Weryfikacja modelu
Kryteria weryfikacji modelu:
" dopasowanie modelu,
" istotność wpływu zmiennych objaśniających na zmienną
objaśnianą,
" własności składnika losowego.
Dopasowanie modelu:
" Współczynnik zbieżności
n
2
"ei
2 i=1
Õ =
n
2
"( yi - y)
i =1
" Współczynnik determinacji
n
2
"( w
i - y)
i=1
R2 =
n
2
"( yi - y)
i=1
2
Uwaga:
R2 + Õ =1
" Skorygowany współczynnik determinacji
n -1
2
R = 1- (1- R2) Å"
n - k
gdzie k  liczba zmiennych objaśniających w modelu
" Współczynnik korelacji wielorakiej
R = R2
Przykład:
x1i x2i yi
i
1 0 0 4,5
2 1 0 8,5
3 0 1 7,5
4 1 1 9,5
5 2 1 13,5
6 1 2 11,5
Postać analityczna modelu
w
= a0 + â1x1 + â2x2
Wektor parametrów strukturalnych
â0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚â śł
â =
1
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
2
ðÅ‚â ûÅ‚
Macierz wartości zmiennych objaśniających i wektor
obserwacji zmiennej objaśnianej:
1 0 0 4,5
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚1 1 0śł ïÅ‚ śł
8,5
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
1 0 1 7,5
X =
ïÅ‚1 1 1 śł Y = ïÅ‚ śł
9,5
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚1 2 1 śł ïÅ‚13,5śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚
ðÅ‚1 1 2ûÅ‚ ðÅ‚11,5śł
ûÅ‚
Parametry modelu można oszacować wykorzystując KMNK.
Wtedy
-1
T T
â = (X X ) X Y
Zatem
1 1 1 1 1 1
îÅ‚ Å‚Å‚
T ïÅ‚0 1 0 1 2 1 śł
X =
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
ðÅ‚0 0 1 1 1 2 śł
ûÅ‚
Wtedy
6 5 5
îÅ‚ Å‚Å‚
T ïÅ‚5 7 5śł
X Å" X =
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚5 5 7ûÅ‚
Macierz odwrotna
24 -10 -10
îÅ‚ Å‚Å‚
-1 1
T ïÅ‚-10 17 - 5śł
(X Å" X ) = Å"
ïÅ‚ śł
44
ïÅ‚ śł
ðÅ‚-10 - 5 17ûÅ‚
Wektor oszacowań parametrów strukturalnych
4,5
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚8,5 śł
ïÅ‚ śł
24 -10 -10 1 1 1 1 1 1 5
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚
1
ïÅ‚-10 17 - 5śłÅ" ïÅ‚0 1 0 1 2 1śł Å"ïÅ‚7,5 śł = ïÅ‚3,25śł
â = Å"
śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
44
ïÅ‚-10 - 5 17ûÅ‚ ðÅ‚0 0 1 1 1 2ûÅ‚ ïÅ‚9,5 śł ðÅ‚1,75śł
śł ïÅ‚ śł ïÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚13,5śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
ðÅ‚11,5śł
ûÅ‚
Metodę KMNK pozwala otrzymać następujący model
liniowy z trzema zmiennymi objaśniającymi:
w
i = 5 + 3,25Å" x1i +1,75Å" x2i
dla i=1,2,...,6.
Dla przykładu oszacujemy wartość zmiennej resztowej dla
i=4.
Wartość teoretyczna dla i=4:
w
4 = 5 + 3,25Å"1+1,75Å"1 = 10
StÄ…d
e4 = y4 - w
4 = 9,5 -10 = -0,5
Tabela zmiennych resztowych
yi w
i ei
i (yi - y)2 ei2
1 4,5 21,78 5 -0,50 0,2500
2 8,5 0,44 8,25 0,25 0,0625
3 7,5 2,78 6,75 0,75 0,5625
4 9,5 0,11 10 -0,50 0,2500
5 13,5 18,78 13,25 0,25 0,0625
6 11,5 5,44 11,75 -0,25 0,0625
55 49,33 1,25
Współczynnik zbieżności
1,25
2
Õ = = 0,025
49,33
Współczynnik determinacji
R2 =1- 0,025 = 0,975
Skorygowany współczynnik determinacji
6 -1
2
R = 1- (1- 0,975) Å" = 0,969
6 - 2
Współczynnik korelacji wielorakiej
R = 0,975 = 0,987
Istotność wpływu zmiennych objaśniających na
zmienną objaśnianą.
Weryfikacja hipotezy o współczynniku korelacji
wielorakiej (analiza wariancji w regresji)
Problem testowania:
H0 : R = 0 przeciw H1 : R `" 0
Statystyka testowa:
R2 n - k -1
F = Å"
1- R2 k
Hipotezę H odrzucamy jeżeli F>F , gdzie F oznacza
0 Ä… Ä…
wartość odczytaną z tablic rozkładu F-Snedecora przy n-k-1
oraz k stopniach swobody i poziomie istotności ą=0,05 (k 
liczba zmiennych objaśniających strukturalnych modelu)
Weryfikacja hipotezy o istotności i-tego parametru
strukturalnego modelu.
Problem testowania:
H0 : ai = 0 przeciw H1 : ai `" 0
Statystyka testowa:
| âi |
ti =
Si
gdzie S oznacza standardowy błąd oceny i-tego parametru
i
strukturalnego.
Hipotezę H odrzucamy jeżeli t >t , gdzie t oznacza wartość
0 i Ä… Ä…
odczytaną z tablic rozkładu t-Studenta przy n-k-1 stopniach
swobody i poziomie istotności ą=0,05 .
Wariancja reszt w modelu:
n
1
2 2
Ć
à =
"e
i
n - k
i =1
Odchylenie standardowe reszt modelu (błąd modelu)
n
1
2
Ć
à =
"e
i
n - k
i=1
Macierz kowariancji parametrów strukturalnych modelu
-1
2 T
Ć
D2(â) = Ã (X X )
2
îÅ‚S0 Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
S12
ïÅ‚ śł
D2(â) =
2
ïÅ‚ śł
S2
ïÅ‚ śł
2
S3 śł
ïÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Właściwości składnika losowego
Badanie własności składnika losowego:
" autokorelacja,
" losowość,
" stabilność wariancji,
" rozkład normalny,
" symetria.