CLF I







6. OBLICZANIE
WARTOŚCI ŚREDNIEJ POMIARÓW O NIEJEDNAKOWEJ DOKŁADNOŚCI

Czasami zdarza się, że mamy do
dyspozycji pomiary lub kilka serii pomiarowych pewnej wielkości
wykonanych z różną dokładnością. Przyczyną mogą być
różne metody pomiarowe, istotne różnice w warunkach
wykonywania pomiarów lub różna liczba pomiarów. Szacowanie
wartości wielkości rzeczywistej poprzez średnią arytmetyczną
prowadzi wówczas do nieusprawiedliwionego równouprawnienia
pomiarów o różnej dokładności. Najbardziej wiarygodną (wyprowadzoną z tzw.
metody największej wiarygodności) oceną wartości rzeczywistej
jest wówczas tzw. średnia ważona ,
zdefiniowana wzorem



(51)

gdzie: xi - wynik i-tego pomiaru, wi - waga i-tego pomiaru, n - liczba pomiarów.

Wagę wi
definiujemy jako odwrotność kwadratu niepewności przypadkowej
lub systematycznej. Przy tak zdefiniowanej średniej
ważonej, największy wpływ na wynik końcowy mają pomiary o
największej wadze, a więc obarczone najmniejszą niepewnością
pomiarową.

Jeśli dysponujemy kilkoma
seriami pomiarowymi o różnej dokładności, wówczas stosujemy
wzór analogiczny do wzoru (51)



(52)

gdzie: k - liczba serii pomiarowych, - średnia ważona k-serii
pomiarowych, - średnia z 1-tej
serii pomiarowej, wl- waga 1-tej
serii.

Przyczyną niejednakowych
dokładności kilku serii pomiarowych może być również
różna liczba pomiarów w kolejnych seriach. Wówczas waga
statystyczna danej serii jest proporcjonalna do liczby
pomiarów w niej zawartych.

Niepewność pomiarową średniej
ważonej można łatwo policzyć na podstawie znanych już
wzorów określających niepewność systematyczną, czy też
przypadkową wielkości złożonej.

I tak, gdy wagę pomiaru wyznacza
nam odwrotność kwadratu niepewności systematycznej (wi=l/(D xi)2), wówczas
niepewność systematyczna średniej ważonej przybierze postać



(53)

Niepewność przypadkową
średniej ważonej sw uzyskamy stosując wzór na przenoszenie odchyleń
standardowych wielkości złożonej pamiętając, że w tym
przypadku wagę serii pomiarowej określa odwrotność kwadratu
odchylenia standardowego



(54)

czyli



gdzie: si - odchylenie standardowe wartości średniej i-tej
serii pomiarowej.

Możliwe jest również
określenie średniej ważonej i jej niepewności, gdy nie znamy
niepewności poszczególnych pomiarów lub serii pomiarowych, a
jedynie potrafimy oszacować wielkość proporcjonalną do
niepewności pomiarowej. Wówczas wagi określamy z
dokładnością do współczynnika proporcjonalności jako



(55)

Wzór na średnią ważoną
pozostaje ten sam (51), a jej niepewność określamy poprzez
odchylenia poszczególnych pomiarów serii od średniej ważonej



(56)

Przykład

Wykonano pomiary położenia
widma I, II i III rzędu w siatce dyfrakcyjnej oświetlonej
światłem sodowym, otrzymując następujące wartości kątów
ugięcia: 6�50', 13�45', 20�50'. Niepewność systematyczna
wyznaczenia kątów składa się z dokładności odczytu kąta
wynoszącej 1', do której musimy dodać połowę szerokości
kątowej obrazu szczeliny.

Ostatecznie niepewność
systematyczna odczytu kąta dla I, II i III rzędu wynosi
odpowiednio: 10', 18', 40'. Należy wyznaczyć stałą siatki
dyfrakcyjnej.

Stałą siatki dyfrakcyjnej
obliczamy ze wzoru



gdzie: k - rząd widma, l - długość
fali światła sodowego i j k - kąt ugięcia. Niepewność
systematyczną stałej siatki należy oszacować na podstawie
zależności



Niepewności systematyczne
wyznaczenia kątów w przeliczeniu na radiany wynoszą: 0,0016,
0,0022, 0,0016 rad.

Tak więc wartości stałych
siatki dyfrakcyjnej dla trzech kolejnych rzędów widma są
równe

dI = (5075 +/- 125) nm,

dII = (4987 +/- 107) nm,

dIII = (4990 t 159) nm.

Końcowy wynik na stałą siatki
uzyskamy licząc średnią ważoną na podstawie wzoru (51) i jej
niepewność systematyczną z zależności (53)

= (502 +/- 12) 10 nm.