MATEMATYKA – WYKŁADY .

Wykład z 6.11.2010 r.

CIĄGI .

1.Ciągi liczbowe.

f: N → R

każdą funkcję odwzorowuje

Ciąg można określać za pomocą wzoru ogólnego: f(n) = .

f(1) = 1

f(2) =

Wartości funkcji to wyrazy ciągu i zapisywać je będziemy w następujący sposób:

a_n = - wzór na ogólny wyraz ciągu

f(1) = 1 , a₁ = 1

f(2) = , a₂ =

a_n = (-1)ⁿ wzór na ogólny wyraz ciągu

a_n = wzór na ogólny wyraz ciągu

a_n =

a_n =

Wykresem ciągu jest zbiór izolowanych punktów 1 lub 4 ćwiartki układu współrzędnych.

W przypadku ciągu o wyrazie ogólnym a_n = , zauważymy że im dłużej wypisujemy jego wyrazy tym bardziej są one blisko liczby Z . Taki ciąg jest zbieżny od zera i ten fakt zapisujemy następująco:

lim ( ) = 0

n → ∞

(limes (granica) przy n dążącym do nieskończoności ciąg o wyrazie wynosi 0 ).

W przypadku ciągu o wyrazie ogólnym a_n ,gdy wypisując coraz dalsze jego wyrazy zauważymy ,że są one coraz bliższe pewnej liczby g (coraz mniej różnią się od g) , mówimy wtedy, że taki ciąg jest zbieżny do g . Istnieje granica właściwa tego ciągu równa g.

lim a_n = g

n → ∞

Zadanie 1.

Rozważmy ciąg o wyrazie ogólnym.

1. a_n = (-1)ⁿ ∙

a₁₀ = (-1)¹⁰ ∙ =

a₁₁ = -

a₁₂ =

a₁₃ = -

.

.

.

a₁₀₀ =

a₁₀₀₁ = -

lim (-1)ⁿ ∙ = 0

n → ∞

1. a_n =

a₁₀₀ =

.

.

.

a₁₀₀₀ =

lim = 1

n → ∞

2.Ważniejsze twierdzenia dotyczące wyrażeń ciągu.

1) Ciąg stały o wyrazie ogólnym a_n = a

lim a_n = a

n → ∞

granica ciągu istnieje przy n dążącym do nieskończoności ,jest właściwa i równa a.

np.:

a_n = 2

lim a_n = 2

n → ∞

2) Jeżeli ciąg a_n ma granicę równą a i a jest liczbą nieujemną to ciąg o wyrazie ogólnym a_n = ma granicę równą

lim =

np:

a_n =

lim = 0

lim = = 0

n → ∞

np.:

a_n =

lim = 1

lim= = 1

n → ∞

3) O działaniach arytmetycznych na granicach ciągów zbieżnych.

Jeżeli ciąg a_n jest zbieżny do a.

lim a_n = a

n → ∞

i lim b_n = b

n → ∞

to zachodzą następujące warunki :

1. granica sumy ciągów jest równa sumie granic tych ciągów

lim (a_n + b_n) = lim a_n + lim b_n = a + b

n → ∞ n → ∞ n → ∞

1. granica różnicy ciągów jest równa różnicom granic tych ciągów

lim (a_n – b_n) = lim a_n – lim b_n = a – b

n →∞ n →∞ n→ ∞

1. granica iloczynu ciągów jest równa iloczynom granic tych ciągów

lim (a_n ∙ b_n) = lim a_n ∙ lim b_n = a ∙ b

n→∞ n→ ∞ n→∞

1. granica ilorazu ciągów jest równa ilorazom granic tych ciągów

lim ( ) = = ; b0

przykłady:

ad. A)

lim (+ 3) = lim+ lim 3 = 0 +3 = 3

n → ∞ n → ∞ n → ∞

ad. B)

lim ( - 7) = lim - lim 7 = 1-7 = -6

n → ∞ n → ∞ n → ∞

ad. C)

lim (5 ∙ ) = 5∙ 0= 0

n → ∞

ad. D)

lim () = 0

n → ∞

lim = lim ( ∙) = 0

n → ∞ n→ ∞

ad. D)

lim = lim = = 0

n → ∞ n → ∞

Wskazówka.

W przypadku gdy ogólny wyraz ciągu jest ilorazem dwóch wielomianów należy wyłączyć przed nawias najwyższą potęgę n_a z mianownika tę samą potęgę bez względu na to czy występuje wyłączyć z licznika.

Np.:

0 0

↑ ↑

lim = lim = = 1

n →∞ ↓ ↓

1. 0

Np.:

0 0 0

↑ ↑ ↑

lim = lim = = 0

n → ∞ ↓ ↓ ↓

0 0 0

4) Jeżeli a > 0 to ciąg a_n = jest zbieżny do 1.

lim = 1

n → ∞

np.:

lim = 1

n → ∞

5) Granica ciągu lim = 0

n → ∞

a ϵ R , k > 0

np.:

lim = 0

n → ∞

lim ()ⁿ = 0

n → ∞

lim aⁿ = 0 , dla I a I < 0

-1 < a < 1

Mówimy wtedy o ciągu a_n posiadającym granicę właściwą g jest zbieżny do drugiego.

3. Ciągi rozbieżne.

To + ∞ i (- ∞).

a_n = n

lim n = + ∞

n → ∞

lim – n² a_n = - n²

n → ∞

O ciągu a_n mówimy , że jest rozbieżny do +∞ , ma granicę niewłaściwą + ∞ wtedy, gdy jego wyrazy rosną w sposób nieograniczony tzn. prawie wszystkie jego wyrazy są większe od dowolnej dobranej liczby.

Ciąg a_n jest rozbieżny do - ∞ (ma granicę właściwą - ∞) wtedy, gdy jego wyrazy maleją w sposób nieograniczony , tzn. prawie wszystkie wyrazy są mniejsze od dowolnej wybranej liczby.

lim n = + ∞

n → ∞

N = 70

4.Twierdzenia związane z granicami niewłaściwymi ciągu.

1) Jeżeli ciąg a_n jest zbieżny do 0 i jego wyrazy są dodatnie to ciąg jest rozbieżny do + ∞ .

lim a_n = 0 i a_n > 0 , to lim = +∞

n → ∞

np:

lim = 0

n → ∞

lim = lim : n = +∞

Jeżeli ciąg a_n jest zbieżny do 0 I jego wyrazy są ujemne , to ciąg jest rozbieżny do - ∞ .

Np.:

lim (- ) = 0

lim = lim (-n) = - ∞

n → ∞

2) Jeżeli lim a_n = + ∞

n → ∞

lim b_n = +∞ , to a_n → + ∞ , b_n → + ∞

• lim a i b_n = + ∞

n → ∞

• lim (a_n + b_n) = + ∞

n → ∞

(+ ∞) – (+ ∞)

Symbole nierównoważności ∞ - ∞ ,

3) Jeżeli lim a_n = + ∞ i lim b_n = b

n → ∞ n → ∞

1. b > 0 , to lim a_nb_n = + ∞

2. b < 0 , to lim a_nb_n = - ∞

3. b = 0

granicy iloczynu tych ciągów nie można ustalić

zadanie 1.

Oblicz granicę następujących ciągów :

1. lim (2n⁴ – 3n³ – 2n² + 1) =

n → ∞

1. lim (-n³ + 3n – 7) = lim n³( -1 + - ) = + ∞ ∙ (-1) = - ∞ = lim n³ = + ∞

n → ∞

1. lim = lim = lim (5n + 2) = + ∞

n → ∞

1. lim = lim == - ∞

n → ∞

lim (2n³ + 3n) = lim n³ (2 + ()) = + ∞

zadanie 2.

Oblicz granice następujących ciągów:

1. a_n = = lim = 1

2. a_n = = lim =

3. a_n = = lim = 0

4. a_n = = lim ;

* lim

1. a_n = = lim

* lim

1. a_n =

*

1. a_n =

Granica funkcji:

f(x) = f(x)= x² – 2x

D_f = R I{1} D_f = R

5.Granice jednostronne funkcji : lewostronne (prawostronne) funkcji.

Granica lewostronna.

lim f(x)

x → x₀

1. Granicę lewostronną (prawostronną) funkcji można określić w punkcie x₀ należącą do dziedziny funkcji lub też nie należącą , ale tak że funkcja ta jest określona lewostronnym (prawostronnym) x₀ .

Chcąc określić granicę lewostronną w punkcie x₀ konstruujemy ciąg argumentów z lewostronnym sąsiedztwem x₀ coraz bliższych x₀ i obserwujemy jak zachowują się wartości funkcji.

Może zdarzyć się jedna z sytuacji jak wartości tej funkcji są coraz bliższe liczby g .

Mówimy wówczas , że granica lewostronna funkcji f w punkcie x₀ jest właściwa i równa g , fakt ten zapisujemy następująco:

lim f(x) = g

x → x^-₀

1. Wartości funkcji rosną w sposób nieograniczony mówimy wówczas, że granica lewostronna funkcji f w punkcie X₀ jest niewłaściwa i równa + ∞ .

lim f(x) = +∞

x → x^-₀

1. Wartości funkcji maleją w sposób nieograniczony mówimy wówczas, że granica lewostronna funkcji f w punkcie Y₀ jest niewłaściwa i równa - ∞ .

lim f(x) = - ∞

x →x^-₀

zadanie 1.

1. Rozważmy funkcję f(x) = ,

D_f = RI {1}

Zbadamy granicę lewostronną w punkcie X₀=1 .

Zauważmy ,że X₀ nie należy do dziedziny funkcji f.

Ale funkcja f jest podkreślona lewostronnie i prawostronnie w sąsiedztwie tego punktu.

Skonstruujemy ciąg argumentów z lewostronnego sąsiedztwa X₀ coraz bliższych 1.

Będziemy obserwować jak zachowują się wartości funkcji.

X₁= 0,9 ; f(x₁) =

X₂= 0,99 ; f(x₂) =

X₃ = 0,999 ; f(x₃) =

X₄ = 0,9999 ; f(x₄) =

Wartości funkcji maleją w sposób nieograniczony.

lim

Granica lewostronna jest niewłaściwa i równa - ∞ .

1. f(x) = x² – 2x

D_f = R

Zbadamy istnienie tej funkcji w punkcie X₀ = 2.

Konstruujemy ciąg argumentów lewostronnego sąsiedztwa coraz bliższych 2.

Obserwacje:

X₁ = 1,9

X₂ = 1,99

X₃ = 1,999

Granica lewostronna funkcji f w punkcie X₀ = 2 istnieje i jest właściwa i równa 0 .

lim (x² – 2x) = 0

Granica prawostronna.

Analogicznie określamy i badamy istnienie granicy prawostronnej funkcji f w punkcie X₀ .

lim f(x)

x → X₀

X₁ = 1,1 ; f(x₁) =

X₂ = 1,01 ; f(x₂) = = 101

X₃ = 1,001 ; f(x₃) =

Wartości rosną w sposób nieograniczony .

Granica prawostronna:

f(x) = x² – 2x X₀ = 2

lim (x² – 2x)

x₀ → 2⁺

Jeśli w jakimś punkcie granica jest równa prawostronnej to mówimy, że funkcja f ma w punkcie X₀ granicę równą g .

x → x₀⁺

Np.:

lim (x² – 2x) = lim (x² – 2x) = 0

lim (x² – 2x) = 0

x → 2

Natomiast w przypadku gdy granica lewostronna i prawostronna są różne mówimy , że nie istnieje granica funkcji f w punkcie X₀ .

Lim f(x) lim f(x)

x → x^-₀ x → x⁺₀

6.Granica funkcji w punkcie.

• lim (2x² + 3x – 1) = 4

x →1

• lim

x → 2

• lim (x³ – 4x² + 3x) = 0

x → 1

• lim (x² + x – 2) = 0

x → 1

lim

x →1 x→ 1 x → 1 x → 1

Chcąc policzyć granice funkcji w punkcie X₀ należy policzyć o ile to możliwe wartości funkcji w punkcie X₀ .

W przypadku gdy obliczenie wartości funkcji nie jest możliwe np. zajmuje się mianownik to wówczas stosujemy wzory skróconego mnożenia wykorzystując wartości odpowiedniej funkcji , przekształcamy ją do postaci równoważnej do momentu aż policzenie wartości będzie możliwe.