Ćw.2. M.S. Makowski 1/13

Ćwiczenie ma na celu utrwalenie i uzupełnienie wiedzy na temat dyskretno-czasowego przekształcenia Fouriera (ang.
Discrete-Time Fourier Transform DTFT). Uwaga będzie poświęcona zagadnieniom wyznaczania widma ciągłego
sygnałów dyskretnych, właściwościom DTFT oraz zastosowaniom do znajdowania charakterystyk
częstotliwościowych.
Zadania są tak pomyślane, że student może i powinien skorzystać z wiedzy przyswojonej wcześniej a dotyczącej
analizy widmowej sygnałów ciągłych oraz charakterystyk częstotliwościowych systemów ciągłych (wykład z
przedmiotu Obwody i Sygnały Analogowe (sem.2), laboratorium Teorii Obwodów (sem.3). W tym celu we
wprowadzeniu do instrukcji przedstawione są w syntetycznej formie wiadomości na temat widma sygnału
dyskretnego powiązane z pojęciami znanymi z analizy widmowej sygnałów ciągłych jak: transformacja Fouriera i
szereg Fouriera oraz właściwości delty Diraca.
Wykonywane następnie zadania pozwolą na oswojenie się studentów z ważnym z poznawczego i praktycznego
punktu widzenia zagadnieniem dualności dziedzin czasu (próbek sygnału) i częstotliwości oraz pozwolą, zdaniem
autora, na wyćwiczenie umiejętności szybkiego przewidywania charakteru i postaci widma sygnału dyskretnego
poddanego pewnym operacjom - ze znajomości właściwości DTFT.
Studenci mają okazję do syntezy wiedzy na temat związków między transformacjami i Fouriera.
Zakłada się, że  w ramach przygotowania się do ćwiczenia  ćwiczący:
" odświeży wiedzę na temat widm sygnałów ciągłych o ograniczonej energii i ograniczonej mocy średniej (widma
pojedynczych impulsów i sygnałów okresowych z materiału wykładu w semestrze drugim),
" sięgnie po materiał wykładu z przedmiotu PCPS z poprzedniego semestru w części dotyczącej DTFT,
" zapozna się z treścią niniejszej instrukcji,
" przygotuje pisemne rozwiązania problemów postawionych w instrukcji w p.5.

Transformata Fouriera czyli widmo zespolone sygnału ciągłego x(t), nieokresowego, dana jest wzorem (materiał
semestru 2-go):
"
- j&!t
X ( j&!) = x(t)e dt
+"
(1)
-"
Warunkiem istnienia tej transformaty jest bezwzględna całkowalność sygnału x(t) lub całkowalność z kwadratem 
czyli ograniczoność energii sygnału (warunki dostateczne).
Dokonajmy teraz operacji próbkowania (ang. Sampling) sygnału x(t) co Ts sekund czyli z częstotliowścią Fs = 1/ Ts w
Hz lub inaczej z pulsacją próbkowania = 2Ą Fs w rad/s. Tym samym sygnał ciągły zastępujemy sygnałem
s
dyskretnym czyli ciągiem próbek odległych o Ts. W tym celu wykorzystamy dystrybucję grzebieniową a widmo sygnału
spróbkowanego zapiszemy w postaci:
"
"
- j&!t
X ( j&!) = x(t) (t - nTs )e dt
+" "
s (2)
n=-"
-"
Z właściwości delty Diraca oraz biorąc pod uwagę, że można zmienić kolejność operacji całkowania i sumowania
dostajemy:
"
- j&!nTs
(3)
X ( j&!) = x(nTs )e
"
s
n=-"
Uwaga 1 Przypomnijmy, że w kursie przedmiotu PCPS przyjęto oznaczenia na pulsację i częstotliwość analogową
odpowiednio &! [rad/s] i F[Hz]. Małe symbole będą dotyczyćm wielkości znormalizowanych przez częstotliwość
próbkowania.
Mianowicie, powyższy wzór można przekształcić do postaci (5) podstawiając = Ts = 2ĄF/F (4)
 Ćw.2. M.S. Makowski 2/13
Nowa zmienna to - pulsacja kątowa (w rad) znormalizowana względem częstotliwości próbkowania.
W analizie sygnałów dyskretnych przyjęła się notacja, że sygnał dyskretny jest nie tyle funkcją czasu t co numeru
próbki n tzn. x[n] = x(nTs).
Widmo jest zapisywane jako funkcja zmiennej ej . Ostatecznie więc otrzymujemy widmo fourierowskie sygnału
dyskretnego x[n] o ograniczonej energii w postaci (proste przekształcenie DTFT czyli wzór analizy):
"
j - j n
X (e ) = x[n]e (5)
"
n=-"
Widmo to jest ciągłą i okresową (o okresie 2Ą na osi ) funkcją pulsacji znormalizowanej lub (inaczej i częściej)
mówimy, że jest okresowe w funkcji częstotliwości znormalizowanej f /2Ą z okresem 1.
Uwaga 2. Zazwyczaj rozpatrujemy to widmo w zakresie częstotliwości f -0.5, 0.5) lub - , ). Ze wzorów (3) i
(4) widać, że widmo to można również traktować jako funkcję częstotliwości nieznormalizowanej w Hz. Jeżeli okres
próbkowania wynosi 1s, to okres widma wynosi 1Hz.
Przekształcenie odwrotne DTFT (czyli wzór syntezy) dane jest wzorem:
1
j j n
(6)
x[n] = X (e )e d
+"
2
-
Ciąg próbek x[n] można formalnie interpretować jako zbiór współczynników szeregu Fouriera w jaki rozwinęliśmy
okresowe widmo (5). Do wyznaczenia próbek x[n] wystarczy znajomość widma w przedziale 2Ą radianów lub w
przedziale o długości 1 gdy operujemy częstotliwością znormalizowaną.
Uwaga 3. Zauważmy, że mamy tu do czynienia z zamianą dziedzin czasu (bądz
próbek) i częstotliwości w porównaniu
z klasycznym (znanym nam z kursu wykładu o sygnałach ciągłych) zastosowaniem szeregu Fouriera do okresowej
funkcji czasu.
Interpretacja  związek z przekształceniem . DTFT jako charakterystyka częstotliwościowa systemu dyskretnego.
Widmo (5) można interpretować jako transformatę sygnału x[n] na okręgu jednostkowym tj. dla z = ej . Istotnie:
j
X (e ) = X (z)
j
z=e
(7)
o ile istnieje -transformata ciągu x[n].
Przykład 1  prototypowy
Sygnał ciągły x(t): rzeczywisty, pojedynczy, unipolarny impuls prostokątny o wysokości A i szerokości � ma widmo
sin( / 2) - j t
- j t - j t
O O O
X ( j ) = A Sa( / 2)e = A sin c( / 2)e = A e
(8)
/ 2
gdzie t0 jest przesunięciem względem chwili 0.
Kształt widma  dyskusja.
Pierwsza para miejsc zerowych widma amplitudowego |X(j )| wypada dla argumentu ��/2 = ą Ą co odpowiada
pulsacjom ą 2Ą/�. Kolejne miejsca zerowe wypadają co 2Ą/� rad/s (co 1/ � Hz).
Widmo fazowe zależy od przesunięcia impulsu to względem chwili 0 (zero).
Gdy to = 0 (impuls symetryczny względem osi rzędnych) widmo fazowe przyjmuje jedynie wartości 0 oraz ą Ą (0, ą
180o). Jeżeli to = �/2 (impuls przyczynowy, zaczyna się w zerze) widmo jest odcinkami liniową funkcją pulsacji � (o
nachyleniu - �/2 gdy fazę wyrażamy w radianach lub - �/2(180o/Ą) gdy faza jest w stopniach).
Przykład 2  porównawczy
Rozważamy tu Sygnał xs(t) otrzymany po spróbkowaniu impulsu prostokątnego x(t) z przykładu wyżej, z okresem
próbkowania Ts . Przyjmijmy, że sygnał x(t) jest przyczynowy, a w punktach nieciągłości t = 0 i t = � równy A . Okres
 Ćw.2. M.S. Makowski 3/13
próbkowania jest mniejszy od czasu trwania impulsu � i wynosi: Ts = �/(N  1), gdzie N jest liczbą próbek sygnału w
zakresie czasu od 0 do �. Niech N będzie liczbą naturalną. Wówczas sygnał dyskretny x[n] jest zbiorem próbek:
ńł
A dla n = 0,1,2,..., N - 1
�ł
(9)
x[n] = �ł
�ł0 dla innych n
ół
Podstawiając (9) do wzoru (5), korzystając po drodze ze wzoru na sumę częściową szeregu geometrycznego,
otrzymujemy znany wzór na widmo N  punktowego ciągu (9)
sin( N / 2) / 2 N / 2 sin( N / 2)
j - j( N -1) /2 - j( N -1) /2
X (e ) = A e = A e
(10)
N / 2 sin( / 2) / 2 sin( / 2)
Kształt widma  dyskusja.
Widmo amplitudowe ze wzoru (10) ma postać:
sin c( N / 2) sin( N / 2)
(11)
j
X (e ) = AN = A
sin c( / 2) sin( / 2)
Dla = 0 dostajemy |X(j ) |= N. Pierwsza para miejsc zerowych widma amplitudowego wypada, gdy = ą 2Ą/N (przy
częstotliwościach ą 1/N). Kolejne miejsca zerowe powtarzają się co 2Ą/N radianów (lub co 1/N na osi f).
Widmo fazowe. Jeżeli impuls jest przyczynowy to widmo fazowe jest odcinkami liniową (o nachyleniu  (N-1)/2 gdy
fazę wyrażamy w radianach lub - (N-1)/2(180o/Ą) gdy faza jest w stopniach) funkcją pulsacji znormalizowanej �.
(odpowiednio nachylenie wynosi  (N-1)Ą bądz
 ( -1)180o gdy faza jest funkcją znormalizowanej częstotliwości )
Przypadki graniczne.
Sygnał prototypowy ciągły i jego ekwiwalent dyskretny związane są zależnością �/Ts =N  1. Po podstawieniu we
wzorach (10)-(11) zgodnie z (4) = Ts oba widma stają się funkcjami tej samej zmiennej nieznormalizowanej i
wzory (8) oraz (10) można porównać.
Rozpatrzmy widmo amplitudowe (11) w przypadku granicznym gdy � jest skończone i gdy � >> Ts (czyli �/ Ts >>1 ).
sin c( Ts (1 + / Ts ) / 2) lim TS 0, NTS
j
X (e ) = AN �ł�ł�ł�ł�ł�ł�ł�ł�ł�ł AN sinc( / 2) = A sin c( / 2)
�ł
(12)
sin c( Ts / 2) Ts
Przy ustalonym �, gdy liczba próbek rośnie (tzn. rośnie częstotliwość próbkowania fs ) widmo amplitudowe sygnału
dyskretnego zbliża się kształtem (z dokładnością do stałej ) do widma jego pierwowzoru (czyli prototypu) ciągłego.
Wynik ten jest intuicyjnie oczywisty.
Dla każdej skończonej wartości fs bądz
N widmo sygnału dyskretnego (10) powtarza się okresowo, a  ogony funkcyj
sinc nakładają się (patrz alias, aliasowanie).
Drugi przypadek graniczny ma miejsce gdy N = 2. Wówczas widmo można wyznaczyć ze wzorów (10)-(11) bądz

bezpośrednio ze wzoru definicyjnego (5), korzystając z tożsamości Eulera.
W ćwiczeniu wykorzystuje się dwa interfejsy graficzne.
W pierwszej kolejności interfejs graficzny
>> dtftpgui
(Properties of Discrete-Time Fourier Transform) do wyznaczania widm sygnałów dyskretnych oraz badania
właściwości DTFT. Ćwiczący ma możliwość wprowadzania w okienku x[n] ciągu próbek dodatniego przyczynowego
impulsu prostokątnego w formie rectangleN (ang. rectangle = prostokąt), gdzie N przyjmuje wartości od 2 do 15 i 26.
Np. wprowadzenie rectangle3 wyświetla na ekranie w oknie x[n] Original DT Signal ciąg 3-ch próbek
rozpoczynajac od próbki zerowej. Można wprowadzać skalowanie A* rectangleN. Po naciśnięciu przycisku Accept
w oknie X(ej�) obserwujemy:
Magnitude  widmo amplitudowe, Phase (deg)  widmo fazowe w stopniach,
Real  część rzeczywistą widma, Imag  część urojoną widma,
 Ćw.2. M.S. Makowski 4/13
wszystkie charakterystyki w funkcji znormalizowanej częstotliwości, w zakresie podstawowym ą 0.5 z możliwością
wyboru zakresu ą 1.
f range - do zmiany zakresu obserwacji widma.
Sygnał wejściowy można poddawać następującym operacjom:
Shift(x[n-K])  przesunięcie o ąK próbek, Fold(x[-n])  odbicie względem osi rzędnych,
Modulation AM  modulacja amplitudy; zadaje się tu częstotliwość f sygnału kosinusoidalnego rozumianą jako porcję
częstotliwości próbkowania w formacie: x[n]cos(n2pif/50). Przykładowo, wpisanie f=25 oznacza częstotliwość
znormalizowaną 25/50 = 0.5.
Self-Convolution  splot własny sygnału, Self-Correlation  funkcja autokorelacji,
Self-Product  przemnożenie sygnału przez siebie.
 Ćw.2. M.S. Makowski 5/13
Interfejs graficzny:
>> dtftgui
(Discrete Time Fourier Transform) służy do obserwacji charakterystyk częstotliwościowych systemów dyskretnych
opisanych -transmitancją. W przygotowanych polach ćwiczący wpisuje:
Num  współczynniki licznika,
Den  współczynniki mianownika -transmitancji.
5.1 Wyznaczyć, metodą ręcznych obliczeń widma następujących sygnałów dyskretnych skończonych:
a) x[n] = {1,1}
b) x[n] = {1,-1}
c) x[n] = {1,1,1}
d) x[n] = {1,1,& ,1}, (N jedynek), gdzie N jest numerem stanowiska studenta w laboratorium. Dla lab. 628
proponuje się następujące przypisanie:
Stan 1A 1B 1C 2A 2B 2C 3A 3B 4A 4B 5A 5B 6A 6B 6C
N 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2
W p.d) wystarczą obliczenia ograniczone do podania charakterystycznych punktów i wartości. Wykresy widm
będą uzyskane w laboratorium podczas ćwiczenia.
5.2 Wyznaczyć, metodą ręcznych obliczeń, sygnały powstałe z przykładów 5.1 a) - d) w wyniku operacji:
Splotu własnego,
Autokorelacji,
Przemnożenia przez sygnał harmoniczny cos(n2Ąfo),
Zastanowić się jak można wyznaczyć (przynajmniej orientacyjnie) widma powstałych sygnałów bez
wykonywania uciążliwych obliczeń ? Jak zmienią się te widma gdy przesuniemy sygnał o K próbek ? Z jakich
właściwości DTFT (twierdzeń) można tu skorzystać ?
5.3 Wyznaczyć -transmitancje systemów dyskretnych, których odpowiedzi impulsowe mają postać:
a) sygnałów z p. 5.1 a) - d)
b) sygnałów nieskończonych wykładniczo gasnących (rosnących ?); przyjmij dowolne parametry, w tym
sygnały unipolarne i naprzemiennie bipolarne.
Jak wyznaczyć charakterystyki częstotliwościowe tych systemów ? Jakie warunki musi spełniać
odpowiedz
impulsowa i -transmitancja ?
 Ćw.2. M.S. Makowski 6/13

6.1 Widma sygnałów dyskretnych
Wywołać w MATLABie interfejs graficzny >> dtftpgui
a) Wpisać sygnał dyskretny prostokątny rectangle2. Sygnał pojawi się w polu wykresu x[n] jako przyczynowy.
Zaobserwować w oknie X(ej�) widma: amplitudowe i fazowe tego sygnału i porównać z obliczeniami z
.
Obejrzeć następnie widma: rzeczywiste i urojone. Widma te mają kształt funkcji harmonicznych okresowych z
okresem 1. Istotnie po podstawieniu do wzoru (5) dostajemy:
X(ej ) = 1 + e  j = (1 + cos�)  jsin� = Re[X(ej )] + jIm[X(ej )]
Zauważmy: powyższy zapis można również interpretować jako rozłożenie w szereg Fouriera okresowego i
zespolonego  sygnału widma :
X(ej ) = F0 + Fk e  j k
gdzie k = 1 , F0 jest składową stałą  sygnału widma a F1 współczynnikiem Fouriera przy 1-szej harmonicznej.
Oczywiście, te współczynniki to właśnie próbki naszego sygnału rectangle2.
Pytanie 1: Jak należy zmodyfikować współczynniki szeregu Fouriera (czyli próbki sygnału x[n]) aby przy
zachowaniu składowej stałej i okresu powtarzania widmo stało się rzeczywiste ? Wypełnić tabelę poniżej:
nr próbki n -2 -1 0 1 2
Wartość próbki
Wskazówka: patrz p. 6.1b).
Pytanie 2: Jaka właściwość (twierdzenie) szeregu Fouriera (bądz
DTFT) mówi o zamianie dziedzin czasu
(próbek) i częstotliwości ? Odpowiedz w ramce poniżej:
właściwość szeregu Fouriera (bądz
DTFT)
b) Wpisać sygnał dyskretny prostokątny rectangle3. Porównać widma: amplitudowe i fazowe, ze swoimi
obliczeniami z . Przesuwać sygnał na osi próbek o ąK obserwując widma
amplitudowe i fazowe a następnie część rzeczywistą i urojoną.
Pytanie 3: Dla jakiego przesunięcia widmo tego sygnału staje się rzeczywiste ? Jak najłatwiej to zaobserwować ?
Czy obserwacja części urojonej jest tu dobrym sposobem ? Dlaczego ?
Podać w ramce poniżej wzór ogólny na przesunięcie sygnału dyskretnego przyczynowego (N próbek) prowadzące
do rzeczywistego widma i wartości jakie przyjmuje wówczas widmo fazowe. Czy wzór  działa dla każdego N ?
c) Wprowadzić sygnał dyskretny prostokątny przyczynowy A*rectangleN o liczbie próbek wynikającej z numeru
stanowiska komputerowego. A  dowolne. Porównać widmo sygnału z obliczeniami. Zwi (zmniejszyć)
ększyć
liczbę próbek o jeden.
Pytanie 4: Jaką wartość przyjmuje widmo amplitudowe w zerze ? Dla jakich wartości częstotliwości
znormalizowanej występuje 1-sza para miejsc zerowych widma amplitudowego? Jakie wartości przyjmuje widmo
fazowe w tych punktach ? Podać wzory ogólne w ramkach poniżej.
Wartość w zerze =
1-sza para miejsc zerowych widma amplitudowego dla f =
Wartości fazy dla 1-szego miejsca zerowego widma amplitudowego =
 Ćw.2. M.S. Makowski 7/13
d) Wprowadzić sygnał dyskretny prostokątny przyczynowy rectangleN o liczbie próbek wynikającej z numeru
stanowiska komputerowego. Poddać sygnał operacjom splotu własnego a następnie autokorelacji. Jaki kształt mają
powstałe sygnały ?
Szkice sygnałów splotu własnego i autokorelacji dla rectangleN
Skomentować poniżej czym różnią się sygnały splotu własnego i autokorelacji oraz jak to rzutuje na ich widma
amplitudowe i fazowe.
Komentarz:
Porównać charakterystyczne wartości widma: sygnału prostokątnego parzystego o N próbkach oraz jego sygnału
korelacji własnej. Z jakiej właściwości DTFT korzystamy odpowiadając na pytanie poniżej
Pytanie 5: Jakie są stosunki wartości widm amplitudowych tych sygnałów w zerze oraz dla kolejnych lokalnych
maksimów ? Jakie wartości powinno przyjmować widmo fazowe a jaki jest wynik obliczeń narzędzia dtftpgui ?
relacja widm amplitudowych
relacja widm fazowych
widmo fazowe sygnału autokorelacji; komentarz nt. dokładności
obliczeń
właściwość DTFT
e) Wpisać sygnał rectangleN (N = 26) oraz wprowadzić modulację AM (f = 1). Zobserwować jak wygląda uzyskany
sygnał y[n]. Zwrócić uwagę na relację częstotliwości sygnału kosinusoidalnego oraz częstotliwości próbkowania.
Zwiększać częstotliwość sygnału harmonicznego, co jeden, do 5-ciu. Obserwować widmo amplitudowe sygnału
y[n]. Odczytywać wartości maksymalne widma amplitudowego oraz ich położenie na osi częstotliwości.
Pytanie 6: Podsumować obserwacje poniżej. Ilustracją jakiej (jakich) właściwości DTFT jest powyższy
eksperyment ?
wpływ AM na  wysokość widma amplitudowego
położenia maksimów widma amplitudowego
właściwość DTFT (twierdzenie)
 Ćw.2. M.S. Makowski 8/13
f) Wpisać sygnał rectangleN (N = 26) oraz wprowadzić modulację AM (f = 25). Zobserwować jak wygląda
uzyskany sygnał y[n]. Zwrócić ponownie uwagę na relację częstotliwości sygnału kosinusoidalnego oraz
częstotliwości próbkowania.
Szkic sygnału y[n].
Pytanie 7: Co  stało się z położeniem widma amplitudowego po modulacji ? Ile wynoszą suma kumulowana oraz
wartość średnia otrzymanego sygnału y[n] ? Jak ten wynik  przenosi się na widmo amplitudowe sygnału ?
Wpływ AM na położenie widma amplitudowego y[n].
Suma kumulowana =
Wartość średnia =
Sumę kumulowaną (oraz wartość średnią) y[n] można odczytać na
widmie amplitudowym:
g) Wprowadzić sygnał y[n] = {1,-1} poprzez rectangle2 oraz wprowadzenie modulacji AM (f = 25). Obserwować
widma tego sygnału porównując z obliczeniami z .
Ustosunkować się do Pytania 7 z p.6.1f).
Szkic widma amplitudowego i fazowego.
Uwagi i spostrzeżenia
h) Uzyskać dyskretny sygnał przyczynowy sinc poprzez wprowadzenie sincoddM, gdzie M = (N  1)/2 jest liczbą
nieparzystą. Np. wprowadzenie sincodd1 spowoduje wyświetlenie w oknie x[n] sygnału przyczynowego
złożonego z N = 2*1+1 = 3 próbek.
Dostępne są sygnały: sincodd1, sincodd3, sincodd5, sincodd7, sincodd9, sincodd11, sincodd13.
Wprowadzać kolejno sygnały z dostępnej listy. Operacją shift przesuwać sygnały sinc w lewo do uzyskania
parzystości. Próbki sygnału są tak dobrane, że oprócz próbki zerowej wystepują jedynie próbki dla nieparzystych n
a ich wysokości maleją z numerem próbki.
W tych warunkach obserwować widmo rzeczywiste Real sygnału.
Pytanie 8: Jak zmieni się kształt tego widma gdy liczba próbek sinc wzrośnie nieograniczenie ? Dlaczego ?
Z jakiej właściwości DTFT tu korzystamy ?
Szkic widma rzeczywistego dla wybranego M, sinc jest parzysty
 Ćw.2. M.S. Makowski 9/13
Szkic widma rzeczywistego dla M
Właściwość DTFT
i) Wprowadzić sygnał sinc a nastepnie dokonać operacji przemnożenia sygnału przez siebie Self Product.
Obserwować widmo amplitudowe.
Pytanie 9: Jak zmieni się kształt tego widma gdy liczba próbek sinc wzrośnie nieograniczenie ? Dlaczego ?
Z jakiej właściwości DTFT tu korzystamy ?
Szkic widma amplitudowego dla wybranego M, po operacji Self
Product:
Szkic widma amplitudowego dla M , po operacji Self Product:
Właściwość DTFT
6.2 Charakterystyki częstotliwościowe systemów dyskretnych
Wywołać w MATLABie interfejs graficzny >> dtftgui
a) wprowadzić w okienkach Num licznik) oraz Den mianownik) współczynniki -transmitancji systemów
dyskretnych o odpowiedziach impulsowych jak w p.5.3a) .
Porównać otrzymane charakterystyki czestotliwościowe z otrzymanymi w p.6.1 powyżej.
Miejsce na wpisanie -transmitancji
 Ćw.2. M.S. Makowski 10/13
b) Charakterystyki częstotliwościowe systemów o nieskończonych odpowiedziach impulsowych.
Generalnie rzecz biorąc ze wzorów (5) oraz (7) wynika, że DTFT (czyli w rozważanym przypadku charakterystyka
częstotliwościowa) istnieje wówczas, gdy istnieje suma z prawej strony przywołanych zależności.
Rozważmy klasyczny przykład transmitancji wymiernej, jako funkcji zmiennej ej :
"
1
j n - j n
H(e ) = a u[n]e = o ile a < 1 (13)
"
- j
1- ae
n=0
Gdzie u[n] jest skokiem jednostkowym.
Charakterystyka amplitudowa wynosi:
1
j
H(e ) =
(14)
2
1 - 2a cos + a
Zadanie 1. Przyjąć a z zakresu (-1, 1). Wyznaczyć -transmitancję a następnie charakterystyki częstotliwościowe.
Miejsce na wpisanie -transmitancji
Charakterystyka amplitudowa
Charakterystyka fazowa
Zadanie 2. Przyjąć a z Zadania 1, lecz ze zmienionym znakiem. Wyznaczyć -transmitancję a następnie
charakterystyki częstotliwościowe.
Miejsce na wpisanie -transmitancji
Charakterystyka amplitudowa
Charakterystyka fazowa
 Ćw.2. M.S. Makowski 11/13
Pytanie 10: Jakiego rodzaju filtrami są systemy z Zadań 1, 2 (dolnoprzepustowymi, górnoprzepustowymi,
środkowoprzepustowymi ?) Jakich operacji w dziedzinie czasu (próbek) dokonują te systemy ? (różniczkowanie,
całkowanie ?). Jakie wartości graniczne (maks. i min.) przyjmuje charakterystyka amplitudowa ? Podać wzory.
Zadanie 1 dotyczy filtru &
Operacja w dziedzinie czasu &
Zadanie 2 dotyczy filtru &
Operacja w dziedzinie czasu &
Wzór na maksimum ch-ki amplitudowej
Wzór na minimum ch-ki amplitudowej
Zadanie 3. Przyjąć a większe co do wartości bezwzględnej od jedności. Uruchomić obliczenia.
Zaznaczyć odpowiedzi: poprawne (") i błędne (�).
- Charakterystyka częstotliwościowa istnieje i dana jest wzorem (13)
- Charakterystyka częstotliwościowa istnieje i dana jest innym wzorem niż (13)
- Charakterystyka częstotliwościowa nie istnieje a to, co rysuje program, jest wynikiem błędów numerycznych
- Charakterystyka częstotliwościowa nie istnieje, program dtftgui  bezmyślnie podstawia do wzoru (13)
- Obliczenia numeryczne ze swej natury dotyczą skończonych ciągów próbek więc mimo, że odpowiedz

impulsowa systemu nie jest (bezwzględnie) sumowalna to otrzymujemy pewien wynik.
Pytanie 11: Jakie warunki muszą spełniać: odpowiedz
impulsowa i -transmitancja, aby istniała charakterystyka
częstotliwościowa systemu dyskretnego ?
Nazwisko i imię studenta & & & & & & & & & & & & & & & & & ..Data & & & & .........................
Dzień tygodnia...& & & & & & & ....& & & & & & & .....& & ...godz............................................
 Ćw.2. M.S. Makowski 12/13
 Ćw.2. M.S. Makowski 13/13