Wiadomości wstępne

Wyrażenie w postaci

nazywamy trójmianem kwadratowym (lub równaniem kwadratowym).Współczynniki a,b,c to dowolne liczby rzeczywiste z reguły całkowite lub wymierne. O współczynniku 'a' dodatkowo zakłada się że jest niezerowy, gdyż w innym wypadku równanie kwadratowe degeneruje się do równania liniowego. Wykresem funkcji kwadratowej jest krzywa zwana parabolą pierwszego stopnia. Rysunek przedstawia wykres funkcji o współczynnikach 2,-3,1.

Łatwo zauwarzyć że powstała krzywa może mieć conajwyżej dwa przecięcia z dowolną prostą równoległą do osi x, tak więc równanie kwadratowe może mieć conajwyżej dwa rozwiązania. Może też nie mieć rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych wogóle co ilustruje następny wykres trójmianu o współczynnikach 2,1,1.

Wykres modułu tej samej funkcji na płaszczyźnie zespolonej pokazuje iż w istocie istnieją dwa pierwiastki zespolone (zobacz niżej).

Znajdowanie rozwiązań

Zagadnienie znalezienia rozwiązań trójmianu kwadratowego to znalezienie takich x, dla których spełniona jest następująca równość:

Łatwo jest znaleźć jawny wzór rozwiązania dokonując następujących przkształceń:

Teraz warto zauważyć że ilość rozwiązań zależy od znaku wyrażenia pod pierwiastkiem kwadratowym. Wyrażenie to nazywamy wyróżnikiem trójmianu i oznaczamy grecką literką DELTA.

I tak, gdy delta jest dodatnia mamy dwa rozwiązania należące do zbioru liczb rzeczywistych, określone wzorami:

Gdy delta jest równa 0, mamy jedno rozwiązanie należące do zbioru liczb rzeczywistych, a mianowicie:

Gdy delta jest ujemna, trójmian nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych, ma zato dwa w zbiorze liczb zespolonych:

Gdzie 'i' oznacza jednostkę urojoną.

Właściwości

Korzystając z właściwości pierwiastków, możemy zapisać trójmian w tzw. postaci iloczynowej, która wygląda tak:

Równoważność takiego zapisu łatwo udowodnić:

Po prostych przekształceniach otrzymamy jeszcze jedną istotną postać równania kwadratowego, mianowicie tzw. postać kanoniczną:

Po takim przekształceniu widać od razu iż wykres funkcji kwadratowej jest symetryczny wzgłedem prostej x=-b/a, zaś pierwiastki są ustawione po obu stronach tej prostej. Oczywistym staje się także fakt, że punkt x=-b/a jest punktem w którym parabola osiąga ekstremum (patrz rysunek). Dodatkowo pomiędzy pierwiastkami zachodzą następujące zwiazki:

Które są spełnione (co łatwo sprawdzić) także gdy pierwiastki są zespolone.

Zadania

Rozwiąż nierówności:
a)

b)

c)

d)


Wyznacz dziedzinę funkcji:
a)

b)

Bibliografia

W kwestii użytecznych informacji i wzorów, polecam:

"Matematyka - Poradnik encyklopedyczny" - I.N.Bronsztejn, K.A.Siemiediajew,
oraz wszelkie tablice matematyczne.

Jak chodzi o zadania to warto po prostu przejżeć podręczniki do liceum.

---