f [Hz] - częstotliwość napięcia z generatora
U1 [mV] - napięcie dla częstotliwości z generatora od fmax do fmin (pomiar 1)
U2 [mV] - napięcie dla częstotliwości z generatora od fmax do fmin (pomiar 2)
Uśr [mV] - średnie napięcie dwóch pomiarów U1 i U2
SU - odchylenie standardowe średniej wartości napięcia Uśr
Pomiary napięcia obrazowane są niepewnościami systematycznymi i przypadkowymi.
Niepewność systematyczna wyrażona jest zależnością:
k- zakres użytego do pomiarów miliwoltomierza
b- dokładność podziałki miliwoltomierza
k= 1 [mV]
b= 0,02
Niepewnośc łączna uwzględnia również niepewność przypadkową pomiarów
DU - nipewność totalna
SU - niepewność wynikająca z odchylenia standardowego średniej wartości napięcia Uśr
S - niepewność wynikająca z klasy przyrządu, dokładności odczytu, drżenia wskazówki. Jest to niepewność systematyczna pomiarów. Dla pomiarów rezonansu szeregowego i równoległego niepewności systematyczne są takie same.
S - wartość niepewności systematycznej dla pomiaru rezonansu szeregowego i równoległego.
- pulsacja w= 2pf, gdzie f- częstotliwość
2. Wyznaczanie częstotliwości rezonansowych.
W celu wyznaczenia wartości częstotliwości rezonansowych dla obu układów pomiarowych należy posłużyć się się programem „MatEx”.
Do wyznaczenia częstotliwości rezonansowych wybranych zostało 12 kolejnych punktów doświadczalnych.
Zestawienie tabelaryczne danych do programu „MatEx”:
|
połączenie |
szeregowe |
połączenie |
równoległe |
pulsacja w [rad/s] |
Uśr |
DU |
Uśr |
DU |
2199 |
0,28 |
0,0163 |
0,555 |
0,017 |
2513 |
0,16 |
0,0163 |
0,71 |
0,0163 |
2639 |
0,125 |
0,017 |
0,76 |
0,0163 |
2765 |
0,095 |
0,017 |
0,805 |
0,017 |
2890 |
0,065 |
0,017 |
0,84 |
0,0163 |
3016 |
0,05 |
0,0163 |
0,86 |
0,0163 |
3142 |
0,07 |
0,0163 |
0,865 |
0,017 |
3267 |
0,095 |
0,017 |
0,85 |
0,0163 |
3393 |
0,12 |
0,0163 |
0,83 |
0,0163 |
3516 |
0,14 |
0,0163 |
0,80 |
0,0163 |
3644 |
0,17 |
0,0163 |
0,76 |
0,0163 |
3770 |
0,20 |
0,017 |
0,72 |
0,0163 |
Wykres U(w) wskazuje nato, że w otoczeniu w0 dla obu rezonansów funkcje przyjmują postać funkcji kwadratowej. Aproksymację wyników przeprowadzono zatem hipotezą postaci:
, gdzie
Wyniki aproksymacji :
a) rezonans szeregowy
liczba iteracji: 10
chi2 = 5,264
liczba stopni swobody: 9
(a+da)= 2,85E-07 ±2,24E-08
(b+db)= -1,74E-03 ±1,35E-04
(c+dc)= 2,73E00 ±2,01E-01
b) rezonans równoległy
liczba iteracji: 10
chi2=1,895E00
liczba stopni swobody: 9
(a+da)= -3,51E-07 ±2,24E-08
(b+db)= 2,20E-03 ±1,36E-04
(c+dc)= -2,60E00 ±2,03E-01
Dla uzyskania oceny jakościowej dopasowania punktów pomiarowych do zaanej funkcji obliczamy stosunek chi2/ndf :
a) dla rezonansu szeregowego chi2/ndf= 0,58
b) dla rezonansu równoległego chi2/ndf= 0,21
Dla obu rezonansów otrzymane wartości są ostro mniejsze od jedności, zatem hipotezę uważamy za prawdziwą.
Dla oceny ilościowej porównujemy otrzymane wartości chi2 z wartością krytyczną dla zadanego poziomu istotności i liczby stopni swobody (ndf).
a) dla rezonansu szeregowego poziom istotności wynosi 0,2 (poziom ufności jest zatem równy 0,8).
b) dla rezonansu równoległego poziom istotności wynosi 0,01 (poziom ufności jest więc równy 9,99).
3. Obliczenie pulsacji rezonansowej
Na podstawie otrzymanych z programu „MatEx” wyników wyznaczamy pulsację rezonansową w0.
a) rezonans szeregowy
b)rezonans równoległy
Dla obliczenia niepewności pomiarowej Dw0 zastosowano metodę pochodnej logarytmicznej:
a) rezonans szeregowy
b) rezonans równoległy
Ostateczne wyniki mają postać:
a) rezonans szeregowy
b) rezonans równoległy
4.Obliczenie średniej ważonej pulsacji rezonansowej
Do dalszych obliczeń przyjęto wartość średniej ważonej dwóch pomiarów pośrednich.
Ostateczny wynik średniej ważonej:
5. Wyznaczenie indukcyjności cewki
Korzystając ze wzoru Thompsona znajdujemy indukcyjność cewki pracującej w rezonansie z kondensatorem:
C = 0,06mF
DC = 1E-12
6. Obliczenie indukcyjności cewki
l -długość cewki (0,04m)
s -pole przekroju poprzecznego (4,8*5,2*1E-04=24,96*1E-4m)
n -liczba zwojów cewki (6500)
m0 -przenikalność magnetyczna (4p*1E-07 [H/m])
L=3,31 [H]
6. Wnioski
Warunkiem wystąpienia rezonansu elektrycznego jest równośc częstotliwości napięcia zasilającego i częstotliwości drgań własnych obwodu rezonansowego.
Dla rezonansu równoległego impedancja obwodu rezonansowego jest nieskończenie wielka, zatem zgodnie z prawem Ohma prąd dopływający do tego obwodu jest nieskończenie mały. Natomiast dla obwodu szeregowego prąd w obwodzie osiąga wartość maksymalną.
Różnice częstotliwości rezonansowej obliczone dla rezonansu szeregowego i równoległego są stosunkowo niewielkie i mieszczą się w granicy błędu wyznaczonego niepewnościami pomiarowymi.
Pomiary napięcia obrazowane są błędami systematycznymi i przypadkowymi . Przyczynami są między innymi: klasa przyrządu pomiarowego i ograniczona dokładność odczytu, czy też drżenie wskazówki przyrządu.
Na dokładność obliczenia pulsacji rezonansowej miało wpływ wiele czynników. Pulsacja była obliczona metodą pośrednią, na końcowy wynik wpływ miały parametry użytego kondensatora i cewki.
Różnice w wartości indukcyjności cewki wyliczonej według wzoru Thomsona i na podstawie wielkości fizycznych wynikają z małej precyzji pomiarów gabarytów cewki. Bardziej miarodajny jest więc wynik otrzymany z wzoru Thomsona.