MATEMATYKA – ĆWICZENIA.

Ćwiczenia z dnia 5.11 i 6.11.2010 r.

FUNKCJA

Funkcja jednej zmiennej i jej własności .

A x B = { (a, b) } , a ϵ A i b ϵ B }

R x Ʀ = { (x, y) : x ϵ R , y ϵ R } - (płaszczyzna)

R x R x R = { (x, y, z) , x ϵ R , y ϵ R , z ϵ R } - (przestrzeń)

R¹ – prosta

f: X → Y

x ϵ X → f(x) ϵ Y

X , Y – zbiory liczbowe

Zad. 1

Dana jest funkcja

f: x → x³ – 2x² + x – 3 , x ϵ R

Oblicz:

1. f ( - z)

f ( - z) = ( - z)³ – 2(-z)² – z – 3 = - z³ + 2z² – z - 3

1. f (3t)

f(3t) = (3t)³ – 2(3t)² + 3t – 3 = 27t³ – 18t² + 3t - 3

1. f (x+1)

f(x+1) = (x+1)³ – 2(x+1)² + (x+1) – 3 = x³ + 3x² + 3x + 1 – 2(x² + 2x + 1) + x+1 – 3 = x³ + 3x² + 3x + 1 – 2x² – 4x – 2 + x+1 – 3 = x³ + x² – 3

1. f (2a – 3)

f(2a-3) = (2a – 3)³ – 2(2a -3)² + (2a – 3) – 3 = (8a³ – 3 ∙ 4a² ∙ (-3) + 3 ∙ 2a ∙ (-3)² – 27) – 2 (4a² – 6a + 9 ) + 2a – 3 – 3 = 8a³ – 36a² + 6a + 54a – 27 – 8a² + 12a – 18 +2a – 3 – 3 = 8a³ – 44a² + 80a – 51

Zad. 2

Niech: log (1 –x) , x < 1

f(x) , 1 < x < 3

- 2 ^{x – 4} , x ≥ 3

Oblicz:

1. f (-99)

f(-99) = log (1+99) = log 100 = 2

1. f(10)

f(10) = -2 ^{10 – 4} = -2⁶ = 64

1. f(0)

f(0) = log (1 – 0) = log 1 = 0

1. f(2)

f(2) =

1. f(3)

f(3) = -2^{3 – 4} = -2^-1 = -

Wyznaczenie dziedziny funkcji – sytuacje w których dziedzina funkcji jest ograniczona .

1. , wtedy f(x) ≠ 0

2. , wtedy f(x) ≥ 0

3. , wtedy f(x) > 0

4. log ( f(x) ) , wtedy f(x) > 0

5. tg ( f(x) ) , wtedy f(x) ≠ + k∏ , k ϵ C

6. ctg ( f(x) ) , wtedy f(x) ≠ k∏ , k ϵ C

Zad. 1

Wyznacz dziedzinę funkcji :

Funkcja złożona . Składanie funkcji .

f: X → Y

g: Y → Z

g ○ f : X → Z

(g ○ f) (x) = g (f(x)) → f. wewnętrzna

↓

f. zewnętrzna

Zbiór wartości funkcji wewnętrznej musi zawierać się w dziedzinie funkcji zewnętrznej .

Zad. 1

Znajdź złożenia :

f ( f(x) ) , f (g(x) ) , g ( f(x) ) , g (g (x) )

zakładając że są one możliwe:

1. f(x) = 2x³ , g(x) = cos x

2. f(x) = log₂ x , g(x) = 2 ^–x wskazówka: log_a b = c a ^c = b a ^log_a b = b

f (f(x) ) = log₂ (log₂ x)

f (g(x) ) = log₂ 2 ^–x = - x log₂ 2 = -x

g (f(x) ) = 2 ^{– log}₂ ^x =

g (g(x) ) = 2 – ^{2 – x}

Zad. 2

Z jakich funkcji złożona jest dana funkcja .

1. f(x) = (2 – x² )⁴

wewn. = 2 – x² , zewn. = x⁴ , z ( w(x) )

1. f(x) =

wewn. = 1 + x , zewn. = x⁵ , , t ( z ( w(x) ) )

1. f(x) = log ( tg (x³ – 1) )

wewn. = x³ – 1 , zewn. = tgx ,t = logx , t ( z ( w(x) ) )

1. f(x) =

wewn. = 2x – 1 , zewn. = x⁵ , t= 3^x , t ( z (w (x) ) )

wewn. = x² – 1 , zewn. = , t= cosx , s = x⁷ , s ( t ( z ( w(x) ) ) )

Zad. 3

Niech dane będą funkcje:

f(x) = x² , g(x) = x + 1

gdzie x ϵ R

poniższe funkcje wyraź za pomocą złożeń funkcji f ◦ g .

1. h(x) = x² + 1

g ( f(x) )

1. h(x) = (x² + 1) ²

f ( g ( f(x) ) )

1. h(x) = x² + 2

g ( g ( f(x) ) )

1. h(x) = (x + 1)²

f ( g(x) )

1. h(x) = x + 2

g ( g(x) )

1. h(x) = x⁴

f ( f(x) )

Monotoniczność funkcji.

f: X → Y jest rosnąca [ x₁ < x₂ f (x₁) < f (x₂) ]

f: X → Y jest malejąca [ x₁ < x₂ f (x₁) > f (x₂) ]

f (x₁) – f(x₂) < 0

Zad. 1

Zbadaj monotoniczność funkcji .

1. dla x ϵ ( 0 , +∞)

Weźmy x₁ , x₂ ϵ ( 0 , + ∞) i takie , że x₁ < x₂

f(x₁) – f(x₂) = > 0

D_f = (-∞, 0) (0, +∞)

f(x₁) – f(x₂) > 0

stąd

f (x₁) > f (x₂)

funkcja malejąca

1. f(x) = 3 ^x+2 – 1

f(x₁) – f(x₂) = 3 ^x₁⁺² – 1 – 3 ^x₂⁺² – 1 = 3 ^x₁⁺² – 3 ^x₂⁺² < 0

funkcja rosnąca

1. , x ≠ -1

x ϵ ( - ∞ , -1) ( -1 , + ∞)

x₁ , x₂ ϵ ( - ∞, -1) i niech x₁ < x₂

f(x₁) – f(x₂) =

funkcja malejąca w przedziale ( - ∞ , -1) , (-1 , +∞)

Różnowartościowość funkcji.

f: X → Y jest 1-1 [x₁ ≠ x₂ f(x₁) ≠ f (x₂) ]

równoważnie : [ f (x₁) = f (x₂) x₁ = x₂ ]

Zad. 1

Sprawdź różnowartościowość funkcji.

1. , x ≠2

Niech x₁ , x₂ ϵ D_f oraz f(x₁) = f(x₂)

(x₁ + 1)(x₂ – 2) = (x₂ + 1)(x₁ – 2) – x₁x₂ – 2x₁ +x₂ – 2 = x₁x₂ – 2x₂ + x₁ – 2

-3x₁ = -3x₂ / : (-3)

x₁ = x₂

1. funkcja różnowartościowa

1. f(x) = x² – 10 , x ϵ R

x₁² – 10 = x₂² – 10

x₁² = x₂²

x₁² ≠ x₂²

nie jest 1-1

Funkcja „ na” .

f: jest typowa „na” y = f(x)

Zad. 1

Która z poniższych funkcji jest różnowartościowa a która jest typu „na”.

f: R → R

1. f(x) = 5^x (wykładnicza, rosnąca)

   1. różnowartościowa

nie jest „na”

1. f(x) = x² + 8

nie jest 1-1

nie jest „ na”

1. f(x) = x³

jest 1-1 różnowartościowa

jest „na”

1. f(x) = sinx

nie jest 1-1

nie jest „na”

1. f(x)= , x ≠ 1

1. , x = 1

f(1) = 0 = f (- )

y = f(x)

y = / ∙ (x – 1)

y ∙ (x – 1) = 2x + 1

yx – y = 2x + 1

yx – 2x = y + 1

x (y – 2) = y + 1 / : (y – 2)

zał. y – 2 ≠ 0

nie jest 1-1

nie jest “na” bo x nie istnieje dla y = 2

dla y ≠ 2

Funkcja odwrotna (ozn. f^-1)

f:

f ^-1:

y = f (x)

x = f ^-1 (y)

Zad. 1

Znajdź funkcję odwrotną (jeżeli istnieje) .

1. f(x) = 2x + 3

y = 2x + 3

y – 3 = 2x / : 2

x =

f ^-1 (y) =

1. f(x) = x⁵

y = x⁵ /

1. f(x) =

/ ³

y³ = 4x

x =

1. f(x) = dla x ϵ < -1 , 0>

dla x ϵ < -1, 0 >

y² = 1 – x²

x² = 1 – y²

lub x = -

bo <-1 , 0>

, y ϵ <0 , 1>

1. f(x) = 2^x – 2

y + 2 = 2^x

logarytmujemy stronami

y + 2 = 2^x / log ₂

log ₂ (y + 2) = log ₂ 2 ^x (zakł. y + 2 > 0 )

log ₂ (y + 2) = x ∙ log ₂ 2

log ₂ (y + 2) = x ∙ 1

x = log ₂ (y + 2)

f ^-1 (y) = log ₂ (y + 2)

1. f(x) = 1 – log₄ x , x > 0

y = 1 – log ₄ x , x > 0

log ₄ x = 1 – y

z definicji logarytmu:

log _a b = c a^c = b ( zał. b > 0 , a > 0 , a ≠ 1)

x = 4 ^{1- y}

f ^-1( y) = 4 ^{1 –y}

1. f(x) = , x ≠ -1

f^-1 (y) = , y ≠ -1

1. f(x) = 10^{x +1}

y = 10 ^{x +1} / log ₁₀

log y = log 10 ^{x +1}

log y = x + 1 ∙ 1

log y = x + 1

x = log y – 1

f ^-1 (y) = log y – 1

Funkcja parzysta / nieparzysta :

f: X → Y jest parzysta [ -x ϵ X i f( - x) = f (x) ]

f: X → Y jest nieparzysta [ -x ϵ X i f (-x) = - f (x) ]

Zad. 1

Zbadaj parzystość / nieparzystość funkcji :

1. f(x) = I x I ∙ x

weźmy -x ϵ D_f i wtedy

f(-x) = I –x I ∙ (-x) = - I x I x = -f (x)

f (-x) = - f(x)

funkcja nieparzysta

1. f(x) = x⁶ – 7x⁴ + 5x² – 2

weźmy –x ϵ D_f i wtedy

f (-x) = (-x)⁶ – 7(-x)⁴ + 5 (-x)² -2 = x⁶ -7x⁴ + 5x² -2

f (-x) = f(x)

funkcja parzysta

1. f(x) = -x² + 2x -5

weźmy –x ϵ D_f i wtedy

f (-x) = - (-x)² + 2 (-x) -5 = -x² -2x -5 ≠ f(x) ≠ -f(x)

funkcja ani nieparzysta , ani parzysta

1. f(x) = 200

f(-x) = 200 = f(x)

funkcja parzysta

1. f(x) = 0

f(-x) = 0 = f(x)

-f (x) = -0 = 0

Funkcja jest parzysta i nieparzysta

1. f(x) = 3x⁵ + 2x³ – x

f(-x) = 3(-x)⁵ + 2 (-x)³ – (-x)

f(-x) = -3x⁵ -2x³ + x

f (-x) = -f (x)

funkcja nieparzysta

Wykres funkcji .

(x , f(x) )

1. f (x – p) [ p, 0 ]

2. f(x) + q [0, q ]

3. f (x – p) + q [p, q ]

4. –f (x) [ OX ]

5. f (-x) [ OY ]

6. –f (-x) [ 0, 0 ]

7. I f(x) I – część wykresu poniżej osi OX odbijamy względem tej osi reszta wykresu bez zmian

f(x) = I x I

f₁ (x) = x

f₂ (x) = I f₁ (x) I

f(x) = I x I

1. f ( I x I )

część wykresu po prawej stronie osi OY odbijamy względem tej osi i zastępujemy tym odbiciem tę część wykresu która była po lewej stronie , reszta wykresu bez zmian

Zad. 1

Narysuj wykres funkcji i na jego podstawie podaj jej najważniejsze własności .

1. f(x) = () ^{I x I}

1. f₁(x) =

2. f₂ (x) =

D_f = R

W_f = ( 0 , 1>

X₀ – brak

f. rosnąca dla x ϵ ( - ∞ , 0 )

f. malejąca dla x ϵ < 0 , + ∞)

nie jest 1-1

funkcja parzysta

1. f(x) = I Ix+1I -2 I

f(x) = I Ix+1I -2 I

f₁ (x) = x + 1

f₂ (x) = I f₁ (x) I

f₃ (x) : f₂ (x) [ 0, -2 ]

f₄ (x) = I f₃ (x) I

D_f = R

W_f = < 0, + ∞ )

X₀ = X₁ = -3 , x = -1

f ↗ x ϵ (-3, -1 ) , (1, + ∞)

f ↘ x ϵ (- ∞ , -3 ) , < -1 , 1 >

nie jest 1-1

funkcja ani parzysta , ani nieparzysta