MATEMATYKA – WYKŁADY.

Wykład z 2.10.2010 r.

LOGIKA .

1.Pojęcie zdania.

Zdanie w logice jest pojęciem pierwotnym .W klasycznej logice matematycznej zdaniom przypisuje się jedną z dwóch wartości logicznych : prawda (1) , fałsz (0).

Przykłady zdań:

1 < 2,

2 × 3 = 5,

3 jest liczbą parzystą.

Wyrażenia:

Czy jest pogoda ?

Niech żyje !

Jestem kłamcą.

Nie są zdaniami w sensie logiki.

2.Spójniki logiczne.

- koniunkcja - Ʌ , p Ʌ q (czytamy: p i q albo p oraz q),

- alternatywa – V , p V q (czytamy: p lub q ),

- implikacja - => , p => q (czytamy: jeśli p, to q),

- równoważność (ekwiwalencja) - , p q (czytamy: p wtedy i tylko wtedy , gdy q),

- negacja - ~ , ~ p (czytamy: nieprawda , że p).

Najważniejsze spójniki logiczne w klasycznej logice matematycznej podaje następująca tabela:

p	q	~ p	p Ʌ q	p V q	p => q	p q
1	1	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	0	0
0	1	1	0	1	1	0
0	0	1	0	0	1	1

3. Funkcje zdaniowe (warunki zdaniowe) .

X ≠ ø

Pusty zbiór X.

Wyrażenie Φ (x) nazywamy funkcją zdaniową zmienną X , jeżeli staje się ono zdaniem gdy w miejsce X podstawimy nazwę elementu ze zbioru X.

Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji zdaniowej . Mówimy, że element A ϵ X i spełnia funkcję zdania Φ (x) , jeżeli Φ (A) otrzymamy zdanie prawdziwe.

Np.

1. Φ (x) = 2x – 4 = 0

Φ (2).

1. Φ (x,y) = x² + y² = 0

Φ (0,0)

Funkcje zdaniowe podobnie jak zdania można łączyć spójnikami logicznymi.

Np.

Jeżeli Φ (x) Ʌ β (x).

Gdy mamy dwie funkcje to mówimy , że element A spełnia koniunkcje tych funkcji zdaniowych , jeśli spełnia

Φ (x) Ʌ β (x).

Zbiór wszystkich elementów spełniających koniunkcję dwóch funkcji zdaniowych jest częścią wspólną zbiorów elementów spełniających Φ (x) oraz β (x).

W przypadku alternatywy dwóch funkcji zdaniowych zbiór wszystkich elementów uzupełniających alternatywę nazywa się wspólną = sumą.

4. Kwantyfikatory .

To terminy przyjęte w matematyce na oznaczenie zbiorów:

1. Dla każdego X należącego do X () , (kwantyfikator ogólny),

2. Istnieje X należącego do X (∃) , (kwantyfikator szczegółowy).

P (x) – zasięg kwantyfikatora (wszystko co następuje po X).

Przykład:

Zapisz symbolicznie zdanie używając powyższych elementów języka.

1. Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny.

(x² > 0 V x² = 0)

X ϵ R

1. W zbiorze liczb naturalnych istnieje liczba najmniejsza.

∃ x > k

X ϵ N x ϵ N

ZBIORY . DZIAŁANIA NA ZBIORACH .

1. Zbiory .

Zbiór – pojęcie pierwotne , niedefiniowane .

Zbiory oznaczamy dużymi literami alfabetu: A , B , C , D .

a ϵ B , a B

Zbiory można podawać w następujący sposób:

1. A = { a,b,c}

B = { 0,2,4,6}

1. A = { x ϵ X ; y (x) }

Należy podawać warunek zdaniowy , które spełniają te elementy należące do A.

Np.:

A = { x=R : 2x + 3 ≤ 0 } = ( -∞; - >

Zbiory:

- pusty - Ø

- liczb naturalnych - N

- liczb całkowitych - Z

- liczb wymiernych - Q np. , (liczby w postaci ułamka).

- liczb niewymiernych - NQ

- liczb rzeczywistych – R

Zawieranie zbiorów określa następująca formuła :

A B (x ϵ A x ϵ B)

x

- inkluzja (zawieranie).

Równość zbiorów określa formuła:

A = B (x ϵ A x ϵ B)

A = B AB Ʌ B = A

Zbiory są równe , gdy mają równe elementy.

2.Działania na zbiorach .

1. suma

x ϵ A B x ϵ A v x ϵ B , A B = { x: x ϵ A v x ϵ B},

1. iloczyn

x ϵ A B x ϵ A Ʌ x ϵ B , A B = { x: x ϵ A Ʌ x ϵ B},

1. różnica

x ϵ x ϵ A Ʌ x B , = {x: x ϵ A Ʌ x B}

1. dopełnienie w przestrzeni X

x ϵ A’ x ϵ X : x A , A’ = {x ϵ X : x A}

Przykład 1:

Wyznacz A B , AB , , .

A : { x ϵ R :│ x-1│ < 2 }

B: { x ϵ R : x² – 4 ≤ 0 }

A : │x - 1│ < 2

- 2 > │ x - 1│ < 2

x – 1 > - 2

x < 3

x > -1

A = (-1,3)

B = <-2,2>

X² – 4 ≤ 0

x ϵ <-2;2>

A B = <-2;3)

A B = (-1;3)

= (-2;3)

= <-2; -1>

Przykład 2:
Wyznacz A B.

A = { (x, y) : x² + y² ≤ 4}

B = { (x, y) : y = 0 }

3.Własności działań .

- przemienność sumy i iloczynu

A B = B A , AB = BA

- łączność

(A B) C = A(B C) , (A B) C = A (B C)

- idempotentność

A A = A , A A = A

- rozdzielczość sumy względem iloczynu

A (B C) = (A B) (A C)

- rozdzielczość iloczynu względem sumy

A (B C) = (A B) (A C)

4.Iloczyn kartezjański zbiorów.

Gdy mamy dwa elementy A i B i interesuje nas ich kolejność występowania. Np.: A jest pierwszym a B – drugim.

To wówczas ten fakt w postaci nazywać będziemy:

(a, b) – para uporządkowana

a – poprzednik pary uporządkowanej

b – następnik pary uporządkowanej

Podstawową własność par: (a, b) = (c, d) nazywać będziemy równymi wtedy i tylko wtedy , gdy będą miały równe poprzedniki i równe następniki:

(a, b) = (c, d) ((a = c) Ʌ (b = d)

Iloczynem kartezjańskim zbiorów (A, B) A x B nazywamy zbiór wszystkich par uporządkowanych których poprzedniki należą do zbioru A zaś następniki do zbioru B.

A x B = {(a, b) : a ϵ A Ʌ b ϵ B}

Wykresem iloczynu kartezjańskiego zbiorów liczbowych a i b w układzie współrzędnym nazywamy zbiór punktów płaszczyzny które współrzędne należą do A x B.

Przykład 1:

A = {1,2,3} B = {-3,0}

A x B = { (1,-3) , (1,0) , (2,-3) , (2,0) , (3,-3) , (3,0) }

B x A = { (-3,1) , (0,1) , (-3,2) , (0,2) , (-3,3) , (0,3) }

A x B B x A

Przykład 2:

Sporządź wykres zbioru kartezjańskiego A I B gdy:

1. A = { x ϵ R : (x-1)(x-2) ≤ 0 } = <1;2>

B = { x ϵ R : 16 – x² ≥ 0 } = <-4;4>

1. A = { x ϵ R : x = (i² – 2i) }

B = <-1;1>

Ad. A)

A x B = { (x, y) : x ϵ <1;2> Ʌ y ϵ <-4;4> }

Ad. B)

B x A = { (x, y) : x ϵ <-1,1> Ʌ y ϵ {21} = { (x, y) : x ϵ <-1;1> Ʌ y = 21}

FUNKCJA .

1.Funkcja jednej zmiennej .

Funkcją określoną na zbiorze x R (będącym podzbiorem liczb rzeczywistych) zawartym w zbiorze Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi ze zbioru X dokładnie jednego elementu Y.

Funkcja zapisana symbolicznie: f: X → Y .

Wartość funkcji f w punkcie X zapisujemy f(x).

Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy D_f .

Dowolny element należący do dziedziny nazywamy argumentem.

Zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną funkcji .

Zbiór W_f będący podzbiorem przeciwdziedziny nazywamy zbiorem wartości funkcji i definiować będziemy go następująco:

W_f = { y ϵ Y : y = f(x) }

↑

Elementy z przeciwdziedziny, które są wartościami funkcji f

Przykład:

Wyznacz W_f .

f: R → R

1. Dziedzina funkcji f(x) =

2. f(x) =

3. f (x) = log (2x+3)

4. f (x) = +

Jeśli funkcja dana jest wzorem to jej dziedzinę tworzą wszystkie liczby, które mają sens (są wykonalne) działania podane we wzorze definicji:

f (x) =

ad. A)

x 1

D_f =

ad. B)

x² – 1 ≥ 0

x² ≥ 1

D_f = ( -∞; -1) <1; +∞)

ad. C)

2x +3 > 0

x> -

D_f = ( - ;+ ∞)

ad. D)

log (3 –x) 0

3 –x > 0

4 + x 0

≥ 0

log (3 –x) = 0

log (3 – x) = log 1

3 –x = 1

- x -2

x 2

x < 3

x -4

(4-x)(4+x) ≥ 0

16 – x² ≥ 0

- x² ≥ -16

X ≥ 4 -4

x ϵ <-4;4>

D_f = (-4;3)

D_f = (-4;2) (2;3)

Funkcje f i g nazywać będziemy równymi wtedy i tylko wtedy , gdy mają równe dziedziny oraz w każdym punkcie dziedziny przyjmują taką samą wartość.

f (x) = y (x)

x ϵ D_f

Przykład :

Zbadać czy funkcje są równe.

1. f(x) =

g (x) = x+1

nie są równe , ponieważ zbiór ma różne dziedziny

1. f (x) = sin² x , g (x) = 1 – cos² x

są równe , ponieważ mają takie same dziedziny, przyjmują taką samą wartość .

Wykresem funkcji f odwzorowującej f: X → Y , X R , Y R, nazywamy zbiór { (x, y) ; x ϵ X Ʌ y ϵ Y } punktów płaszczyzny , który 1 element należy do zbioru X , drugi element do przeciwdziedziny .

Obrazowo każda pionowa prosta w układzie współrzędnych przecina wykres funkcji w co najwyżej jednym punkcie.

tak

nie

2.Funkcja „na”.

Funkcja f odwzorowująca zbiór X na zbiór Y wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór wartości tej funkcji jest równy przeciwdziedzinie.

W_f = y

f: X ^na→ Y

Przykład :

Która z poniższych funkcji jest funkcją „na” .

1. f: R → R nie

f (x) = x² – 1

1. f: R → R tak

f (x) = 2x + 7

1. f: R → <0; + ∞) tak

f (x) = x²

Obrazowo funkcja f jest „na” gdy rzut prostokątny jej wykresu na osi OY pokrywa się ze zbiorem Y (przeciwdziedziny).

Ad. C)

f (x) = x²

W_f = <0; +∞)

Ad. A)

W_f = <-1; +∞) R

C) f: R → R

f(x) = x² – 1

g: R → <-1; +∞)

g (x) = x² – 1 x² – 1 = (x-1)(x+1)

h: X ^na→ Y

W_n – Y

(p, q) = (- , -)

W_f = <-1 ; +∞)

W_g = <-1; +∞)

W_f R

f: R ^w→ R

W_g = <-1; + ∞)

g: R ^na→ <-1; +∞)