Hipotezy wytrzymałościowe

Hubera - Misesa

Miarą wytężenia materiału jest skalarną funkcją współrzędnych tensora naprężenia w postaci:

Wp=(1+n/6*E)*[(σ₁₁- σ ₂₂)²+(σ₂₂-σ₃₃)²+(σ₃₃-σ₁₁)²+6*(σ₁₂²+σ₂₃²+σ₁₃²)

Jest to energia odkształcenia postaciowego zaś wyrażenie w nawiasie kwadratowym drugim niezmiennikiem dewiatora naprężeniaσ_{i j} Proste rozciąganie napręzeniem σ_σ otrzymamy: Wp=(1+n/6*E)*2*σ₁₁²=(1+n/6*E)*2*σ²

Naprężenie zredukowane w sensie HM

będzie: σσ_zred  (σ_σ_^(σ_σ_^(σ_σ_^(σ_^σ_^σ_^

Za pomocą naprężeń głównych:

σ_zred=1/2* (σ_σ_^(σ_σ_^(σ_σ_^

Powierzchnia graniczna w sensie H-M

F(σ_,σ_,σ_,σ_pl)= (σ_σ_^(σ_σ_^(σ_σ_^2σ_pl²=0 W przestrzeni naprężeń powierzchnia ta ma postać nieskończenie długiego walca o promieniu R= 2/3 σ_pl i osi nachylonej jednakowo do wszystkich 3 osi naprężeń σ_,σ_,σ_. W szczególnym przypadku jeżeli przetniemy ów walec płaszczyzną σ_ otrzymamy krzywą graniczną dla płaskiego stanu naprężenia F= σ_^ σ_ σ_ σ_^ σ_pl^=0

Hipoteza Treski

Wedłu Treski miarą stopnia wytężenia materiału w punkcie jest maxymalne naprężenie styczne _max dla prostego rozciągania mamy: _max=1/2*σ, a więc stopień wytężenia w stanie prostym i złożonym będą identyczne: _maσ

Dla hipotezy Treski mamy zatem : σ_zred=2* _max jest to naprężenie normalne jakie należy przyłożyć do stanu prostego aby wywołać wnim taki same _max jakie występuje w stanie złożonym.

Powierzchnia plastyczności w sensie Treski

|σ₁-σ₂|=σ_pl

F(σ_ij ,σ _pl )=| σ₁-σ₃|=σ_pl

|σ₂-σ₃|=σ_pl

Dla płaskiego stanu naprężenia:

|σ₁-σ₂|=σ_pl

F(σ_ij ,σ _pl )= |σ₁|=σ_pl

|σ₂|=σ_pl

|σ₃|=0

Koła Mohra:

Wychodzimy z równania:

Równość tę należy wyrazić poprzez siły przekrojowe i odpowiadające im uogólnione przemieszczenia:

Przechodzimy od opisu sił wewnętrznych za pomocą naprężeń do opisu za pomocą integralnych sił przekrojowych, zaś deformację opisać za pomocą uogólnionych

przemieszczeń:

otrzymujemy zatem:

Zatem ostatecznie:

zasada wzajemności prac

Praca sił układu pierwszego (wewnętrznego lub zewnętrznego) na odpowiadających im przemieszczeniach ukł. 2 jest równa pracy sił ukł. 2 (zewnętrznego lub wewnętrznego) na odpowiadających im uogólnionych przemieszczeniach układu pierwszego. Na skutek oddziaływań p_i oraz ^p_i pojawiają się w naszej bryle pola σ_ij,_ij,u_i i odpowiednio σ_j,_j,u_i w każdym punkcie spełnione są równania równowagi:σ_ij,j=0 ; σ_ij,j=0

dla pól o takich własnościach zachodzą równości:

Energia potencjalna i dopełniająca

Funkcjonałenergi dopelniającej na postać:

U_p=W_e= jest to różnica pomiędzy energią wewnętrzną W_e wyrażoną w odkształceniach i pracąsił wewnętrznych z obszaru sp gdziesiły są dane warunkiem: dU_p=dW_e=

Funkcjonałenergii dopelniającej U_D=W_d=

jest to różnica pomiędzy energią zewnętrzną wyrażoną w siłach (naprężeniu) W_d i pracą sił z obszaru su. Brzeg s gdzie z góry zadane są przemieszczenia; u₁(x) gdzie x ∈ su

warunek:d U_D=W_d==0

Równanie ciągłości Maxwella- Mohra

Metoda polega na usuwaniu przesztywniających więzów i wprowadzaniu w ich miejsce sił, które tam rzeczywiście występują, ażeby wartości tych sił dobrały się tak abyciągłość ustroju w miejscach usunięcia więzów była tego samego rodzaju jak pierwotnie w ustroju wyjściowym.

Sposób Wereszczagina

Jeżeli u_i(x) jest funkcją ciągłą w przezdziale(x₁,x₂) zaś u₂(x) ciągłą funkcją liniową to całka :

obliczamy w ten sposób, że mnożymy pole Fpod funkcją u_i(x) przez rzędną y_sc funkcji u₂(x) mierzoną pod środkiem ciężkości pola F .

u₂(x)=ax+b

Rozkład naprężeń stycznych w belkach zginanych nierównomiernie.

Wzór Zórawskiego:

;gdzie:

Q- siła poprzeczna w prekroju o kierunku prostopadłym do osi zginania,

S_y^odc-moment statyczny odciętej części przekroju,

J_y- moment bezwładności względem osi zginania,

g- szerokość przekroju.

Rozkład  można poszukiwać dla dowolnego przekroju ( (, w płaszczyźnie (osi

wprowadzamy drugi pomocniczy  działają zarówno naprężenia normalne σ_xx związane z rozkładem M(x), jak i styczne  związane z siła Q.

Pola naprężeń stycznych  w przekroju  wyznaczamy z warunków:

gdzie:

Moment M_ojest prostopadły do P_o

Zasada superpozycji.

Rozwiązanie zadania liniowosprężystego gdy podane są siły powierzchniowe p_i(x) x∈S wymaga wyznaczenia współrzędnych σ_ij,_ij u_i , Które spełniają odpowiednie równnania różniczkowe i zadane warunki brzegowe. Należy uwzględnić układ równań∇⁴ *σ_ij =0 przy warunkach p_i = σ_ij*n_j

na s Rozwiązanie obydwu zadań s_ij i s_ij spełnić muszą odpowiedni układ równań :

∇⁴ *σ_ij =0 w V i p_i = σ_ji*n_j na s

∇⁴ *σ_ij =0 w V i p_i = σ_ji*n_j na s

∇⁴ *(σ_ij+ σ_ij)=0 w V i (p_i+ p_i)= (σ_ji+ σ_ji)*n_j

wypadkowe pola naprężeń jest sumą σ_ij+ σ_ij jest to treść zasadyy super pozycji.

Zasada ta nie obowiązuje przy rozpatryywaniu dwu odkształceń gdy związki geometryczne są nieliniowe, gdzie przemieszczenia odkształcenia wpływają w istotny sposób na siły.

---