Wydział Elektroniki Politechniki Wrocławskiej	Laboratorium Teorii Obwodów
^Wykonał Krzysztof Krzemiński Arkadiusz Kuziak		^Grupa 9	^Ćw. nr 4	^Prowadzący Dr A. Jarząbek
Obwody rezonansowe		^Data wykonania 99. 11.30	^Data oddania 99.12.07	^Dzień wykonania Wtorek godz. 15^15

CEL ĆWICZENIA:

Celem ćwiczenia jest:

• zapoznanie się ze zjawiskami rezonansu w równoległym i szeregowym obwodzie rezonansowym,

• zapoznanie się ze zjawiskami rezonansowymi zachodzącymi w dwóch obwodach rezonansowych sprzężonych magnetycznie,

W ćwiczeniu należy:

• wyznaczyć krzywe rezonansu oraz ich parametry dla równoległego i szeregowego obwodu rezonansowego,

• zbadać wpływ tłumienia na przebieg krzywej rezonansu,

• zaobserwować wpływ sprzężenia na krzywe rezonansu obwodów sprzężonych magnetycznie oraz zmierzyć parametry charakteryzujące te krzywe,

• zbadać wpływ rozstrojenia i tłumienia na własności obwodów rezonansowych.

WSTĘP TEORETYCZNY :

Zjawisko rezonansu występuje w obwodach elektrycznych zawierających elementy reaktancyjne LC, zdolne do gromadzenia energii w polu magnetycznym i elektrycznym, gdy energia między tymi elementami jest przekazywana z małymi stratami.

Połączenie w jeden układ pojedynczych elementów LC z rezystorem reprezentującym straty energii umożliwia budowę najprostszych obwodów rezonansowych - szeregowego i równoległego

Rys. 1a Rys. 1b Rys. 1c

Własności tych obwodów opisuje się za pomocą dobroci, którą dla obwodów z rys. 1a i 1c można wyznaczyć z zależności

,

dla obwodu z rys. 1b

Drugim parametrem charakteryzującym własności rezonansowe wszystkich trzech obwodów jest częstotliwość nazywana rezonansową, opisana wzorem Thomsona

.

Przy tej częstotliwości impedancje obwodów z rys. 1a i b przyjmują ekstremalne wartości, równe odpowiednio R_s ( minimum impedancji układu z rys. 1a ) i R_r ( maksimum impedancji układu z rys. 1b ) , natomiast impedancja układu z rys. 1c osiąga maksymalną wartość, równą w przybliżeniu

.

Obwody rezonansowe o większej dobroci Q charakteryzuje węższe pasmo przenoszenia sygnałów oraz bardziej stromo opadające zbocze krzywej rezonansu, a charakterystyka amplitudowa i fazowa takich obwodów zmienia się bardzo gwałtownie w otoczeniu częstotliwości f₀ .

W obwodzie szeregowym przy częstotliwości f₀ występuje tzw. rezonans napięć, gdyż na elementach reaktancyjnych występuje Q-krotnie większe napięcie niż wartość źródła E_g . Analogicznie w obwodzie równoległym przy częstotliwości f₀ prądy w gałęziach z elementami reaktancyjnymi są Q-krotnie większe od prądu źródłowego I_g .

Rzeczywiste źródła pogarszają własności selektywne i zmieniają kształt charakterystyk częstotliwościowych obwodów rezonansowych.

W celu poprawienia własności selektywnych pojedynczego obwodów rezonansowych sprzęga się je za pośrednictwem pola elektrycznego, magnetycznego, łączy galwanicznych bądź też w sposób kombinowany. Obwody sprzężone magnetycznie charakteryzują dobrocie tych obwodów, częstotliwości własne oraz współczynnik sprzężenia

.

Charakterystyka rezonansowa dla 0 k < k_1kr = 0,4859*Q ^-1 jest krzywą jednowierzchołkową, a przy k > k_1kr - krzywą dwuwierzchołkową.

Dla k = k_gr =
powstają dwa oddzielne pasma przenoszenia.

WYKAZ PRZYRZĄDÓW :

• generator - wobulator K937,

• oscyloskop OS - 245(P)/U,

• częstościomierz C549A,

• zestaw laboratoryjny 24/2.

SCHEMAT UKŁADU POMIAROWEGO:

Rys. 2. Schemat elektryczny obwodu rezonansowego

Rys. 3. Schemat zestawu pomiarowego

W skład zestawu pomiarowego wchodzi generator z wobulacją częstotliwości, oscyloskop, sonda w.cz. i układ pomiarowy z dwoma równoległymi obwodami rezonansowymi sprzężonymi magnetycznie. Regulacja sprzężenia w tym ostatnim panelu odbywa się za pośrednictwem kondensatorów o pojemności 5 pF. Dzięki temu zmniejsza się znacznie wpływ tłumiącego działania generatora o małej rezystancji wyjściowej oraz sondy pomiarowej.

PRZEBIEG ĆWICZENIA :

1. Badanie własności pojedynczego obwodu równoległego

a) nietłumiony

Przy rozsuniętych cewkach na maksymalną odległość na ekranie oscyloskopu obserwujemy krzywą rezonansu. Jej rzędna jest proporcjonalna do napięcia na kondensatorze. Z przebiegu krzywej rezonansu określamy:

• częstotliwość rezonansowa: f₀ = 2,2006 [MHz]

• górna częstotliwość graniczna: f_g = 2,2162 [MHz]

• dolna częstotliwość graniczna: f_d = 2,1842 [MHz]

• szerokość pasma: 2f₀ = f_g - f_d

2f₀ = 2,2162 - 2,1842 = 0,032 [MHz]

2f₀ = 32 [kHz]

• dobroć obwodu nietłumionego:
  

Krzywa rezonansowa dla obwodu nietłumionego jest przedstawiona na wykresie 1.

b) tłumionego

Do obwodu rezonansowego dołączamy rezystor tłumiący R_x i obserwujemy krzywą rezonansową, z której określamy:

• częstotliwość rezonansowa: f₀ = 2,2 [MHz]

• górna częstotliwość graniczna: f_g = 2,2218 [MHz]

• dolna częstotliwość graniczna: f_d = 2,1843 [MHz]

• szerokość pasma: 2f₀ = f_g - f_d

2f₀ = 2,2218 - 2,1843 = 0,0375 [MHz]

2f₀ = 37,5 [kHz]

• dobroć obwodu tłumionego:
  

Krzywa rezonansowa dla obwodu tłumionego jest przedstawiona na wykresie 2.

c) z kondensatorem o najmniejszej pojemności C_min = 295 pF

W obwodzie rezonansowym nietłumionym kondensator C (rys.1) ustawiamy tak, aby pojemność wynosiła 295 pF. Obserwując krzywą rezonansową określamy:

• częstotliwość rezonansowa: f₀ = 2,2773 [MHz]

• górna częstotliwość graniczna: f_g = 2,2937 [MHz]

• dolna częstotliwość graniczna: f_d = 2,2611 [MHz]

• szerokość pasma: 2f₀ = f_g - f_d

2f₀ = 2,2937 - 2,2611 = 0,0326 [MHz]

2f₀ = 32,6 [kHz]

• dobroć obwodu nietłumionego:
  

Następnie do obwodu rezonansowego z o najmniejszej pojemności C_min = 295 pF dołączamy rezystor tłumiący R_x. Obserwując krzywą rezonansową określamy:

• częstotliwość rezonansowa: f₀ = 2,2775 [MHz]

• górna częstotliwość graniczna: f_g = 2,2965 [MHz]

• dolna częstotliwość graniczna: f_d = 2,2575 [MHz]

• szerokość pasma: 2f₀ = f_g - f_d

2f₀ = 2,2965 - 2,2575 = 0,039 [MHz]

2f₀ = 39 [kHz]

• dobroć obwodu tłumionego:
  

Znając wartość pojemności i częstotliwość rezonansową obwodu, możemy wyznaczyć wartość indukcyjności L korzystając ze wzoru Thomsona:

Czyli

.

Podstawiając dane

C = 295 [pF]

f₀ = 2,2773 [MHz]

otrzymujemy

.

L = 16,556 [H]

Rezystancję tłumiącą R_x wyznaczymy dokonując następujących przekształceń:

Obwodowi rezonansowemu nietłumionemu odpowiada schemat zastępczy z rys. 4, a jego dobroć wyraża się wzorem:

gdzie - pulsacja rezonansowa.

Rys. 4.

Obwód z rysunku 4 jest równoważny schematowi z rysunku 5, który to schemat charakteryzuje dobroć:

Rys. 5.

Wyznaczając wartość R_r otrzymujemy:

.

Dla obwodu tłumionego mamy schemat zastępczy jak na rys. 6, a dobroć układu wynosi:

Rys. 6.

Wyliczając z powyższego wzoru R_x oraz uwzględniając wzór na R_r, otrzymamy ostatecznie:

,

gdzie: Q_n - dobroć obwodu nietłumionego, Q_t - dobroć obwodu tłumionego.

Podstawiając dane

L = 16,556 [H]

Q_n = 69,85

Q_t = 58,39

otrzymamy:

R_x ≈ 84,309 [k]

2. Badanie właściwości obwodów sprzężonych magnetycznie

a) obwód pierwotny

Przy rozsuniętych cewkach na maksymalną odległość dobieramy tak pojemność kondensatora obwodu wtórnego, aby na ekranie oscyloskopu zaobserwować krzywą rezonansową o maksymalnej wysokości. Z przebiegu krzywej rezonansowej dla obwodu pierwotnego określamy:

• częstotliwość rezonansowa: f₀ = 2,2006 [MHz]

• górna częstotliwość graniczna: f_g = 2,2162 [MHz]

• dolna częstotliwość graniczna: f_d = 2,1842 [MHz]

• szerokość pasma: 2f₀ = f_g - f_d

2f₀ = 2,2162 - 2,1842 = 0,032 [MHz]

2f₀ = 32 [kHz]

• dobroć obwodu nietłumionego:
  

b) obwód wtórny

Przy tych samych warunkach pomiaru obserwujemy krzywą rezonansową obwodu wtórnego. Z niej określamy:

• częstotliwość rezonansowa: f₀ = 2,2006 [MHz]

• górna częstotliwość graniczna: f_g = 2,2153 [MHz]

• dolna częstotliwość graniczna: f_d = 2,1851 [MHz]

• szerokość pasma: 2f₀ = f_g - f_d

2f₀ = 2,2153 - 2,1851 = 0,0302 [MHz]

2f₀ = 30,2 [kHz]

• dobroć obwodu wtórnego:
  

Na podstawie powyższych danych można obliczyć wartość sprzężenia krytycznego k_kr i granicznego k_gr oraz szerokość pasma dla tych sprzężeń, korzystając z zależności:

• sprzężenie krytyczne:
  ,

• sprzężenie graniczne:
  , gdzie przyjmujemy
  ,

• szerokość pasma dla sprzężenia krytycznego:

, gdy

, gdy

• szerokość pasma dla sprzężenia granicznego:

, gdy

, gdy

Podstawiając dane

Q₁ = 68,75

Q₂ = 72,86

f₀ = 2,2006 [MHz]

otrzymamy:

sprawdzam, ile wynoszą iloczyny k_krQ i k_grQ:

Otrzymaliśmy dla obu przypadków kQ > 1, zatem szerokość pasma wyliczymy ze wzoru:

.

Podstawiając dane, mamy:

Ostatecznie otrzymaliśmy:

k_kr = 0,014143

k_gr = 0,034116

2f_0kr = 44,014 [kHz]

2f_0gr = 96,635[kHz]

3. Obserwacja krzywych charakterystycznych dla sprzężenia krytycznego i granicznego.

a) sprzężenie krytyczne

• częstotliwość rezonansowa: f₀ = 2,2035 [MHz]

• górna częstotliwość graniczna: f_g = 2,2283 [MHz]

• dolna częstotliwość graniczna: f_d = 2,1804 [MHz]

• szerokość pasma: 2f₀ = f_g - f_d

2f₀ = 2,2283 - 2,1804 = 0,0479 [MHz]

2f₀ = 47,9 [kHz]

• dobroć obwodu dla sprzężenia krytycznego:
  

b) sprzężenie graniczne

• częstotliwość rezonansowa: f₀ = 2,2035 [MHz]

• górna częstotliwość graniczna: f_g = 2,2509 [MHz]

• dolna częstotliwość graniczna: f_d = 2,1575 [MHz]

• szerokość pasma: 2f₀ = f_g - f_d

2f₀ = 2,2509 - 2,1575 = 0,0934 [MHz]

2f₀ = 93,4 [kHz]

• dobroć obwodu dla sprzężenia granicznego:
  

Krzywe rezonansowe obwodu sprzężonego dla sprzężenia krytycznego i granicznego są przedstawione na wykresach 3 i 4.

WNIOSKI I UWAGI:

Obwody rezonansowe mają zastosowanie w układach selektywnych, których najbardziej typowym przykładem są stopnie wejściowe radiowych urządzeń odbiorczych, w których wymaga się selektywnego odbioru sygnału. Obwód taki ma wtedy charakter rezystancyjny i dla obwodu równoległego prąd wypadkowy jest w fazie z napięciem na rezystorze, zaś prądy na cewce i kondensatorze są w przeciwfazie, przy czym każdy z nich jest prostopadły do prądu wypadkowego (na cewce opóźnia się, na kondensatorze wyprzedza). Celem naszego ćwiczenia był pomiar parametrów obwodów rezonansowych pojedynczych i sprzężonych.

W pkt. 1 ćwiczenia badaliśmy własności pojedynczego równoległego obwodu rezonansowego nietłumionego i tłumionego. Z pomiarów widzimy, że obwód nietłumiony (zarówno przy pierwszym przypadku, jak i przy C_min) charakteryzuje się większą selektywnością, czyli mniejszą szerokością 3 dB pasma przenoszenia (32,6 kHz przy C_min) niż obwód tłumiony rezystorem R_x (39 kHz przy C_min). Decyduje o tym dobroć obwodu i im jest ona większa, tym obwód jest bardziej selektywny, co potwierdzają wyniki, w których dla obwodu nietłumionego Q = 69,85, dla tłumionego Q = 58,39 (dla pomiarów z C_min). Krzywe rezonansowe dla obwodów bez R_x są przedstawione na wykresie 1 , zaś dla obwodu z R_x na wykresie 2. Z ich obserwacji wnioskujemy, że optymalne dostrojenie obwodu do częstotliwości rezonansowej występuje, gdy maksimum funkcji przenoszenia osiąga największą wartość. Porównując wykresy dla obwodów tłumionych i nietłumionych widzimy, że obwody z R_x charakteryzują się mniejszą wartością maksimum napięcia (mniejsze Q) oraz łagodniejszym spadkiem (większe 2f₀), co jest objawem niekorzystnym. Dlatego w praktyce zastępuje się zwykły obwód rezonansowy obwodami rezonansowymi z dzieloną indukcyjnością lub pojemnością, a także, w celu poprawienia własności selektywnych, sprzęga się je za pośrednictwem pola elektrycznego, magnetycznego, łączy galwanicznych bądź też w sposób kombinowany. Własności obwodów sprzężonych magnetycznie badaliśmy w pkt. 2 ćwiczenia.

Porównując obwody rezonansowe tłumione i nietłumione widzimy, że układ tłumiony ma mniejszą dobroć niż układ nietłumiony i w układzie tłumionym zwiększa się pasmo przenoszenia .Czyli obecność R_x (w naszym przypadku obliczona R_x= 84 kΩ) tylko pogarsza Q i 2f₀.

W pkt. 2 ćwiczenia badaliśmy własności obwodów sprzężonych magnetycznie, dostrojonych do tej samej częstotliwości rezonansowej f₀ = 2,2 MHz, czyli takich, których maksima charakterystyki przenoszenia osiągają największą wartość. Z wartości odczytanych z oscyloskopu widzimy, że dobrocie obu obwodów nie są jednakowe, ponieważ oba ekstrema funkcji przenoszenia nie mają jednakowych wartości, co potwierdzają obliczenia: Q₁ = 68,75, Q₂ = 72,84. Pasmo przenoszenia obwodu pierwotnego (32 kHz) jest większe niż obwodu wtórnego (30,2 kHz), co potwierdza regułę, że im większa dobroć, tym węższe pasmo przenoszenia. Oznacza to, że obwód pierwotny jest mniej selektywny.

Zmieniając współczynnik sprzężenia k (w naszym przypadku poprzez zmianę odległości między cewkami) można regulować pasmo przenoszenia obwodu. Dla k < k_kr krzywa rezonansowa obwodu ma identyczny kształt jak obwodu pojedynczego. Przy k = k_kr = 0,014143 zaczynają się pojawiać dwa maksima funkcji przenoszenia (Rys. 7 i wykres 3), zaś przy k = k_gr = 0,034116 jest już wyraźnie widoczne dwa maksima i minimum charakterystyki przenoszenia(wykres 4), przy czym między „wyższym” maksimum a minimum jest różnic 3 dB. Rośnie pasmo przenoszenia w stosunku do sprzężenia krytycznego (wyliczone 2f_0kr = 44,014 [kHz], 2f_0gr = = 96,635[kHz]). Zaobserwowane charakterystyki dla sprzężenia krytycznego i granicznego przedstawiają wykresy 3 i 4. Szerokości pasm przenoszenia dla tych charakterystyk odczytane z oscyloskopu wynoszą: dla sprzężenia krytycznego 2f₀ = 47,9 [kHz], a dla sprzężenia granicznego 2f₀ = 93,4 [kHz]. Jak widać na podstawie danych wyliczonych i odczytanych z oscyloskopu szerokości pasm różnią się w nieznacznym stopniu (dla sprzężenia krytycznego o 3.9 kHz, a dla sprzężenia granicznego o 3.2 kHz).Dla sprzężenia większego od granicznego uzyskujemy charakterystykę dwuwierzchołkową, z silnym wytłumieniem f₀, czyli tak, jakby posiadał dwa oddzielne pasma przenoszenia (Rys. 8).

Rys. 8. Krzywa rezonansowa dla k > k_gr

Laboratorium Teorii Obwodów Krzysztof Krzemiński

- 10 -

Rys. 7. Krzywa rezonansowa dla k = k_kr

---