ÿþW y k Ba d 7
W e r y f i k a c j a j e d n o r ó w n a n i o w e g o m o d e l u l i n i o w e g o 1
W e r y f i k a c j a j e d n o r ó w n a n i o w e g o m o d e l u l i n i o w e g o s z a c o w a n e g o k l a s y c z n m e t o d n a j m n i e j s z y c h
k w a d r a t ó w p o l e g a n a z b a d a n i u :
" m e r y t o r y c z n e j o c e n y s e n s o w n o [c i o c e n p a r a m e t r ó w s t r u k t u r a l n y c h m o d e l u ,
" d o p a s o w a n i a m o d e l u d o d a n y c h e m p i r y c z n y c h ,
" i s t o t n o [c i p a r a m e t r ó w s t r u k t u r a l n y c h m o d e l u ,
" r o z k Ba d u s k Ba d n i k a l o s o w e g o .
U z y s k a n e w w y n i k u e s t y m a c j i s z a c u n k i p a r a m e t r ó w m o d e l u w s k a z y w a p o w i n n y k i e r u n e k
z a l e \n o [c i m i d z y z m i e n n o b j a [n i a n i o d p o w i e d n i z m i e n n o b j a [n i a j c , z g o d n y z z a l e \n o [c i
w y n i k a j c z d a n y c h e m p i r y c z n y c h , t o z n a c z y , \e w s p ó Bc z y n n i k k o r e l a c j i p o m i d z y t y m i z m i e n n y m i
i z n a k o c e n y p a r a m e t r u p o w i n n y b y j e d n a k o w e . W p r z y p a d k u z b y t d u \e j k o r e l a c j i p o m i d z y
z m i e n n y m i o b j a [n i a j c y m i w p r o w a d z o n y m i d o m o d e l u t a p r a w i d Bo w o [ m o \e z o s t a z a k Bó c o n a . J e s t
t o t a k z w a n e z j a w i s k o k o i n c y d e n c j i . W t a k i e j s y t u a c j i n a l e \y z m o d y f i k o w a z e s t a w z m i e n n y c h
o b j a [n i a j c y c h .
D o p a s o w a n i e m o d e l u d o d a n y c h e m p i r y c z n y c h o c e n i a s i n a p o d s t a w i e w s p ó Bc z y n n i k a z g o d n o [c i ,
k t ó r y j e s t u n o r m o w a n w i e l k o [c i m i e r z c r o z p r o s z e n i e p u n k t ó w e m p i r y c z n y c h w o k ó B o s z a c o w a n e j
f u n k c j i . W y r a \a s i o n w z o r e m :
2
n k
ëø öø
"ìø y t - "a x t k ÷ø S
k
ìø ÷ø 2
t = 1 j = 1
íø øø
( 7 . 1 )
Õ2 = =
n 2
S y
2
"( y - y )
t
t = 1
2
g d z i e : S - w a r i a n c j a w e k t o r a r e s z t ,
2
S y - w a r i a n c j a z m i e n n e j o b j a [n i a n e j ,
U \y w a s i r ó w n i e \ w s p ó Bc z y n n i k a d e t e r m i n a c j i ( k o r e l a c j i w i e l o r a k i e j ) :
2
( 7 . 2 )
R 2 = 1 - Õ
o r a z , z b l i \o n e g o d o p o w y \s z y c h , w i n t e r p r e t a c j i , w s p ó Bc z y n n i k a z m i e n n o [c i p r z y p a d k o w e j ( l o s o w e j ) :
S
W = ( 7 . 3 )
y
1
W y k Ba d z o s t a B p r z y g o t o w a n y n a p o d s t a w i e K . H a n u s i k , U . Aa n g o w s k a , M o d e l o w a n i e e k o n o m e t r y c z n e p r o c e s ó w
s p o Be c z n o - g o s p o d a r c z y c h , U O O p o l e 1 9 9 4
d r D u aa n B o g d a n o v 1
E k o n o m e t r i a 1
2 2
W s p ó Bc z y n n i k z m i e n n o [c i Õ p r z y b i e r a w a r t o [c i z p r z e d z i a Bu [ 0 , l ] . P r z y p a d e k Õ = 1
o t r z y m u j e m y , g d y :
k
y = x i j
( 7 . 4 )
"a
j
j = 1
c o o z n a c z a , \e n i e m a \a d n e j z a l e \n o [c i z m i e n n e j o b j a [n i a n e j o d z m i e n n y c h o b j a [n i a j c y c h .
2
Õ
P r z y p a d e k = 0 o t r z y m u j e m y , g d y w s z y s t k i e w a r t o [c i e m p i r y c z n e z m i e n n e j o b j a [n i a n e j s t o \s a m e
z j e j w a r t o [c i a m i t e o r e t y c z n y m i , t o z n a c z y w y z n a c z o n y m i z m o d e l u .
W s p ó Bc z y n n i k z g o d n o [c i w p r z y b l i \e n i u p o k a z u j e , j a k a c z [ z m i e n n o [c i z m i e n n e j o b j a [n i a n e j n i e
z o s t a Ba p r z e z m o d e l o b j a [n i o n a .
I n t e r p r e t a c j a w s p ó Bc z y n n i k a d e t e r m i n a c j i j e s t o d w r o t n a . W l i t e r a t u r z e p r z e d m i o t u u \y w a s i
c z a s e m w s p ó Bc z y n n i k a R = R 2 , n o s z c e g o n a z w w s p ó Bc z y n n i k a k o r e l a c j i w i e l o r a k i e j .
W s p ó Bc z y n n i k z m i e n n o [c i l o s o w e j i n f o r m u j e , j a k c z [ [r e d n i e j w a r t o [c i z m i e n n e j o b j a [n i a n e j
s t a n o w i o d c h y l e n i e s t a n d a r d o w e m o d e l u . L e p s z e d o p a s o w a n i e m o d e l u d o d a n y c h e m p i r y c z n y c h
o d p o w i a d a b l i \s z e j z e r u w a r t o [c i m i e r n i k a .
W p r o c e s i e w e r y f i k a c j i p o r ó w n u j e m y w a r t o [c i w s p ó Bc z y n n i k ó w w y z n a c z o n e d l a a n a l i z o w a n e g o
m o d e l u z w a r t o [c i a m i g r a n i c z n y m i . W a r t o [c i k r y t y c z n e p r z y j m o w a n e s o b l i g a t o r y j n i e p r z e z
p r o w a d z c e g o b a d a n i e , n a p o z i o m i e g w a r a n t u j c y m p o \d a n e d o p a s o w a n i e m o d e l u d o d a n y c h
e m p i r y c z n y c h .
W d a l s z e j c z [c i w e r y f i k a c j i m o d e l u e k o n o m e t r y c z n e g o w y k o r z y s t y w a n a j e s t t e o r i a t e s t o w a n i a
h i p o t e z s t a t y s t y c z n y c h . P o d s t a w y t e o r i i w e r y f i k a c j i h i p o t e z p r z e d s t a w i o n e s m i d z y i n n y m i
w p o d r c z n i k a c h d o s t a t y s t y k i 2 .
D o b a d a n i a i s t o t n o [c i p a r a m e t r ó w s t r u k t u r a l n y c h m o d e l u m o \n a w y k o r z y s t a n a s t p u j c f u n k c j
t e s t o w ( p o r . w y k Ba d 6 , t w i e r d z e n i e 6 ) :
a i - ±
i
f ( ±i ) =
( 7 . 5 )
s c i i
g d z i e : a i - s z a c u n e k i - t e g o p a r a m e t r u ,
±i - j e g o w a r t o [ r z e c z y w i s t a ( i = 1 , 2 , . . . m ) ,
s c i i - b Bd y s t a n d a r d o w e o c e n p a r a m e t r ó w .
2
Z . H e l l w i g , E l e m e n t y r a c h u n k u p r a w d o p o d o b i e Ds t w a i s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j , P W N W a r s z a w a 1 9 8 7 ,
s . 2 5 3 i n a s t . A . L u s z n i e w i c z , T . S Ba b y , S t a t y s t y k a s t o s o w a n a , P W E W a r s z a w a 1 9 9 6 , s . 1 3 8 i n a s t . S . O s t a s i e w i c z ,
Z . R u s n a k , U . S i e d l e c k a W y d . A E w e W r o c Ba w i u , W r o c Ba w 1 9 9 8 , s . 2 3 5 i n a s t .
d r D u aa n B o g d a n o v 2
E k o n o m e t r i a 1
Z m i e n n a l o s o w a t ( ±i ) m a r o z k Ba d S t u d e n t a o n - k s t o p n i a c h s w o b o d y , g d z i e k o z n a c z a i l o [
s z a c o w a n y c h p a r a m e t r ó w , n - l i c z e b n o [ p r ó b y .
B a d a n i e i s t o t n o [c i p a r a m e t r ó w p o l e g a n a s p r a w d z e n i u , c z y r ó \n i s i o n e i s t o t n i e o d z e r a .
S t a w i a m y h i p o t e z z e r o w , \e r z e c z y w i s t a w a r t o [ p a r a m e t r u j e s t r ó w n a z e r o :
H 0 : ±i = 0
w o b e c h i p o t e z y a l t e r n a t y w n e j , \e r z e c z y w i s t a w a r t o [ p a r a m e t r u r ó \n i s i o d z e r a :
H 1 : ±i `" 0
H i p o t e z a H 0 p r o w a d z i d o z a l e \n o [c i :
a i
f ( 0 ) =
( 7 . 6 )
s c i i
*
U s t a l a m y z r o z k Ba d u S t u d e n t a o n - k s t o p n i a c h s w o b o d y w a r t o [ k r y t y c z n f d l a p r z y j t e g o
p o z i o m u i s t o t n o [c i µ . J e s t t o t a k a w a r t o [, \e p r a w d o p o d o b i e Ds t w o , i \ z m i e n n a l o s o w a f p r z y j m i e
*
w a r t o [ w i k s z n i \ f , j e s t m n i e j s z e n i \ µ .
*
J e \e l i f ( 0 ) > f , t o o z n a c z a , \e z a s z Bo z d a r z e n i e m a Bo p r a w d o p o d o b n e , c z y l i i n a c z e j m ó w i c ,
z d a r z e n i e , \e r z e c z y w i s t a w a r t o [ p a r a m e t r u w y n o s i z e r o , j e s t m a Bo p r a w d o p o d o b n e . W t e j s y t u a c j i
h i p o t e z z e r o w o d r z u c a m y n a r z e c z h i p o t e z y a l t e r n a t y w n e j i p r z y j m u j e m y , \e w a r t o [ p a r a m e t r u
i s t o t n i e r ó \n i s i o d z e r a .
*
W p r z e c i w n y m p r z y p a d k u , t o j e s t g d y f ( 0 ) d" f , n i e m a p o d s t a w d o o d r z u c e n i a h i p o t e z y
z e r o w e j . O z n a c z a t o k o n i e c z n o [ m o d y f i k a c j i z e s t a w u z m i e n n y c h o b j a [n i a j c y c h m o d e l u .
P r z e d s t a w i o n e b a d a n i e d o t y c z y i s t o t n o [c i p o j e d y n c z y c h p a r a m e t r ó w m o d e l u . N a t o m i a s t p r z y
b a d a n i u i s t o t n o [c i c a Be g o w e k t o r a p a r a m e t r ó w w e r y f i k o w a n a j e s t h i p o t e z a z a k Ba d a j c a , \e w s z y s t k i e
p a r a m e t r y s t r u k t u r a l n e m o d e l u o p r ó c z w y r a z u w o l n e g o s r ó w n e z e r u . N a p o d s t a w i e t w i e r d z e n i a 7
p r z e d s t a w i o n e g o n a w y k Ba d z i e 6 z m i e n n a l o s o w a :
1
R 2
k - 1
f = ( 7 . 7 )
1
( 1 - R 2 )
n - k
m a r o z k Ba d F i s h e r a - S n e d e c o r a o k - 1 i n - k s t o p n i a c h s w o b o d y .
d r D u aa n B o g d a n o v 3
E k o n o m e t r i a 1
S t a w i a m y h i p o t e z
H 0 : n i e z a c h o d z i z a l e \n o [ k o r e l a c y j n a p o m i d z y z m i e n n o b j a [n i a n i z m i e n n y m i
o b j a [n i a j c y m i w o b e c h i p o t e z y a l t e r n a t y w n e j ,
H 1 : z a c h o d z i z a l e \n o [ k o r e l a c y j n a p o m i d z y z m i e n n o b j a [n i a n i z m i e n n y m i o b j a [n i a j c y m i .
*
D l a d a n e g o p o z i o m u i s t o t n o [c i o d c z y t u j e m y z t a b l i c w a r t o [ k r y t y c z n f . J e \e l i w y l i c z o n e
f j e s t w i k s z e o d w a r t o [c i k r y t y c z n e j , t o z n a c z y , \e h i p o t e z a z e r o w a p r o w a d z i d o z d a r z e n i a m a Bo
p r a w d o p o d o b n e g o i n a l e \y j o d r z u c i n a r z e c z h i p o t e z y a l t e r n a t y w n e j . W p r z e c i w n y m p r z y p a d k u n i e
m a p o d s t a w d o o d r z u c e n i a h i p o t e z y z e r o w e j i p r z y j m u j e m y w t e d y , \e z m i e n n e o b j a [n i a j c e
w a n a l i z o w a n y m m o d e l u n i e w p By w a j i s t o t n i e n a k s z t a Bt o w a n i e s i z m i e n n e j o b j a [n i a n e j .
K o l e j n y m e l e m e n t e m w e r y f i k a c j i j e s t b a d a n i e r o z k Ba d u s k Ba d n i k a l o s o w e g o m o d e l u . P o l e g a o n o
n a s p r a w d z e n i u p r a w d z i w o [c i z a Bo \e D, k t ó r e p o z w o l i By n a z a s t o s o w a n i e d o s z a c o w a n i a m o d e l u
k l a s y c z n e j m e t o d y n a j m n i e j s z y c h k w a d r a t ó w . N a p o d s t a w i e w c z e [n i e j s z y c h r o z w a \a D t e o r e t y c z n y c h
w i e m y , \e w e k t o r r e s z t m o d e l u , k t ó r y j e s t e m p i r y c z n r e a l i z a c j s k Ba d n i k a l o s o w e g o , p o w i n i e n b y
r e a l i z a c j z m i e n n e j l o s o w e j o r o z k Ba d z i e n o r m a l n y m N ( 0 , Ã ) . W c e l u s p r a w d z e n i a , c z y s k Ba d n i k i
l o s o w e µt ; s p e Bn i a j p r z y j t e a p r i o r i z a Bo \e n i a , p r z e d s t a w i m y z a p r o p o n o w a n p r z e z S . B a r t o s i e w i c z
p r o c e d u r b a d a n i a s k Ba d n i k a l o s o w e g o n a p o d s t a w i e w e k t o r a r e s z t m o d e l u 3 . I s t o t n c e c h o p i s y w a n e j
m e t o d y j e s t t o , \e s p r a w d z a n e s k o l e j n o w e d Bu g s t o p n i a z Bo \o n o [c i w Ba s n o [c i , k t ó r e p o w i n i e n
s p e Bn i a w e k t o r r e s z t , j e \e l i s k Ba d n i k i l o s o w e s p e Bn i a j w a r u n k i s t o s o w a l n o [c i m e t o d y n a j m n i e j s z y c h
k w a d r a t ó w .
B a d a n i e w e k t o r a r e s z t r o z p o c z y n a a n a l i z a s y m e t r i i j e g o r o z k Ba d u . R o z k Ba d n o r m a l n y j e s t
s y m e t r y c z n y , a w i c w w e k t o r z e r e s z t p r a w d o p o d o b i e Ds t w o w y s t p o w a n i a r e s z t d o d a t n i c h i u j e m n y c h
j e s t j e d n a k o w e . S t a w i a n a j e s t h i p o t e z a z e r o w a
H 0 : P ( e t > 0 ) = P ( e t < 0 )
w o b e c h i p o t e z y a l t e r n a t y w n e j
H 1 : P ( e t > 0 ) `" P ( e t < 0 )
D o s p r a w d z e n i a h i p o t e z y z e r o w e j , s t o s o w a n a j e s t s t a t y s t y k a :
m 1
-
n 2
f =
( 7 . 8 )
m m
ëø1 - öø
ìø ÷ø
n n
íø øø
n - 1
g d z i e n j e s t l i c z b o b s e r w a c j i , m l i c z b r e s z t d o d a t n i c h . D l a d o s t a t e c z n i e d u \e j p r ó b y s t a t y s t y k a f
3
S . B a r t o s i e w i c z , E k o n o m e t r i a , P W E W a r s z a w a 1 9 7 8 r . s . 1 3 3 i n a s t .
d r D u aa n B o g d a n o v 4
E k o n o m e t r i a 1
*
m a r o z k Ba d z b l i \o n y d o n o r m a l n e g o . J e \e l i d l a p r z y j t e g o p o z i o m u i s t o t n o [c i w a r t o [ k r y t y c z n a f
o d c z y t a n a z t a b l i c j e s t w i k s z a o d o b l i c z o n e j t o h i p o t e z z e r o w n a l e \y p r z y j .
D l a m a By c h p r ó b s t a t y s t y k a f m a r o z k Ba d S t u d e n t a o n - 1 s t o p n i a c h s w o b o d y . P o n a d t o
w p r z y p a d k u m a By c h p r ó b s t o s u j e s i t e s t s y m e t r i i o p a r t y n a z a Bo \e n i u , \e l i c z b a r e s z t d o d a t n i c h j e s t
z m i e n n l o s o w o r o z k Ba d z i e d w u m i a n o w y m z p a r a m e t r a m i p = q = 1 / 2 . O p r a c o w a n e s t a b l i c e
d o t e g o t e s t u p o d a j c e d l a u s t a l o n e g o p o z i o m u i s t o t n o [c i p r z e d z i a B, w k t ó r y m p o w i n n a s i z n a l e z
l i c z b a r e s z t d o d a t n i c h , a b y w e k t o r r e s z t m o \n a b y Bo u z n a z a s y m e t r y c z n y .
W p r z y p a d k u m o d e l i d y n a m i c z n y c h b a d a s i l o s o w o [ s k Ba d n i k a l o s o w e g o g w a r a n t u j c
r ó w n o m i e r n e r o z p r o s z e n i e d a n y c h e m p i r y c z n y c h w o k ó B o s z a c o w a n e j l i n i i . P r z y c z y m s y m e t r i a
r o z k Ba d u w e k t o r a r e s z t n i e g w a r a n t u j e l o s o w o [c i s k Ba d n i k a l o s o w e g o . W p r z y p a d k u , g d y w w e k t o r z e
r e s z t w y s t p i t a k a s a m a i l o [ r e s z t d o d a t n i c h i u j e m n y c h , a l e i c h u Bo \e n i e ( n p . d l a d z i e s i c i u
o b s e r w a c j i i , p i p i e r w s z y c h p o d o s z a c o w a n k r z y w i p i n a s t p n y c h n a d k r z y w ) t r u d n o u z n a
z a p r z y p a d k o w e , p r z y j m u j e s i , \e j e s t o n o u k s z t a Bt o w a n e n a s k u t e k d z i a Ba n i a c z y n n i k ó w
s y s t e m a t y c z n y c h . D o s p r a w d z e n i a l o s o w o [c i r o z k Ba d u r e s z t m o \n a s t o s o w a t e s t s e r i i . P r z e z s e r i
r o z u m i e m y c i g k o l e j n y c h r e s z t o t y m s a m y m z n a k u . T e s t y s e r i i p o d a j d l a u s t a l o n e g o p o z i o m u
i s t o t n o [c i i l i c z e b n o [c i w e k t o r a r e s z t m i n i m a l n l i c z b s e r i i l u b m a k s y m a l n d Bu g o [ n a j d Bu \s z e j s e r i i .
J e d n o z z a Bo \e D s t o s o w a l n o [c i k l a s y c z n e j m e t o d y n a j m n i e j s z y c h k w a d r a t ó w d o t y c z y s t a Bo [c i
w a r i a n c j i s k Ba d n i k a l o s o w e g o m o d e l u . T a j e g o w Ba [c i w o [ s p r a w d z a n a j e s t p o p r z e z b a d a n i e
s t a c j o n a r n o [c i w e k t o r a r e s z t , a w i c j e g o n i e z a l e \n o [c i o d c z a s u . Z a t e m b a d a n i e s t a c j o n a r n o [c i
w e k t o r a r e s z t o d n o s i s i d o m o d e l i d y n a m i c z n y c h . P r o c e d u r a t e g o k r o k u w e r y f i k a c j i p o l e g a
n a s p r a w d z e n i u s t o p n i a s k o r e l o w a n i a m o d u Bó w r e s z t i z m i e n n e j c z a s o w e j . J e \e l i w s p ó Bc z y n n i k
k o r e l a c j i m o d u Bó w r e s z t z c z a s e m n i e i s t o t n i e r ó \n i s i o d z e r a , p r z y j m u j e s i , \e w e k t o r r e s z t m o d e l u
j e s t s t a c j o n a r n y . W t y m c e l u s p r a w d z a n a j e s t h i p o t e z a z e r o w a :
H 0 : r e t t = 0
w o b e c h i p o t e z y a l t e r n a t y w n e j :
H 1 : r e t t `" 0 .
S t a t y s t y k s Bu \c d o s p r a w d z e n i a h i p o t e z y z e r o w e j p r z e d s t a w i a w z ó r :
r e t n - 1
t
f = ( 7 . 9 )
2
1 - r e t
t
S t a t y s t y k a f m a r o z k Ba d S t u d e n t a o n - 2 s t o p n i a c h s w o b o d y . Z t a b l i c r o z k Ba d u S t u d e n t a
*
o d c z y t u j e m y d l a u s t a l o n e g o p o z i o m u i s t o t n o [c i i s t o p n i s w o b o d y w a r t o [ k r y t y c z n f i j e \e l i j e s t
o n a w i k s z a l u b r ó w n a w a r t o [c i e m p i r y c z n e j f , w e k t o r r e s z t m o \n a u z n a z a s t a c j o n a r n y .
J e \e l i p a r a m e t r y m o d e l u l i n i o w e g o b y By s z a c o w a n e k l a s y c z n m e t o d n a j m n i e j s z y c h k w a d r a t ó w ,
d r D u aa n B o g d a n o v 5
E k o n o m e t r i a 1
t o z a p e w n i o n a j e s t n i e o b c i \o n o [ s k Ba d n i k a l o s o w e g o , w t y m s e n s i e , \e w a r t o [ o c z e k i w a n a
s k Ba d n i k a l o s o w e g o j e s t r ó w n a z e r o . Z a t e m d l a t e j k l a s y m o d e l i n i e m a p o t r z e b y b a d a w a r t o [c i
o c z e k i w a n e j s k Ba d n i k a l o s o w e g o . N a t o m i a s t w p r z y p a d k u , g d y w e r y f i k o w a n y j e s t m o d e l s e g m e n t o w y ,
m o d e l a d a p t a c y j n y c z y t e \ m o d e l l i n i o w y b e z w y r a z u w o l n e g o p r o c e d u r a p o w i n n a o b e j m o w a
s p r a w d z e n i e w a r t o [c i o c z e k i w a n e j s k Ba d n i k a l o s o w e g o . W t y m c e l u p r z y j m u j e s i h i p o t e z :
H 0 = E ( µt ) = 0
w o b e c h i p o t e z y a l t e r n a t y w n e j :
H 1 = E ( µt ) `" 0
S p r a w d z i a n e m H 0 j e s t s t a t y s t y k a :
e n - 1
( 7 . 1 0 )
f =
s
g d z i e : e o z n a c z a [r e d n i w a r t o [ w e k t o r a r e s z t m o d e l u , n a t o m i a s t
s 2 - o c e n w a r i a n c j i s k Ba d n i k a l o s o w e g o ,
n - l i c z b o b s e r w a c j i w e k t o r a r e s z t .
A n a l i z o w a n a s t a t y s t y k a m a r o z k Ba d S t u d e n t a o n - 1 s t o p n i a c h s w o b o d y . H 0 m o \e b y z a t e m
u z n a n a z a p r a w d z i w , g d y e m p i r y c z n a w a r t o [ f j e s t n i e w i k s z a o d w a r t o [c i k r y t y c z n e j
*
f o d c z y t a n e j z t a b l i c d l a u s t a l o n e g o p o z i o m u i s t o t n o [c i i s t o p n i s w o b o d y .
W m o d e l a c h d y n a m i c z n y c h m o \e w y s t p i z a l e \n o [ s k Ba d n i k ó w l o s o w y c h z r ó \n y c h m o m e n t ó w
c z a s u . T n i e p o \d a n w Ba [c i w o [ s k Ba d n i k a l o s o w e g o n a z y w a s i a u t o k o r e l a c j . P r z e j a w i a s i o n a
i s t n i e n i e m i s t o t n e g o s k o r e l o w a n i a p o m i d z y c i g i e m r e s z t e t , ( t = 1 , 2 , . . . n - Ä ) o r a z c i g i e m r e s z t
o d d a l o n y c h o p e w i e n o k r e s Ä t o j e s t e t + Ä . O g r a n i c z e n i e m d l a w a r t o [c i Ä j e s t w y m ó g f o r m a l n y ,
\e d o o b l i c z e n i a w s p ó Bc z y n n i k a k o r e l a c j i p o t r z e b n e s w e k t o r y o b s e r w a c j i d w ó c h z m i e n n y c h
o c o n a j m n i e j 3 e l e m e n t a c h . D o s p r a w d z e n i a c z y w a r t o [ w s p ó Bc z y n n i k a k o r e l a c j i b a d a n e j p a r y c i g ó w
r e s z t j e s t d o s t a t e c z n i e b l i s k a z e r u , s t o s u j e s i p r o c e d u r a n a l o g i c z n j a k w p r z y p a d k u b a d a n i a
s t a c j o n a r n o [c i s k Ba d n i k a l o s o w e g o .
P o n a d t o d o b a d a n i a a u t o k o r e l a c j i s k Ba d n i k a l o s o w e g o z o s t a B o p r a c o w a n y t e s t D u r b i n a - W a t s o n a .
D l a z a o b s e r w o w a n e g o w e k t o r a r e s z t u p o r z d k o w a n e g o w c z a s i e s t a t y s t y k a s Bu \c a d o w e r y f i k a c j i
h i p o t e z y o n i e z a l e \n o [c i s k Ba d n i k ó w l o s o w y c h w y r a \a s i w z o r e m :
n
) 2
"( e - e t - 1
t
t = 2
f = ( 7 . 1 1 )
n
2
"e
t
t = 1
d r D u aa n B o g d a n o v 6
E k o n o m e t r i a 1
R o z k Ba d s t a t y s t y k i f j e s t u z a l e \n i o n y o d l i c z b y o b s e r w a c j i o r a z o d l i c z b y z m i e n n y c h
o b j a [n i a j c y c h w m o d e l u . D l a r o z k Ba d u s t a t y s t y k i D u r b i n a - W a t s o n a w y z n a c z a n e s w a r t o [c i
k r y t y c z n e . J e [l i w a r t o [ z a o b s e r w o w a n a m i e [c i s i w w y z n a c z o n y m p r z e d z i a l e , t o t e s t n i e r o z s t r z y g a
w y s t p o w a n i a a u t o k o r e l a c j i w e k t o r a r e s z t . J e \e l i z a [ w a r t o [ e m p i r y c z n a j e s t m n i e j s z a l u b r ó w n a
d o l n e j g r a n i c y p r z e d z i a Bu , t o z j a w i s k o a u t o k o r e l a c j i w y s t p u j e , n a t o m i a s t , g d y j e s t w i k s z a o d g ó r n e j
g r a n i c y p r z e d z i a Bu k r y t y c z n e g o a u t o k o r e l a c j a s k Ba d n i k a l o s o w e g o n i e w y s t p u j e .
S p r a w d z e n i e c z y r e s z t y m o d e l u p o d l e g a j p r a w u r o z k Ba d u n o r m a l n e g o j e s t s z c z e g ó l n i e w a \n e
w p r z y p a d k u m o d e l i p r z e z n a c z o n y c h d o p r o g n o z o w a n i a . W y k o r z y s t y w a n e s t u t a j t e s t y z g o d n o [c i ,
d l a d u \y c h p r ó b t e s t » - K o Bm o g o r o w a , d l a m a By c h p r ó b t e s t H e l l w i g a . T e s t y t e p o l e g a j
n a p o r ó w n a n i u d y s t r y b u a n t y e m p i r y c z n e j r e s z t G ( e t ) z d y s t r y b u a n t t e o r e t y c z n r o z k Ba d u
n o r m a l n e g o . F o r m u Bu j e s i n a s t p u j c h i p o t e z z e r o w :
H 0 : G ( e t ) = F ( e t )
w o b e c a l t e r n a t y w y :
H 1 : G ( e t ) `" F ( e t )
g d z i e :
G ( e t ) - w a r t o [ d y s t r y b u a n t y e m p i r y c z n e j w p u n k c i e e t ;
F ( e t ) - w a r t o [ d y s t r y b u a n t y r o z k Ba d u n o r m a l n e g o o w a r t o [c i [r e d n i e j 0 i o d c h y l e n i u s t a n d a r d o w y m
w e k t o r a r e s z t w p u n k c i e e t .
W t e [c i e » - K o Bm o g o r o w a , z e w z g l d u n a d u \ l i c z b o b s e r w a c j i c i g r e s z t z a s t p u j e s i
s z e r e g i e m r o z d z i e l c z y m .
S p r a w d z e n i e h i p o t e z y o n o r m a l n o [c i r o z k Ba d u r e s z t t e s t e m » - K o Bm o g o r o w a p r z e b i e g a w e d Bu g
n a s t p u j c e g o a l g o r y t m u :
1 . u p o r z d k o w a r e s z t y r o s n c o , u t w o r z y s z e r e g r o z d z i e l c z y k u m u l a c y j n y r e s z t d l a p r z y j t e j
a r b i t r a l n i e l i c z b y m r ó w n y c h k l a s u i , w i , i = 1 , 2 . . . m , w k a \d e j k l a s i e , n a k o Dc u p r z e d z i a Bu
w i , o b l i c z y c z s t o [ s k u m u l o w a n G ( w i ) ,
2 . w y z n a c z y o d c h y l e n i e s t a n d a r d o w e w e k t o r a r e s z t s e :
3 . w y z n a c z y w a r t o [c i d y s t r y b u a n t y r o z k Ba d u n o r m a l n e g o N ( 0 , s e ) n a k o Dc a c h p r z e d z i a Bó w
F ( w i )
4 . w y z n a c z y c i g r ó \n i c p o m i d z y d y s t r y b u a n t e m p i r y c z n G ( w i ) i d y s t r y b u a n t r o z k Ba d u
n o r m a l n e g o F ( w i ) :
5 . w y z n a c z y w a r t o [ s t a t y s t y k i :
d r D u aa n B o g d a n o v 7
E k o n o m e t r i a 1
» = m a x G ( w i ) - F ( w i ) Å" m
( 7 . 1 2 )
i
O t r z y m a n a w a r t o [ e m p i r y c z n a . p o w i n n a b y n i e w i k s z a o d o d c z y t a n e j z t a b l i c r o z k Ba d u
» - K o Bm o g o r o w a w a r t o [c i t e o r e t y c z n e j p r z y z a Bo \o n y m p o z i o m i e i s t o t n o [c i .
S p r a w d z e n i e h i p o t e z y H 0 t e s t e m H e l l w i g a 4 p r z e b i e g a n a t o m i a s t w e d Bu g n a s t p u j c e g o
a l g o r y t m u :
1 . u p o r z d k o w a r e s z t y e t ; w c i g r o s n c y i w y z n a c z y o d c h y l e n i e s t a n d a r d o w e w e k t o r a r e s z t
s e :
2 . w y z n a c z y w a r t o [c i F ( e t ) d y s t r y b u a n t y r o z k Ba d u n o r m a l n e g o ,
3 . p r z e d z i a B z m i e n n o [c i d y s t r y b u a n t y ( 0 , 1 ) p o d z i e l i n a n r ó w n y c h c z [c i , z w a n y c h c e l a m i ,
4 . w y z n a c z y i l o [ K c e l p u s t y c h , t o z n a c z y t a k i c h , d o k t ó r y c h n i e t r a f i Ba \a d n a w a r t o [
d y s t r y b u a n t y F ( e t ) . R o z k Ba d r e s z t n a l e \y u z n a z a n o r m a l n y , j e \e l i l i c z b a K c e l p u s t y c h
z n a j d u j e s i w e w n t r z p r z e d z i a Bu p o d a n e g o w t a b l i c a c h t e s t u H e l l w i g a .
Z p o w y \s z e g o w y n i k a , \e p r o c e d u r a w e r y f i k a c j i m o d e l u e k o n o m e t r y c z n e g o s k Ba d a s i z s z e r e g u
k r o k ó w , p r z y c z y m k a \d y z n i c h k o Dc z y s i o c e n p e w n e j w Ba s n o [c i m o d e l u d e c y d u j c e j o j e g o
j a k o [c i . B r a k p o z y t y w n e j o c e n y n a d a n y m e t a p i e d y s k w a l i f i k u j e m o d e l i p r z e r y w a p r o c e d u r
w e r y f i k a c j i . M o d e l w y m a g a m o d y f i k a c j i , c o z r e g u By o z n a c z a k o n i e c z n o [ p o w r o t u d o w c z e [n i e j s z y c h
e t a p ó w m o d e l o w a n i a . R o z w a \m y n a j c z [c i e j s p o t y k a n e w a d y m o d e l i , w y k r y w a n e w t r a k c i e w e r y f i k a c j i
i i c h p r z y c z y n .
2
W y s t p i e n i e z b y t w y s o k i e j w a r t o [c i w s p ó Bc z y n n i k a z g o d n o [c i Õ j e s t d o w o d e m b r a k u z a l e \n o [c i
l i n i o w e j p o m i d z y z m i e n n o b j a [n i a n a z m i e n n y m i o b j a [n i a j c y m i . W t a k i e j s y t u a c j i n a l e \y a l b o
z n a l e z z e s t a w z m i e n n y c h o b j a [n i a j c y c h l i n i o w o z w i z a n y c h z e z m i e n n o b j a [n i a n , a l b o d o b r a
w Ba [c i w p o s t a a n a l i t y c z n f u n k c j i , c o o z n a c z a p o w r ó t d o e t a p u d o b o r u z m i e n n y c h d o m o d e l u
l u b d o e t a p u d o b o r u p o s t a c i a n a l i t y c z n e j m o d e l u . A n a l o g i c z n i e p o s t p u j e m y w p r z y p a d k u b r a k u
d o s t a t e c z n e j w y r a z i s t o [c i m o d e l u .
A n a l i z a i s t o t n o [c i p a r a m e t r ó w s t r u k t u r a l n y c h m o d e l u r o z s t r z y g a o p o p r a w n o [c i d o b o r u z m i e n n y c h
d o m o d e l u . W s y t u a c j i , g d y w s z y s t k i e p a r a m e t r y s i s t o t n i e r ó \n e o d z e r a m o \n a p r z y j , \e z m i e n n e
o b j a [n i a j c e d o s t a t e c z n i e s i l n i e w p By w a j n a z m i e n n o b j a [n i a n . Z a t e m z e w z g l d u n a z e s t a w
z m i e n n y c h o b j a [n i a j c y c h m o d e l j e s t p o p r a w n y . W p r z e c i w n y m p r z y p a d k u n a l e \y m o d y f i k o w a
z e s t a w z m i e n n y c h . N a j c z [c i e j e l i m i n u j e s i z e z b i o r u z m i e n n y c h o b j a [n i a j c y c h t e , k t ó r e n i e
w p By w a j i s t o t n i e n a z m i e n n o b j a [n i a n . J e d n a k p r z y c z y n z b y t m a By c h w a r t o [c i o d p o w i e d n i c h
s t a t y s t y k t e s t u j c y c h i s t o t n o [ p a r a m e t r ó w s t r u k t u r a l n y c h m o d e l u m o \e b y w s p ó Bl i n i o w o [
4
P o r . Z . H e l l w i g , E l e m e n t y r a c h u n k u p r a w d o p o d o b i e Ds t w a i s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j , P W N W a r s z a w a 1 9 8 7 ,
s . 2 7 0 i n a s t .
d r D u aa n B o g d a n o v 8
E k o n o m e t r i a 1
z m i e n n y c h o b j a [n i a j c y c h , a n i e i c h z b y t n i s k i e s k o r e l o w a n i e z e z m i e n n o b j a [n i a n . W t a k i e j s y t u a c j i
z a s t o s o w a n i e i n n e j k o m b i n a c j i z m i e n n y c h o b j a [n i a j c y c h m o \e d a p o \d a n e e f e k t y .
N i e p o \d a n e w Ba s n o [c i s k Ba d n i k a l o s o w e g o m o d e l u m o g p o w s t a n a s k u t e k n i e p r a w i d Bo w e j
p o s t a c i a n a l i t y c z n e j s z a c o w a n e j l i n i i . W t e d y w e k t o r r e s z t b d z i e n i e s y m e t r y c z n y l u b n i e l o s o w y .
R ó w n i e \ z m i a n a p o s t a c i a n a l i t y c z n e j m o d e l u m o \e b y k o n i e c z n a w p r z y p a d k u , g d y w a r t o [
o c z e k i w a n a w e k t o r a r e s z t m o d e l u o k a \e s i i s t o t n i e r ó \n a o d z e r a . B a d a n i e t e g o p a r a m e t r u s t r u k t u r y
s t o c h a s t y c z n e j m o d e l u j e s t b o w i e m w y m a g a n e w o d n i e s i e n i u d o m o d e l i n i e l i n i o w y c h , k t ó r y c h l i n i o w e
t r a n s f o r m a n t y s z a c o w a n e s k l a s y c z n m e t o d n a j m n i e j s z y c h k w a d r a t ó w , m o d e l i s e g m e n t o w y c h
o r a z m o d e l i a d a p t a c y j n y c h . W p i e r w s z y m p r z y p a d k u p o z y t y w n y e f e k t m o \e p r z y n i e [ z m i a n a t y p u
z a s t o s o w a n e j f u n k c j i l u b s p o s o b u e s t y m a c j i f u n k c j i . W p r z y p a d k u m o d e l i s e g m e n t o w y c h m o \e b y
k o n i e c z n a z m i a n a d Bu g o [c i s e g m e n t ó w l u b z m i a n a m o d u l a t o r ó w w p o s z c z e g ó l n y c h s e g m e n t a c h
m o d e l u . M o d e l e a d a p t a c y j n e m o g b y p o p r a w i o n e p o p r z e z z m i a n d Bu g o [c i s e g m e n t ó w .
W s y t u a c j i b r a k u s t a c j o n a r n o [c i w e k t o r a r e s z t m o d e l u , a w i c n i e j e d n o r o d n o [c i w a r i a n c j i s k Ba d n i k a
l o s o w e g o , p o p r a w w Ba s n o [c i e s t y m a t o r ó w p a r a m e t r ó w m o d e l u d a j e z a s t o s o w a n i e u o g ó l n i o n e j
m e t o d y n a j m n i e j s z y c h k w a d r a t ó w .
A u t o k o r e l a c j a s k Ba d n i k a l o s o w e g o m o d e l u b y w a s k u t k i e m : z Be g o d o p a s o w a n i a p o s t a c i a n a l i t y c z n e j
m o d e l u , n i e p r a w i d Bo w e g o d o b o r u z m i e n n y c h l u b s p e c y f i k i m o d e l o w a n e g o z j a w i s k a e k o n o m i c z n e g o .
D w i e p i e r w s z e p r z y c z y n y w y k r y t e z o s t a n w t r a k c i e b a d a n i a s y m e t r i i i l o s o w o [c i w e k t o r a r e s z t .
W s y t u a c j i , g d y w y s t p i a u t o k o r e l a c j a s k Ba d n i k a l o s o w e g o n a l e \y z m i e n i m e t o d e s t y m a c j i m o d e l u .
B a d a n i e n o r m a l n o [c i r o z k Ba d u s k Ba d n i k a l o s o w e g o j e s t p o \d a n e , g d y m o d e l m a b y z a s t o s o w a n y
d o p r o g n o z o w a n i a . W y s t p i e n i e t e g o t y p u r o z k Ba d u d a j e , b o w i e m w i k s z g w a r a n c j o t r z y m a n i a
p r o g n o z d o p u s z c z a l n y c h . N a t o m i a s t b r a k n o r m a l n o [c i r o z k Ba d u n i e d y s k w a l i f i k u j e m o d e l u .
d r D u aa n B o g d a n o v 9
E k o n o m e t r i a 1
P y t a n i a k o n t r o l n e :
1 . O c z y m n a s i n f o r m u j e w s p ó Bc z y n n i k z g o d n o [c i ?
2 . J a k a j e s t z a l e \n o [ p o m i d z y w s p ó Bc z y n n i k i e m z g o d n o [c i a w s p ó Bc z y n n i k i e m
d e t e r m i n a c j i ?
3 . W j a k i e j k l a s i e m o d e l i n i e m a p o t r z e b y b a d a w a r t o [c i o c z e k i w a n e j s k Ba d n i k a l o s o w e g o ?
4 . D o c z e g o s Bu \y i n a c z y m p o l e g a t e s t D u r b i n a - W a t s o n a ?
5 . J a k i e m o g b y p r z y c z y n y w y s t p o w a n i a z j a w i s k a a u t o k o r e l a c j i s k Ba d n i k a l o s o w e g o ?
d r D u aa n B o g d a n o v 1 0
E k o n o m e t r i a 1
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