TEMAT: WYZNACZANIE MODU*U YOUNGA METOD* UGI*CIA.
1. Wiadomo*ci wst*pne.
Modu* Younga jest to wielko** napr**enia potrzebna do wyd*u*enia cia*a o d*ugo** pocz*tkow*. Modu* Younga ma wymiar ci*nienia (napr**enia) - w uk*adzie SI jest to N/m2. Sens tej definicji wynika z tzw. prawa Hooke'a:
s = Ee,
gdzie: s - napr**enie normalne, E - modu* Younga, e - odkszta*cenie wzgl*dne.
Gdy na pod*u*ny pr*t dzia*a si*a prostopadle do jego d*ugo*ci, doznaje on ugi*cia, a wielko** tzw. strza*ki ugi*cia jest zawsze proporcjonalna do si*y F, a tak*e zale*y od wymiar*w geometrycznych i rodzaju materia*u, z kt*rego jest *w pr*t wykonany.
We*my pod uwag* element pr*ta o d*ugo*ci Dx, grubo*ci Dy i szeroko*ci b znajduj*cy si* w odleg*o*ci x od kraw*dzi zamocowanej i na wysoko*ci y powy*ej warstwy *rodkowej. Na skutek ugi*cia belki warstwa badana ulega wyd*u*eniu o fy. Zgodnie z prawem Hooke'a wyd*u*enie jest wprost proporcjonalne do si*y i d*ugo*ci pocz*tkowej oraz odwrotnie proporcjonalne do powierzchni przekroju:
Fn Dx
fy = ---------- ,
E b Dy
gdzie: E - modu* Younga, Fn - si*a rozci*gaj*ca rozpatrywan* warstw* elementarn*.
Taka sama si*a, lecz skierowana przeciwnie, dzia*a na warstw* elementarn* po*o*on* symetrycznie poni*ej warstwy neutralnej N. Moment si*y Fn wzgl*dem warstwy N wynosi:
DM = y Fn = E (f/Dx) y2 b Dy.
Bezpo*redni* przyczyn* ugi*cia jest si*a F przy*o*ona do ko*ca pr*ta. Moment tej si*y wzgl*dem przekroju wynosi F [l - (x + Dx)] lub po zaniedbaniu wielko*ci Dx jako ma*ej w por*wnaniu z x:
M = (l - x) F.
Po uwzgl*dnieniu zwi*zku M = E (f/Dx) H oraz por*wnaniu powy*szego r*wnania otrzymamy elementarn* strza*k* ugi*cia:
F
ΔS = ------- (l - x)2 Δx .
E H
Ca*kowit* strza*k* ugi*cia otrzymamy sumuj*c analogiczne wyra*eni dla wszystkich odcink*w Δx, kt*re mo*emy zast*pi* niesko*czenie ma*ymi przyrostami dx, po czym sca*kowa* w wyniku czego otrzymamy wyra*enie:
F
S = --------- l3 .
3 E H
Wsp**czynnik H zale*y od kszta*tu i rozmiar*w geometrycznych pr*ta. Gdy przekr*j jest prostok*tem o wysoko*ci h i szeroko*ci b, to jego warto** wynosi:
1
H = ---- bh3 .
12
Warto** tego samego wsp**czynnika dla przekroju ko*owego wynosi:
p
Ho = -- r4 .
4
Podstawiaj*c odpowiednie warto*ci H otrzymujemy dla obu przekroj*w strza*ki ugi*cia:
4 l3
S = --------- F ,
E b h3
4 l3
So = ---------- F ,
3π E r4
Otrzymane powy*ej wzory odnosz* si* do pr*ta obci**onego jednostronnie i jednym ko*cem umocowanego. Mo*na je *atwo dostosowa* do sytuacji, gdy pr*t jest swobodnie oparty dwoma ko*cami i obci**ony w *rodku. Zachowuje si* on wtedy tak, jakby by* zamocowany w *rodku, a na jego ko*ce dzia*a*y si*y F/2 skierowane ku g*rze. Si*a F/2 dzia*a wtedy na pr*t o d*ugo*ci l/2. Po uwzgl*dnieniu powy*szego, uzyskujemy wzory na strza*ki ugi*cia pr*t*w dwustronnie podpartych.
l3
S = ----------- F ,
4 E b h3
l3
So = ----------- F .
12π E r4
Wzory te wykorzystuje si* do wyznaczania modu*u Younga, poniewa* wszystkie wielko*ci w nich wyst*puj*ce s* *atwe do zmierzenia.
Strza*k* ugi*cia mierzymy za pomoc* katetometru nastawiaj*c nici paj*cze lunetki wpierw na kraw*d* pr*ta nieobci**onego, w po*owie jego d*ugo*ci, a nast*pnie na t* sam* kraw*d* przy zmienianym stopniowo obci**eniu. Strza*ka ugi*cia jest r*wna r**nicy po*o*e* lunetki katetometru.
2. Wyniki pomiar*w:
2.1. Masy obci**e*:
Lp |
m [kg] |
1 |
0.2 |
2 |
0.2 |
3 |
0.5 |
4 |
0.5 |
5 |
0.5 |
2.2. Pr*t o przekroju kwadratowym.
2.2.1.Wymiary: b = 8 mm,
a = 8 mm,
l = 60.5 mm,
h0 = 573.7 mm.
2.2.2. Tabela wynik*w:
Lp |
obci**enie [g] |
wysoko** h [mm] |
strza*ka Δs [mm] |
modu* Younga *1010 [N/m2] |
1 |
200 |
573.34 |
0.36 |
7.3661861038 |
2 |
400 |
572.90 |
0.80 |
6.6295674951 |
3 |
900 |
572.03 |
1.67 |
7.1456416112 |
4 |
1400 |
571.10 |
2.60 |
7.1395342243 |
5 |
1900 |
571.08 |
2.62 |
9.6154032340 |
6 |
1700 |
570.60 |
3.10 |
7.2711385414 |
7 |
1200 |
571.63 |
2.07 |
7.6864550665 |
8 |
700 |
572.40 |
1.30 |
7.1395345543 |
9 |
200 |
573.34 |
0.36 |
7.3661861038 |
10 |
500 |
572.82 |
0.88 |
7.5335994278 |
11 |
1000 |
571.95 |
1.75 |
7.5766485624 |
w.*r. |
7.4972631450 * 1010 N/m2 |
|||
sn |
0.722866846 * 1010 |
|||
sn-1 |
0.758149144 * 1010 |
|||
2.3. Pr*t o przekroju ko*owym.
2.3.1. Wymiary: r = 7 mm,
l = 60.5 mm,
h0 = 573.8 mm.
2.3.2. Tabela wynik*w:
Lp |
obci**enie [g] |
wysoko** h [mm] |
strza*ka Δs [mm] |
modu* Younga *1010 [N/m2] |
1 |
200 |
573.39 |
0.41 |
1.1707333523 |
2 |
400 |
573.00 |
0.80 |
1.2000016881 |
3 |
900 |
572.10 |
1.70 |
1.2705900225 |
4 |
1400 |
571.50 |
2.30 |
1.4608716198 |
5 |
1900 |
570.23 |
3.57 |
1.2773127209 |
6 |
1700 |
571.15 |
2.65 |
1.5396248068 |
7 |
1200 |
571.58 |
2.22 |
1.2972991217 |
8 |
700 |
572.47 |
1.33 |
1.2631596713 |
9 |
200 |
573.39 |
0.41 |
1.1707333523 |
10 |
500 |
572.78 |
1.02 |
1.1764722433 |
11 |
1000 |
571.84 |
1.96 |
1.2244915178 |
w.*r. |
1.2773900106 * 10 10 N/m2 |
|||
sn |
0.114733125 * 1010 |
|||
sn-1 |
0.120333117 * 10 10 |
|||
3. Wnioski.
Por*wnuj*c otrzymane wyniki oraz dane zawarte w tablicy w skrypcie Stanis*awa Szuby pt. ”*wiczenia laboratoryjne z fizyki” na stronie 201 mo*emy stwierdzi*, *e badane pr*ty wykonane by*y z aluminium (pr*t o przekroju kwadratowym) i o*owiu (pr*t o przekroju ko*owym). Niewielkie odchy*ki od warto*ci nominalnych mog* by* nast*pstwem warunk*w panuj*cych w sali w czasie przebiegu *wiczenia (np. temperatura panuj*ca w sali znacznie odbiega*a od 20*C). Stosunkowo du*a warto** odchylenia standardowego wynika z du*ej rozbie*no*ci wynik*w, kt*re s* konsekwencj* niedok*adno*ci odczytu i zamocowania pr*t*w.