego zbioru ( w każdym punkcie dziedziny).

Każda funkcja elementarna jest ciągła w całej swojej dziedzinie , w każdym punkcie dziedziny.

Zad. 1

Zbadać czy funkcja f określona wzorem

1. x² + 1 dla x ≤ 0

f(x) = 1 –x dla 0 < x ≤ 1

dla x > 1

jest ciągła w swojej dziedzinie.

D_f = R X₀ = 0 x₀^’ = 1

dla x < 0

f(x) = x² + 1

jest ciągła jako funkcja elementarna

dla 0 < x < 1

f(x) = 1 – x

jest ciągła jako funkcja elementarna

dla x > 1

f(x) =

jest ciągła jako funkcja elementarna

Zbadamy z definicji ciągłość funkcji f w punktach X₀ = 0 oraz X₀^’ = 1

0 ^- - lewa strona zera

0⁺ - prawa strona zera

1. f(0) = 1

2. funkcja f nie jest ciągła w punkcie X₀^’ = 1bo nie istnieje granica funkcji w tym

punkcie

1. x² + 2x dla x ≤ 1

f(x) = 4 –x dla 1 < x < 2

dla x ≥ 2

D_f = R X₀ = 1 X₀^’ = 2

dla x < 1

f(x) = x² + 2x

jest ciągła jako funkcja elementarna

dla 1 < x < 2

f(x) = 4 – x

jest ciągła jako funkcja elementarna

dla x > 2

f(x) =

jest ciągła jako funkcja elementarna

1. granica funkcji w 1 istnieje

2. granica funkcji w 2 nie istnieje

Z ciągłości funkcji elementarnych wynika prosty algorytm obliczenia granicy funkcji w punkcie należącym do jej dziedziny:

Zamiast liczyć granicę funkcji w punkcie wystarczy obliczyć wartość funkcji w tym punkcie.

Ważne znaczenie odgrywają dwie własności funkcji ciągłych w przedziale:

1. Jeśli funkcja f jest ciągła <a, b> oraz na krańcach przedziału przyjmuje wartości różnych znaków to w przedziale (a, b) istnieje przynajmniej jeden punkt X₀ których wartość funkcji jest równa 0 .

Własność tą wykorzystujemy w przybliżonym rozwiązywaniu równań.

Np.:

Zbadaj czy równanie ma rozwiązanie w przedziale < -2 , 1 >

x³ + 3x = 1

x³ + 3x – 1 = 0

f(x) = x³ + 3x – 1

<-2 , 1>

Jest ciągła jako funkcja elementarna

f(-2) = -8-6-1 = -15 < 0

f(1) = 1+3 – 1 = 3 > 0

w przedziale (-2, 1) co najmniej jeden punkt f(x) = 0 posiada wartości różnych znaków

1. Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale (a, b) to przyjmuje w przedziale wartość największą i najmniejszą.

Pochodna funkcji.

Niech funkcja f będzie funkcją ciągłą w pewnym otoczeniu punktu X₀ , niech ∆x oznacza przyrost argumentu zaś ∆f przyrost wartości funkcji odpowiadającemu wzrostowi ∆x.

Iloraz przyrostowy nazywamy ilorazem funkcji f w punkcie X₀ .

Iloraz różnicowy oznacza średnią zmianę wartości funkcji odpowiadającemu zmianie argumentów 0 ∆x.

Granica ilorazu różnicowego skończona przy ∆x → 0 nazywa się pochodną funkcji w punkcie X₀ .

Symbolicznie zapisujemy pochodną w następujący sposób:

Funkcję f która ma pochodną w punkcie X₀ nazywamy różniczkowaną w punkcie X₀ zaś operacją wyznaczania pochodnej nazywamy różniczkowaniem funkcji.

Załóżmy że funkcja f ma pochodną w każdym punkcie X z przedziału (a, b) i przyporządkowuje każdą liczbę X z przedziału (a, b) . Liczbę f’(x) pochodną w tym punkcie otrzymamy funkcję ,którą nazywamy pochodną funkcji ( krótką pochodną funkcji) .

f ‘ : x → f ‘ (x)

1. X₀ = 0 , X₀^’ = 1

D_f = R

R / { 1 }

Nie jest ciągła w całej swojej dziedzinie.

Zad. 1

Korzystając z definicji obliczyć pochodną funkcji.

1. f(x) = 2x + 3 X₀ = 1

2. f(x) = x² + 3x – 7 X₀ = 2

Rachunek pochodnych reguły różniczkowania pochodnej:

1. pochodne ważniejszych funkcji

1. f(x) = c , f ‘(x) = 0 , f(x) = 3 , f ‘ (x) = 0

f (3) ‘ = 0

1. f(x) = xⁿ , f ‘ (x) = nx^n-1

f (x) = x³ , f ‘ (x) = 3x²

f (x) = x⁹ , f ‘ (x) = 9x⁸

f (x) = x^-4 , f ‘ (x) = -4x^-5

f (x) = , f ‘ (x) =

1. f(x) = a^x , f ‘ (x) = a^x ∙ ln a

np:

f(x) = 3^x , f ‘(x) = 3^x ∙ ln3

1. f(x) = lnx , f ‘(x) =

2. f(x) = sinx , f ‘ (x) = cosx

3. f(x) = cosx , f ‘ (x) = - sinx

1. jeżeli funkcje f I g są różniczkowane w zbiorze X to dla dowolnego X mamy:

1. (f (x) + g(x) )’ = f ‘(x) + g ‘(x)

Np.:

(3 + x⁷ )’= (3)’ + (x⁷)’= 0 + 7x⁶

Np.:

(x² + x^-3 + 1 )’ = (x²)’ + (x³)’ + (1)’ = 2x – 3x⁴

1. ( f(x) – g(x) )’ = f ‘(x) – g ‘ (x)

Np.:

(x⁴ – sinx)’ = 4x³ – cosx

Np.:

(x⁸ + x⁴ – 2)’ = (x⁸)’ + (x⁴)’ – (2)’ = 8x⁷ + 4x³ – 0

1. (f (x) ∙ g(x) )’ = f ‘ (x) ∙ g(x) + f(x) ∙ g ‘(x)

(c ∙ f(x) )’ = c ∙ (f (x))’ = c ∙ f ‘ (x)

Np:

(2x⁷)’ = 2 ∙ (x⁷)’ = 2 ∙ 7x⁶ = 14x⁶

Np:

(-3x⁴)’ = - 12x³

Np:

f(x) = (x² + 3x + 2) ∙ (x⁴ + 3x – 1)

f ‘ (x) = (x² + 3x + 2)’ ∙ (x⁴ + 3x – 1) + (x² + 3x + 2) ∙ (x⁴ + 3x – 1)’ = (2x + 3) ∙ (x⁴ + 3x – 1)+ (x² +3x +2) ∙ (4x³ + 3)

(x)’ = 1

1∙x^1-1 = 1 ∙ 1 = 1

(xⁿ)’ = nx^n-1

Np.:

Zad. 1

Obliczyć f ‘ .

1. f(x) = 4x⁷ – 6x + 2

f ‘ (x) = 28x⁶ – 6

1. f(x) = 5x³ - + 3^x

f ‘ (x) = 15x² - + 3 ∙ ln3

1. f(x) =

f ‘ (x) = x^-1 + 2^x ∙ln2 - + cosx = 1 ∙ x ^-2 + 2^x ln2 - x+ cosx

x ^-1 =

1. f (x) =

f ‘ (x) =

1. f(x) = x lnx

f ‘ (x) = x ‘ lnx + x ( lnx)’= lnx + x ∙ = lnx + 1

1. f(x) =

f ‘ (x) =

f ‘ (x) = 1

1. f(x) = e^x (x³ +

f ‘ (x) = (e^x)’ ∙ (x³ + )+ e^x ∙ (x³ + )’ = e^x (x³ + )+ e^x ∙ (3x² – 2x ^-3)

f(x) = a^x , f ‘(x) = a^x lna

f(x) = e^Y , f ‘(x) = e^x lne = e^x

f(x) = e^x , f ‘ (x) = e^x

1. f(x) = tgx =

f ‘ (x) = (tgx) = =

Pochodna funkcji złożonej.

Jeśli funkcja f ma pochodną w punkcie X₀ a funkcja g ma pochodną w punkcie f(X₀) to funkcja złożona ma pochodną w punkcie X₀ daną wzorem:

[ g (f (X₀) ) ]’ = g’ (f (X₀)) ∙ f ‘ (X₀))

Jeżeli powyższe zachodzi dla każdego x ϵ X to pochodna wyraża się wzorem:

[g( f(x))]’ = g (f(x)) ∙ f ‘ (x)

Np.:

Zad. 1

Obliczyć.

h ‘ (x)

1. h (x) = (x³ + 3x² – 6x + 3)⁹

g (x) = x⁹ – zewn.

f(x) = x³+3x² – 6x +3 – wewn.

h(x) = g (f(x))

wzór na pochodną funkcji

g ‘ (x) = 9x⁸

f ‘ (x) = 3x² + 6x – 6

h ‘(x) = 9 (x³ + 3x² – 6x + 3)⁸ ∙ (3x² + 6x – 6)

1. h(x) =

g(x) = - zewn.

f(x) = x⁴ + 3x² + 5 – wewn.

[ g (f(x)) ]’ = g ‘ (f(x)) ∙ f ‘ (x)

Druga pochodna (pochodna drugiego rzędu).

Jeżeli pochodna funkcji f istnieje w każdym punkcie pewnego przedziału i również jest funkcją różniczkowaną w tym przedziale to jej pochodną nazywamy pochodną drugiego rzędu (drugą pochodną) i oznaczamy :

f ‘’ (x) = [ f ‘(x)]

np.:

Zad. 1

Obliczyć f ‘’ .

1. f(x) = 7x⁴ – 3x⁵ + 6x -2

f ‘ (x) = 28x³ – 15x⁴ + 6

f ‘’ (x) = 84x² – 15 ∙ 4x³ = 84x² – 60 x²

1. f(x) =

f ‘ (x) =

[(x² – 1)²]’ =

Zewn. g(x) = x² , g’(x) = 2x

Wewn. f(x) = x² – 1 , f ‘ (x) = 2x

[g (f(x))]’ = 2∙ (-1)∙ 2x = 4x (x² – 1)