1. Ruch harmoniczny prosty

Drganiami harmonicznymi prostymi nazywamy drgania odbywające się pod wpływem siły F, proporcjonalnej do wychylenia x, lecz przeciwnie skierowanej:

F = -kx

W przypadku drgań torsyjnych bryły sztywnej w powyższym wzorze siłę F należy zastąpić momentem siły M, a wychylenie x - kątem skręcenia ϕ:

M = -Dϕ

Współczynnik proporcjonalności D nazywamy momentem kierującym. Ponieważ moment siły możemy wyrazić wzorem

M = Jα

gdzie J oznacza moment bezwładności, a α przyspieszenie kątowe

to

Podstawiając powyższe wyrażenie do równania M = -Dϕ, otrzymujemy

Gdy podzielimy powyższe równanie przez J i wprowadzimy oznaczenie

gdzie ω₀ nazywa się częstością kołową drgań własnych, otrzymujemy równanie ruchu harmonicznego prostego:

Nietrudno sprawdzić, że rozwiązaniem powyższego równania jest funkcja

2. Ruch harmoniczny tłumiony

Tłumieniem nazywamy powolne malenie amplitudy drgań w czasie, spowodowane utratą energii na skutek tarcia, oporu powietrza itp. Istnienie takich strat możemy uwzględnić poprzez dołączenie do równania ruchu składnika odpowiedzialnego za tłumienie. Dla niewielkich prędkości, składnik ten, zwany momentem tłumiącym jest proporcjonalny do prędkości kątowej, wobec czego nasze równanie tłumionego ruchu obrotowego bryły sztywnej przyjmuje następującą postać:

Współczynnik proporcjonalności H jest miarą tłumienia. Wprowadzając współczynnik tłumienia β:

i przekształcając wzór analogicznie jak dla ruchu nietłumionego, otrzymujemy następujące równanie:

Rozwiązanie tego równania ma wówczas postać

W tym przypadku e^-βt spełnia rolę amplitudy drgań, która maleje wykładniczo w czasie. Nowa częstość kołowa wynosi teraz

gdzie ω₀ oznacza częstość kołową drgań własnych z którą układ drgałby swobodnie przy braku oporów ośrodka.

Wprowadzając czas relaksacji

amplitudę można zapisać w postaci

Stąd wynika, że po upływie czasu t = 2τ amplituda drgań maleje do 1/e wartości początkowej.

Dodatkową wielkością charakteryzującą drgania tłumione jest tzw. logarytmiczny dekrement tłumienia. Jest to logarytm naturalny stosunku dwóch kolejnych amplitud w chwili t i t+T. Oznaczając logarytmiczny dekrement tłumienia literą λ możemy zapisać:

a po podstawieniu definicji czasu relaksacji:

λ = T / 2τ

β = 1 / 2τ

Jeżeli przez N oznaczymy liczbę drgań po wykonaniu których amplituda maleje do 1/e wartości początkowej otrzymujemy zależność

A zatem logarytmiczny dekrement tłumienia jest również wielkością fizyczną równą odwrotności liczby drgań po upływie których amplituda zmniejsza się e-krotnie.

---